2023届山东省济南一中等四校高三年级下册第四次校内诊断考试数学试题

2023届山东省济南一中等四校高三下学期第四次校内诊断考试数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处〃。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（x-'+l）5展开项中的常数项为

X

A.1B.11C.-19D.51

22

2.过双曲线C:=-2=1（〃>0,〃>0）的右焦点F作双曲线C的一条弦45,且£4+/8=0,若以AB为直径的圆经

a2b~

过双曲线C的左顶点，则双曲线C的离心率为（）

A.y[2B.6C.2D.V5

3,若函数/（x）=e国-〃1尸有且只有4个不同的零点，则实数〃?的取值范围是（）

、(9\

e1、-00：

—,+00,+00C.IV

4)7

兀

4.已知非零向量班满足〃.八⑷=3,且〃与的夹角为“则|昨（）

A.6B.3亚C.272D.3

3—x

5.已知集合4={1€2|---->0},5={yeN|y=x-1,x^A},则AU5=()

x+2

A.{-1,0,1,2,3}B.{-1,0,1,2}C.(0,1,2}D.{x-lSr<2}

x

6.设尸={y,=—3+1,XGR},Q={y\y=2,xGR},贝Ij

A.PQQB.QGP

C.CRP^QD.QfP

7.已知数列｛《,｝是公比为q的等比数列，且卬，的，成等差数列，则公比q的值为（）

1-1-1

A.一一B.-2C.-1或一D.1或一一

222

8.某几何体的三视图如图所示，图中圆的半径为1,等腰三角形的腰长为3,则该几何体表面积为（）

|正促间于L不阀处

O＞z

A.7九B.6万C.5乃D.44

9.如图，双曲线C:Y0~—去V'=1（。＞0力〉0）的左，右焦点分别是6（—。,0），6（。,0）,直线）=村he与双曲线。的两

条渐近线分别相交于A8两点,若NB46=三TT,则双曲线。的离心率为（）

A.2B.亚1

3

C.0D.正

3

10.若复数二满足（l+i）z=i（i是虚数单位），贝!|z的虚部为（)

111.

A.-B.--C.-1D.--i

2222

22

11已知圆/+丫2-4》+2丫+1=0关于双曲线。：［一4=1（。＞0,。＞0）的一条渐近线对称，则双曲线。的离心率

a2b2I

为()

5

A.V5B.5C.也D.-

24

若忖=*且2。一目=6},

12.已知非零向量a、b，则向量方在向量a方向上的投影为（)

郛B.

A.轴c•-郛D.-轴

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若(2—x)=4+q(1+x)+a2(1+x)-++a7(l+x)，则/+囚+出++4+%三__，a°=___.

14.已知x,yeA,i为虚数单位，且*一2»一丁=-l+i,则x+y=.

15.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是.(写出所有正确命题的序号)

①因为"x+1上sinx,所以!不是函数y=sinx的周期；

②对于定义在R上的函数/(x),若/(-2)。/(2),则函数/(x)不是偶函数；

③“〃>N”是“/。82〃>/。82%”成立的充分必要条件；

④若实数。满足/44,则aV2.

16.已知|《=W=2,(a+2b)-(a-4=-2,则a与》的夹角为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，四棱锥E-A8CD的侧棱OE与四棱锥F-ABCD的侧棱8F都与底面ABC。垂直，ADVCD,

AB//CD,AB=3,AD=CD=4,AE=5,AF=3y/2.

(1)证明：。尸〃平面3CE.

(2)设平面A3尸与平面car所成的二面角为〃，求cos26.

18.(12分)已知函数/(x)=ln(ar)-a,(a>0).

(1)若函数〃(x)="/(x)在(0,+8)上单调递增，求实数”的值；

(2)定义：若直线/：y=Ax+人与曲线G：/(x,y)=()、。2：6(%》)=。都相切，我们称直线/为曲线G、C2的公

切线，证明:曲线/(x)=ln(ar)-a,(a>0)与g(x)=a/,(a>0)总存在公切线.

19.(12分)设P(〃，=Q5,〃?)=€1；:，其中“，»eN\

(1)当加=1时，求P5，1)Q(〃，D的值;

⑵对TmeN*,证明：「(〃，机)，。(〃，M恒为定值.

