第02讲 一元一次方程的解法（知识解读+真题演练+课后巩固）（原卷版）

第02讲一元一次方程的解法1.会通过去分母解一元一次方程；2.归纳一元一次方程解法的一般步骤，体会解方程中化归和程序化的思想方法；3.体会建立方程模型解决问题的一般过程；4.体会方程思想，增强应用意识和应用能力．知识点1解一元一次方程解一元一次方程的步骤：去分母两边同乘最简公分母2.去括号（1）先去小括号，再去中括号，最后去大括号（2）乘法分配律应满足分配到每一项注意：特别是去掉括号，符合变化3.移项（1）定义：把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边；（2）注意：①移项要变符号；②一般把含有未知数的项移到左边，其余项移到右边．4.合并同类项（1）定义：把方程中的同类项分别合并，化成“axb”的形式（a0）；（2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变．5.系数化为1（1）定义：方程两边同除以未知数的系数a，得；（2）注意：分子、分母不能颠倒【题型1解一元一次方程】【典例1】解一元一次方程：5x+3＝3x﹣15．【变式1-1】解方程：5x﹣8＝2x﹣3．【变式1-2】解方程：2x+2＝3x﹣2．【典例2】解下列一元一次方程：（1）3（x+1）﹣2＝2（x﹣3）；（2）．【变式2-1】解方程：（1）4（2﹣y）+2（3y﹣1）＝7；（2）．【变式2-2】解方程：（1）；（2）．【变式2-3】解方程．（1）3（x﹣2）﹣4（2x+1）＝7；（2）．【题型2一元一次方程的整数解问题】【典例3】是否存在整数k，使关于x的方程（k﹣4）x+6＝1﹣5x有整数解？并求出解．【变式3-1】当整数k为何值时，方程9x﹣3＝kx+14有正整数解？并求出正整数解．【变式3-2】（2022秋•通川区校级期末）若关于x的方程kx﹣2x＝14的解是正整数，则k的整数值有（）个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【题型3根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】【典例4】若代数式与的值的和为5，则m的值为（）A．18 B．10 C．﹣7 D．7【变式4-1】（2023春•新乡期末）若和3﹣2x互为相反数，则x的值为（）A．﹣3 B．3 C．1 D．﹣1【变式4-2】（2022秋•柳州期末）已知代数式5a+1与a﹣3的值相等，那么a＝．【变式4-3】若式子﹣2a+1的值比a﹣2的值大6，则a等于（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【变式4-4】已知A＝2x+1，B＝5x﹣4，若A比B小1，则x的值为（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【题型4错解一元一次方程的问题】【典例5】一位同学在解方程5x﹣1＝（）x+3时，把“（）”处的数字看错了，解得，这位同学把“（）”处的数字看成了（）A．3 B．﹣ C．﹣8 D．8【变式5-1】某同学解方程2x﹣3＝ax+3时，把x的系数a看错了，解得x＝﹣2，他把x的系数看成了（）A．5 B．6 C．7 D．8【变式5-2】某同学解方程5y﹣1＝口y+4时，把“口”处的系数看错了，解得y＝﹣5，他把“口”处的系数看成了（）A．5 B．﹣5 C．6 D．﹣6【变式5-3】小明同学在解方程5x﹣1＝mx+3时，把数字m看错了，解得x＝﹣，则该同学把m看成了（）A．3 B． C．8 D．﹣8【变式5-4】某同学解方程2x﹣3＝ax+3时，把x的系数a看错了，解得x＝﹣2，他把x的系数a看成了下列哪个数？（）A．5 B．6 C．7 D．8【题型5一元一次方程的解与参数无关】【典例6】定义一种新运算：a⊙b＝5a﹣b．（1）计算：（﹣6）⊙8＝；（2）若（2x﹣1）⊙（x+1）＝12，求x的值；（3）化简：（3xy﹣2x﹣3）⊙（﹣5xy+1），若化简后代数式的值与x的取值无关，求y的值．【变式6-1】（1）先化简，再求值：已知代数式A＝（3a2b﹣ab2），B＝（﹣ab2+3a2b），求5A﹣4B，并求出当a＝﹣2，b＝3时5A﹣4B的值．（2）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．规定：（a，b）★（c，d）＝ad﹣bc，如：（1，2）★（3，4）＝1×4﹣2×3＝﹣2根据上述规定解决下列问题：①有理数对（5，﹣3）★（3，2）＝．②若有理数对（﹣3，x）★（2，2x+1）＝15，则x＝．③若有理数对（2，x﹣1）★（k，2x+k）的值与x的取值无关，求k的值．【变式6-2】（1）已知多项式3x2+my﹣8与多项式﹣nx2+2y+7的差与x，y的值无关，求nm+mn的值．（2）解方程＝1﹣．【题型6一元一次方程的解在新定义中运用】【典例7】定义“※”运算为“a※b＝ab+2a”，若（3※x）+（x※3）＝14，则x等于（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【变式7-1】（2022秋•东明县校级期末）规定一种运算法则：a※b＝a2+2ab，若（﹣3）※2x＝﹣3﹣2x，则x的值为（）A． B． C． D．﹣1【变式7-2】新定义一种运算符号“△”，规定x△y＝xy+x2﹣3y，已知2△m＝6，则m的值为．【变式7-3】（2022秋•滕州市校级期末）对于任意有理数a、b，规定一种新运算“*”，使a*b＝3a﹣2b，例如：5*（﹣3）＝3×5﹣2×（﹣3）＝21．（2x﹣1）*（x﹣2）＝﹣3，则x的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．