专题12 构造等腰三角形的常用方法（解析版）

专题12构造等腰三角形的常用方法（解析版）类型一作一腰的平行线构造构造等腰三角形1．如图，△ABC中，AB＝AC，D在AB上，F在AC的延长线上，且BD＝CF，连接DE交BC于E．求证：DE＝EF．【思路引领】过D点作AF的平行线交BC于G点，利用等腰三角形的性质和平行线的性质，求证△DGE≌△FCE即可，【解答】证明：过D点作AF的平行线交BC于G点，∴∠ECF＝∠DGE，∴∠DGB＝∠ACB∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠DGB，∴DG＝BD，∵BD＝CF，∴DG＝CF．由∠ECF＝∠DGE，∠DEG＝∠CEF，DG＝CF可得△DGE≌△FCE（AAS），∴DE＝EF．【总结提升】此题考查学生对全等三角形的判定和性质的理解和掌握．此题的关键是过D点作AF的平行线交BC于G点，然后利用角角边定理证明△DGE≌△FCE，这是此题的关键．2．（2020秋•义马市期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BD⊥AC，点P为边AB上一点（不与点A、点B重合），PM⊥BC，垂足为M，交BD于点N．请猜想PN与BM之间的数量关系，并证明．【思路引领】作PF∥AC交BC于F，交BD于E．根据平行线的性质得到PF⊥BD，∠BPE＝∠A＝45°，求得∠BEP＝90°，得到∠BPE＝∠PBE＝45°，求得BE＝PE．根据全等三角形的性质得到PN＝BF；根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠C，求得PB＝PF，得到BM＝MF，于是得到结论．【解答】解：PN＝2BM，理由：如图，作PF∥AC交BC于F，交BD于E．∵BD⊥AC，PF∥AC，∴PF⊥BD，∠BPE＝∠A＝45°，∴∠BEP＝90°，∴∠BPE＝∠PBE＝45°，∴BE＝PE．∵PM⊥BC，∴∠PMB＝∠PEN＝90°，∵∠BNM＝∠PNE，∴∠NPE＝∠EBF，∵∠PEN＝∠BEF＝90°，∴△PEN≌△BEF（ASA），∴PN＝BF；∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠PFB＝∠C，∴PB＝PF，∵PM⊥BF，∴BM＝MF，∴PN＝2BM．【总结提升】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．3．（2020秋•九龙坡区期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC边于点D，点E是BC边的中点，线段EF∥AD交线段AB于点G，交线段CA的延长线于点F．（1）若CF＝6，AG＝2，求AC的长；（2）求证：BG＝CF．【思路引领】（1）根据平行线的性质和等腰三角形的性质解答即可；（2）作CM∥AB交FE的延长线于M，欲证明BG＝CF，只要证明BG＝CM，CF＝CM即可．【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵AD∥EF，∴∠DAC＝∠F，∠BAD＝∠FGA，∴∠F＝∠FGA，∴AG＝AF，∵CF＝6，AG＝2，∴AC＝CF﹣AF＝CF﹣AG＝6﹣2＝4；（2）作CM∥AB交FE的延长线于M．∵BG∥CM，∴∠B＝∠MCE，∵E是BC中点，∴BE＝EC，在△BEG和△CEM中，∠B=∠MCEBE=EC∴△BEG≌△CEM，∴BG＝CM，∵AD∥EF，∴∠1＝∠FGA，∠2＝∠F，∵∠1＝∠2，∴∠F＝∠FGA，∵AB∥CM，∴∠FGA＝∠M，∴∠F＝∠M，∴CF＝CM，∴BG＝CF．【总结提升】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，掌握中线倍长法添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．类型二利用角平分线+垂线构造等腰三角形4．（2021春•万柏林区校级月考）如图，△ABC的面积为6cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，则△PBC的面积是3cm2．【思路引领】延长AP交BC于点E，由角平分线的定义可知∠ABP＝∠EBP，结合BP＝BP以及∠APB＝∠EPB＝90°即可证出△ABP≌△EBP（ASA），进而可得出AP＝EP，根据三角形的面积即可得出S△APC＝S△EPC，再根据S△PBC＝S△BPE+S△EPC=12S△【解答】解：延长AP交BC于点E，如图所示．