20.（12分）已知a>0,证明:

21.（12分）2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年

学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩（单位:

分）统计结果用茎叶图记录如下：

男女

647

3579

038656

1471356

5818

（I）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数；

（II）从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求X的分布列和数学期望；

（III）为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于5000）,并在每组中随机选取，〃个人作

为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作

为概率，给出团的最小值.（结论不要求证明）

22.(10分)设函数/(x)=(a-x)e*+Zu-clnx.

（1）若a=3,c=0时，/（x）在（0,+吟上单调递减，求。的取值范围;

(2)若a=2,Z?=4»c=4,求证：当x>l时，/W<16—8In2.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的，所以可分成三种情况.

【详解】

展开式中的项为常数项，有3种情况：

(1)5个括号都出1,即7=1；

(2)两个括号出x,两个括号出(-工)，一个括号出1,即7=仁52.仁.(一32」=30；

XX

(3)一个括号出x,一个括号出(—,)，三个括号出1,即7=。卜力。：<一!)-1=一20；

xx

所以展开项中的常数项为7=1+30-20=11,故选B.

【点睛】

本题考查二项式定理知识的生成过程，考查定理的本质，即展开式中每一项是由每个括号各出一项相乘组合而成的.

2、C

【解析】

由E4+EB=0得尸是弦48的中点.进而得A8垂直于x轴，得£=。+/再结合仇c关系求解即可

a

【详解】

因为E4+EB=0,所以尸是弦AB的中点.且A5垂直于x轴.因为以A5为直径的圆经过双曲线C的左顶点，所以

川//r

一-a+c,即-------=a+c,贝！Jc-a=a,故e=—=2.

aaa

故选：C

【点睛】

本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题.

3、B

【解析】

由/(力=即-加？是偶函数，则只需/(x)=阴-蛆2在x«0,”)上有且只有两个零点即可.

【详解】

解：显然/(x)=*-〃1是偶函数

所以只需X€(0,+8)时，32="一如2有且只有2个零点即可

令e*-iwc=0>贝!I根=二

X'

令g(x)喙，g'(x)=，(:[2)

xw(O,2),g<x)<O,g(x)递减，且xf(T,g(x)f+oo

x£(2,+◎，/(%)>O,g(x)递增，且xf+oo,g(x)f-

,2

g(x)>g(2)=—

XG(0,+8)时，/(•¥)=川-初/=，一初£有且只有2个零点，

e?

只需加〉一

4

故选：B

【点睛】

考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题.

4,D

【解析】

利用向量的加法的平行四边形法则，判断四边形的形状，推出结果即可.

【详解】

兀

解：非零向量(7，匕满足4.0=0，可知两个向量垂直，Ia1=3,且a与a+人的夹角为一，

4

说明以向量“，。为邻边，a+6为对角线的平行四边形是正方形，所以则|切=3.

故选：D.

【点睛】

本题考查向量的几何意义，向量加法的平行四边形法则的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题.

5、A

【解析】

解出集合A和5即可求得两个集合的并集.

【详解】

3—X

・.•集合Au&wZI2——>0}={x£Z|-2<x<3}={-1,0,L2,3),

x+2

B={j£N[y=x-LxGA}={-2,-1,0,L2},

AAUB={-2,-1,0,1,2,3}.

故选：A.

【点睛】

此题考查求集合的并集，关键在于准确求解不等式，根据描述法表示的集合，准确写出集合中的元素.

6、C

【解析】

解：因为P={y|y=-x2+LxSR)={y|y<1},Q={y|y=2x,xGR}={y|y>0},因此选C

7、D

【解析】

由a,a3,a2成等差数列得2a3=a1+a?,利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q的方程.

【详解】

由题意2a3=a1+a?,2a।q2=a,q+a।,AZq^q+l,...q=l或q=-^

故选：D.

【点睛】

本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求q是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练.

8、C

【解析】

几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1,圆锥的母线长为3,底面半径为1,计算得到答案.

【详解】

几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1,圆锥的母线长为3,底面半径为1,故几何体的表面积为

12

—x3x2乃+2»xl~=5%.

2

故选：C.

【点睛】

本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

9、A

【解析】

c877t

易得8（-小丁），过5作x轴的垂线，垂足为T,在中，利用Wi=tanw即可得到a*,c的方程.