11．（2022•百色）方程3x＝2x+7的解是（）A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣72．（2022•海南）若代数式x+1的值为6，则x等于（）A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣73．（2021•温州）解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（）A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x4．（2023•陇西县校级模拟）定义aⓧb＝2a+b，则方程3ⓧx＝4ⓧ2的解为（）A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝2 D．x＝﹣25．（2023•青山区一模）若的值与x﹣7互为相反数，则x的值为（）A．1 B． C．3 D．﹣36．（2023•怀远县二模）方程＝1去分母正确的是（）A．2（3x﹣1）﹣3（2x+1）＝6 B．3（3x﹣1）﹣2（2x+1）＝1 C．9x﹣3﹣4x+2＝6 D．3（3x﹣1）﹣2（2x+1）＝6（2021•广元）解方程：+＝4．8．（2021•桂林）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．9．（2021•西湖区校级自主招生）以下是圆圆解方程＝1的解答过程．解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．移项，合并同类项，得x＝﹣3．圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．10．（2022秋•陵城区期末）解方程（1）18（x﹣1）﹣2x＝﹣2（2x﹣1）；（2）．1．（2023秋•北京期中）若x＝﹣1是关于x的方程x+3a＝5的解，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．52．（2023秋•西丰县期中）方程3x+4＝2x﹣3移项后正确的是（）A．3x+2x＝4﹣3 B．3x﹣2x＝4﹣3 C．3x﹣2x＝﹣3﹣4 D．3x+2x＝﹣3﹣43．（2023秋•同安区期中）下列哪个选项是方程5﹣3x＝8的解（）A．x＝﹣1 B．x＝1 C． D．4．（2022秋•白云区期末）如果方程2x＝2和方程的解相同，那么a的值为（）A．1 B．5 C．0 D．﹣55．（2022秋•利川市期末）下列解一元一次方程的过程正确的是（）A．方程x﹣2（3﹣x）＝1去括号得x﹣6+2x＝1 B．方程3x+2＝2x﹣2移项得3x﹣2x＝﹣2+2 C．方程去分母得2x+1﹣1＝3x D．方程分母化为整数得6．（2022秋•武昌区期末）解方程﹣＝1，去分母正确的是（）A．3（x﹣1）﹣2（2+3x）＝1 B．3（x﹣1）﹣2（2x+3）＝6 C．3x﹣1﹣4x+3＝1 D．3x﹣1﹣4x+3＝67．（2023春•惠城区期末）已知关于x的方程有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（）A．﹣6 B．﹣7 C．﹣14 D．﹣198．（2022秋•滕州市校级期末）任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数0.为例进行说明：设0.，由0.可知，10x＝7.777⋯，所以10x﹣x＝7，解方程，得x＝．于是，得0.，将0.写成分数的形式是（）A． B． C． D．9．（2022秋•丰宁县校级期末）若方程2x＝8和方程ax+2x＝4的解相同，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．010．（2022秋•金华期末）若和互为相反数，则x的值为（）A． B． C． D．11．（2023春•偃师市校级期末）关于x的一元一次方程2xm﹣2+n＝4的解是x＝1，则m+n的值是（）A．4 B．5 C．6 D．712．（2023秋•西湖区期中）满足|x+3|+|x﹣1|＝4的整数x的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．5个13．（2022秋•兴化市期末）已知y1＝x+3，y2＝2﹣x，当y1＝y2时，x的值是（）A．2 B． C．﹣2 D．二．解答题（共5小题）14．（2023秋•西城区校级期中）解方程：（1）3x﹣4＝2x+5；（2）．15．（2022秋•海沧区期末）对于任意不为0的有理数m，n，定义一种新运算“※”，规则如下：m※n＝3m﹣n．例如：（﹣1）※2＝3×（﹣1）﹣2＝﹣3﹣2＝﹣5．（1）若（x﹣2）※5x＝6，求x的值；（2）判断这种新运算“※”是否满足分配律a※（b+c）＝a※b+a※c，并说明理由．16．（2023秋•西城区校级期中）小亮在解关于x的一元一次方程+■＝3时，发现正整数■被污染了．（1）小亮猜■是5，则方程的解x＝；（2）若老师告诉小亮这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？17．（2023秋•金州区校级期中）根据绝对值定义，若有|x|＝4，则x＝4或﹣4，若|y|＝a，则y＝±a，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：|2x+4|＝5解：方程|2x+4|＝5可化为：2x+4＝5或2x+4＝﹣5，当2x+4＝5时，则有：2x＝1，所以x＝，当2x+4＝﹣5时，则有：2x＝﹣9；所以x＝﹣，故，方程|2x+4|＝5的解为x＝或x＝﹣．（1）解方程：|3x﹣2|＝4；（2