∵AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，∴∠ABP＝∠EBP．在△ABP和△EBP中，∠ABP=∠EBPBP=BP∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝EP．∵△APC和△EPC等底同高，∴S△APC＝S△CPE，∴S△PBC＝S△BPE+S△CPE=12S△ABC=12×6＝故答案为：3．【总结提升】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及三角形的面积，找出S△PBC=12S△5．（2021秋•上杭县期中）已知：如图，DE平分∠AEB，∠B＝∠EAC，ED⊥AD于D．求证：AD平分∠BAC．【思路引领】延长ED交AB于F，设AC与DE交于G，根据角平分线的定义得到∠AED＝∠BED，根据三角形外角的性质得到∠AGD＝∠CAE+∠AED，∠AFE＝∠B+∠BEF，求得AF＝AG，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：延长ED交AB于F，设AC与DE交于G，∵DE平分∠AEB，∴∠AED＝∠BED，∵∠AGD＝∠CAE+∠AED，∠AFE＝∠B+∠BEF，∵∠B＝∠EAC，∴∠AGD＝∠AFE，∴AF＝AG，∵ED⊥AD，∴AD平分∠BAC．【总结提升】此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义，垂直的定义以及三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．类型三利用截长补短法构造等腰三角形6．（2021秋•拱墅区期中）如图，AD是△ABC的高，且AB+BD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C的度数为25°．【思路引领】在线段DC上取一点E，使DE＝DB，连接AE，先由线段垂直平分线的性质得AB＝AE，则∠EAD＝∠BAD＝40°，∠AEB＝∠B＝50°，再由AB+BD＝DC，得到△ACE是等腰三角形，得∠EAC＝∠C，然后由三角形的外角性质即可得出结论．【解答】解：在线段DC上取一点E，使DE＝DB，连接AE，∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，∴AD垂直平分BE，∴AB＝AE，∴∠EAD＝∠BAD＝40°，∠AEB＝∠B＝90°﹣∠BAD＝50°，∵AB+BD＝DC，DE+CE＝DC，∴AB＝CE，∴AE＝CE，∴∠EAC＝∠C，∵∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，∴∠C=12∠AEB＝故答案为：25°．【总结提升】本题考查了等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．7．（2020秋•绵阳期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB+BD＝DC，求∠C的度数．【思路引领】如图，在DC上截取DH，使得DH＝DB，连接AH．首先证明AB＝CH＝AH，推出∠B＝∠AHD，∠C＝∠HAC，设∠C＝x，∠AHB＝∠B＝2x，利用三角形内角和定理构建方程求出x即可．【解答】解：如图，在DC上截取DH，使得DH＝DB，连接AH．∵BD＝DH，AD⊥BH，∴AB＝AH，∵AB+BD＝DC，DC＝DH+HC，∴AB＝CH＝AH，∴∠B＝∠AHD，∠C＝∠HAC，设∠C＝x，∠AHB＝∠B＝2x，∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴3x+120°＝180°，∴x＝20°，∴∠C＝20°【总结提升】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．8．（2023春•雨城区校级期中）已知△ABC中，AB＝AC，BE平分∠ABC交边AC于E．（1）如图（1），当∠BAC＝108°时，证明：BC＝AB+CE；（2）如图（2），当∠BAC＝100°时，（1）中的结论还成立吗？若不成立，是否有其他两条线段之和等于BC，若有请写出结论并完成证明．【思路引领】（1）如图1中，在BC上截取BD＝BA．只要证明△BEA≌△BED，CE＝CD即可解决问题；（2）结论：BC＝BE+AE．如图2中，在BA、BC上分别截取BF＝BE，BH＝BE．