22a4/3

【详解】

由已知，得8（，,如），过B作x轴的垂线，垂足为T,故丹丁=:，

22a2

儿

五

匕

又所以7t否BT=nrr即一--=

tan§=J3,Ca

2一

所以双曲线C的离心率e=Jl+§）2=2.

故选：A.

【点睛】

本题考查双曲线的离心率问题，在作双曲线离心率问题时，最关键的是找到a/,c的方程或不等式，本题属于容易题.

10、A

【解析】

由(1+i)z=/•得z='，然后分子分母同时乘以分母的共轨复数可得复数-，从而可得-的虚部.

1+1

【详解】

因为(l+i)z=i,

…ii(l-z)i-i2z+111.

所以z=----=-----------=-—----=—I—i,

1+z(l+z)(l-z)1-Z21+122

所以复数Z的虚部为!.

2

故选A.

【点睛】

本题考查了复数的除法运算和复数的概念，属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共朝复数，转化

为乘法运算.

11,C

【解析】

将圆Y+尸-4x+2y+1=0,化为标准方程为，求得圆心为(2,—1).根据圆V+V一4x+2y+1=0关于双曲线

。:£一。1(。〉0/>())的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上，,=再根据e=£=Jl+(2j求解.

【详解】

已知圆Y+>2_4x+2y+1=0,

所以其标准方程为：(x—2)2+(y+l『=4,

所以圆心为(2,-1).

22

因为双曲线。：+-方=1(。>0力>0),

b

所以其渐近线方程为y=±-x,

22

）广

又因为圆好+丫2-©+2丫+1=0关于双曲线C：3=1(。>0/>0)的一条渐近线对称,

优

则圆心在渐近线上,

故选:c

【点睛】

本题主要考查圆的方程及对称性，还有双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

12、D

【解析】

设非零向量。与〃的夹角为6,在等式囚-。|=6恸两边平方，求出cos。的值，进而可求得向量在向量a方向上

的投影为“cos。，即可得解.

【详解】

忖=2卜|,由|2。一。|=百忖得"一,=3上『，整理得2/一2。g_/=0，

二.2加一2,卜2Hcos0-4,|=0,解得cos0=-；,

因此，向量力在向量a方向上的投影为忖以九6=-；忖.

故选：D.

【点睛】

本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、12821

【解析】

令x=0,求得/+%+4++/+%的值•利用[3-(1+*)]展开式的通项公式，求得牝的值.

【详解】

令x=0,得4+q++%=27=128.[3—(1+x)了展开式的通项公式为G3"[-(l+x)]'，当r=6时，为

C^3'(1+X)6=21(1+X)6,即4=21.

【点睛】

本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查赋值法求解二项式系数有关问题，属于基础题.

14、4

【解析】

解：利用复数相等，可知由x-2=l,y=l有x+y=4.

15、®(2)@

【解析】

对①,根据周期的定义判定即可.

对②,根据偶函数满足的性质判定即可.

对③,举出反例判定即可.

对④，求解不等式a2<4,再判定即可.

【详解】

解：因为当尸?时，•卜s®,

所以由周期函数的定义知g不是函数的周期，

故①正确；

对于定义在R上的函数/(x),

若/(-2)=42),由偶函数的定义知函数"》)不是偶函数，

故②正确；

当M=1,N=0时不满足log2M>log2N,

贝!J"M>N”不是“log2M>log?N,”成立的充分不必要条件,

故③错误；

若实数”满足。244,

则-2Ka42,

所以aW2成立，

故④正确.

正确命题的序号是①©④.

故答案为：①②④.

【点睛】

本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题.

16、60°

【解析】

根据已知条件(a+2b)•(4-/?)=-2,去括号得：网=4+2x2xcos8-2x4=-2,

=cos。=±6=60"

2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

7

17、(1)证明见解析(2)-一

25

【解析】

(D根据线面垂直的性质定理，可得DE//BF,然后根据勾股定理计算可得BF=QE,最后利用线面平行的判定定理,

可得结果.

(2)利用建系的方法，可得平面A5尸的一个法向量为〃，平面COf的法向量为相，然后利用向量的夹角公式以及

平方关系，可得结果.