则△EBH≌△EBF，再证明EA＝EH＝EF＝CF即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，在BC上截取BD＝BA．∵BA＝BD，∠EBA＝∠EBD，BE＝BE，∴△BEA≌△BED，∴BA＝BD，∠A＝∠BDE＝108°，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝36°，∠EDC＝72°，∴∠CED＝72°，∴CE＝CD，∴BC＝BD+CD＝AB+CE．（2）结论：BC＝BE+AE．理由：如图2中，在BA、BC上分别截取BF＝BE，BH＝BE．则△EBH≌△EBF，∴EF＝EH，∵∠BAC＝100°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝40°，∴∠EBA＝∠EBC＝20°，∴∠BFE＝∠H＝∠EAH＝80°，∴AE＝EH，∵∠BFE＝∠C+∠FEC，∴∠CEF＝∠C＝40°，∴EF＝CF，∴BC＝BF+CF＝BE+AE．【总结提升】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．类型四利用倍角关系构造构造等腰三角形9．（2020秋•南岗区校级月考）如图，AD平分∠BAC，∠ABC＝3∠C，BE⊥AD垂足为E，AB＝8，BE＝2.5，则AC＝13．【思路引领】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ABF＝∠AFB，AB＝AF，BE＝EF，根据三角形外角的性质，可得∠C+∠CBF＝∠AFB＝∠ABF，根据角的和差、等量代换，可得∠CBF＝∠C，根据等腰三角形的判定，可得BF＝CF，根据线段的和差、等式的性质，可得答案．【解答】证明：如图：延长BE交AC于点F，∵BF⊥AD，∴∠AEB＝∠AEF，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE，在△ABE和△AFE中，∠AEB=∠AEFAE=AE∴△ABE≌△AFE（ASA），∴∠ABF＝∠AFB，AB＝AF＝8，BE＝EF＝2.5，∴BF＝5，∵∠C+∠CBF＝∠AFB＝∠ABF，∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝3∠C，∴∠C+2∠CBF＝3∠C，∴∠CBF＝∠C，∴BF＝CF＝5，∴BE=12BF=∴AC＝AF+CF＝8+5＝13，故答案为：13．【总结提升】本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等量代换，等式的性质，利用等量代换得出∠CBF＝∠C是解题关键．10．已知E为△ABC内部一点，AE延长线交边BC于点D，连接BE、CE，∠BED＝∠BAC＝2∠DEC，如图，若AC＝AB，求证：BE＝2AE．【思路引领】在EB上截取EF＝AE，利用AAS即可证得△ABF≌△CAE，根据全等三角形的对应边相等即可证得；【解答】解：在EB上截取EF＝AE，连接AF，设∠BED＝2α，∴∠FAE＝∠AFE＝α，∴∠AEC＝∠AFB，∵∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝2α，∠ABE+∠BAD＝∠BED＝2α，∴∠CAE＝∠ABE∵在△ABF和△CAE中，∠AEC=∠AFB∠CAE=∠ABE∴△ABF≌△CAE（AAS），∴BF＝AE＝EF，∴BE＝2AE；【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．11．（2022秋•金州区期中）如图，△ABC中，∠A＜60°，AB＝AC，D是△ABC外一点，∠ACD＝∠ABD＝60°，用等式表示线段BD、CD、AC的数量关系，并证明．【思路引领】延长BD至E，使BE＝AB，连接AE、CE，可得△ABE是等边三角形，即可求得AC＝AE，可得∠ACE＝∠AEC，即可求得∠DCE＝∠DEC，可得DE＝CD，即可解题．【解答】解：AC＝BD+CD，理由如下：延长BD至E，使BE＝AB，连接AE、CE，∵∠ABD＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB，∠AEB＝60°，∵AB＝AC，∴AC＝AE，∴∠ACE＝∠AEC，∵∠ACD＝60°，∴∠ACE﹣∠ACD＝∠AEC﹣∠AEB，即∠DCE＝∠DEC，∴DE＝CD，∴BE＝BD+DE＝BD+CD，∴AC＝BE＝BD+CD．【总结提升】本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，考查了等腰三角形的性质，本题中求证CD＝DE是解题的关键．类型五作底边的平行线构造等腰三角形12．如图，等边△ABC中，D在边AC延长线上一点，延长BC至E，使CE＝AD，DG⊥BC于G，求证：BG＝EG．【思路引领】利用全等三角形判定依据SAS，可得△BFD≌△DCE，则DB＝DE，结合DG与BC互相垂直，即可证得本题结论．【解答】证明：过点D作DF∥BC交AB的延长线于点F．∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠AFD＝∠ADF＝∠A＝60°，∴△ADF是等边三角形，∴AD＝DF＝AF，∴CD＝BF．又∵AD＝CE，∴FD＝CE．又∵∠DFB＝∠DCE＝60°，在△BFD和△DCE中，BF=CD∠DFB=∠ECD∴△BFD≌△DCE（SAS），∴DB＝DE．又∵DG⊥BC，∴BG＝EG．【总结提升】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．13．（2012秋•五河县期末）如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D．（1）求证：PD＝DQ；（2）若△ABC的边长为1，求DE的长．【思路引领】（1）过P做BC的平行线至AC于F，易证△APF是等边三角形，再证明△PFD与△QCD全等，得出结论；（2）利用△APF是等边三角形，PE⊥AC，得出AE＝EF，再由△PFD≌△QCD，得出CD＝DF，由此得出DE与AC的关系解决问题．【解答】（1）证明：如图，过P做PF∥BC交AC于点F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD＝∠QCD∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AFP＝60°，∴△APF是等边三角形；∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ∴△PFD≌△QCD，∴PD＝DQ．（2）△APF是等边三角形，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，△PFD≌△QCD，∴CD＝DF，DE＝EF+DF=12∵AC＝1，DE=1【总结提升】此题综合考查等边三角形的性质、三线合一以及三角形全等的判定与性质等知识点．类型六构造等边三角形15．（2013秋•华容区校级期中）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，D，E分别为AC，AB上的点，∠DBC＝60°，∠ECB＝50°，则∠BDE＝30°．【思路引领】根据等腰三角形的性质求出∠ABC＝∠ACB，过点B作BF＝BC，连接EF，然后求出∠BEC＝∠ECB＝50°，根据等角对等边可得BC＝BE，再求出∠CBF＝20°，然后求出∠EBF＝60°，判断出△BEF是等边三角形，根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质求出∠EFD＝40°，再求出∠EDF＝70°，然后根据∠BDE＝∠EDF﹣∠BDF代入数据计算即可得解．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝20°，∴∠ABC＝∠ACB=12（180°﹣∠A）=12（180°﹣过点B作BF＝BC，连接EF，∵∠ECB＝50°，∴∠BEC＝180°﹣80°﹣50°＝50°，∴∠BEC＝∠ECB，∴BC＝BE，又∵∠CBF＝180°﹣2∠ACB＝180°﹣2×80°＝20°，∴∠EBF＝∠ABC﹣∠CBF＝80°﹣20°＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴∠EFB＝60°，BF＝EF，∴∠EFD＝180°﹣∠EFB﹣∠CFB＝180°﹣60°﹣80°＝40°，∵∠DBC＝60°，∴∠DBF＝∠DBC﹣∠CBF＝60°﹣20°＝40°，∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣80°＝40°，∴∠DBF＝∠BDC，∴BF＝DF，∴EF＝DF，∴∠EDF=12（180°﹣∠EFD）=12（180°﹣∴∠BDE＝∠EDF﹣∠BDF＝70°﹣40°＝30°．故答案为：30°．【总结提升】本题考查了等腰三角形的性质，主要利