【详解】

(1)因为OEJ_平面A8CO,所以OE14D,

因为40=4,AE=5,DE=3,同理BF=3,

又OE_L平面ABCD,8尸_L平面ABCD,

所以DE//BF,XBF=DE,

所以平行四边形BED尸，故DFHBE,

因为3Eu平面BCE,。歹Z平面3CE

所以。尸〃平面BCE；

(2)建立如图空间直角坐标系，

则。(0,0,0),A(4,0,0),

C(0,4,0),F(4,3,-3),

DC=(0,4,0),DF=(4,3,-3),

设平面CDF的法向量为m=Cx,y,z),

m・DC=4j=0

由｝,令x=3,得加=(3,0,4),

DF=4x+3y-3z=0

易知平面ABF的一个法向量为n=(1,0,0),

所以cosV〃z,n>=—,

7

故cos26=2cos20-1=----.

25

【点睛】

本题考查线面平行的判定以及利用建系方法解决面面角问题，属基础题.

18、(1)〃=1；(2)见解析.

【解析】

(1)求出导数，问题转化为〃’(X)..O在(0,+8)上恒成立，利用导数求出例外=111(a1)+2-。的最小值即可求解

x

(2)分别设切点横坐标为不马，利用导数的几何意义写出切线方程，问题转化为证明两直线重合，只需满足

,1

cicA-——

%有解即可，利用函数的导数及零点存在性定理即可证明存在.

X1X2

ln(o¥])—Q—1=ae-ax2e

【详解】

(1)h(x)=ex[)n(ax)-a],x>0,

r.h'(x)-e'[ln(<ix)4----a]

x

函数〃(x)在(0,+oo)上单调递增等价于"(九)..0在(0,+8)上恒成立.

令夕(x)=ln(ax)+'-a,得°(x)=，--1=土」，

xXXX'

所以火幻在(0,1)单调递减，在(1,”)单调递增,则夕(x)1nsl,=奴1).

因为产>o,则//(x)..o在(0,m)上恒成立等价于e(x)..o在(0,田)上恒成立；

又。(3=0,

a

。(，)=。⑴=o，

a

所以，=1,即“=1.

a

(2)设/3=山30-。,(。>())的切点横坐标为％=玉，贝！|/'(X|)=一

X

切线方程为y-InCarJ+a=—(%-%))...①

%

设g(x)=a",(a〉())的切点横坐标为》=尤2，则g'(X2)=ae*,

切线方程为丫一。*=4/(工一工2)...②

■X1

ae2=—

若存在内，/，使①②成为同一条直线，则曲线/(幻与g(X)存在公切线，由①②得王消

X2X1

ln(6ZXj)-«-1=ae-ax2e

去玉得一X)-Q—1—CIC'_CLX-2C2

口1*(工1)_12*+1

即一二一J---二，2--------

ax2+1x2+1

令t(x)=e'-2e+1,则t(x)=":+:，+1>o

x+1(x+1)-

所以，函数y=，(x)在区间(0,e)上单调递增，

r⑴力2)<0，加G(1,2),使得心°)=。

二.XG(尤0，+00)时总有，(X)>*%)=0

又・•・％—>+x)时，心)一>+00

：.-=°'（曰二1在（0,+8）上总有解

ax+1

综上，函数/（x）=ln（ar）-«,（«>（））与g（x）=ae',（a>0）总存在公切线.

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数的恒成立问题，导数的几何意义，利用导数证明方程有解，属于难题.

19、（1）1（2）1

【解析】

分析：（1）当加=1时可得外〃］）=占,2（〃,1）=〃+1,可得P（”,1）-Q（〃,1）=L（2）先得到关系式

P{n,m）=-^--P^n-\,m）,累乘可得产（〃,加）=宣嬴P（。，加）=/,从而可得”）=1,即为

定值.

详解：（1）当加=1时，「（〃］）=力（—1）C；777=7TI£（—I）&：：=­，

k=01十长〃十,k=0〃十1

又Q（〃，i）=C：+i=〃+1,

所以P（〃,1〉Q（〃,1）=1.

⑵仆）吃（可&3

=理（一以©3+雷）^+（-1）"

“一19“

k=\m十KJt=i1

mi加理㈠公:^

n笈m+k

7九

=P（n-l,zn）4——P（n,m\

n

»7

即P（〃,m）=一——P（n-l,/n）,

由累乘可得产（〃，加）=（:北）!尸（°，加）

m

又Qgn)=C：+m，

所以P（〃,租）加）=1.

即P（〃，m）•Q（〃，m）恒为定值1.

点睛：本题考查组合数的有关运算，解题时要注意所给出的P（〃,加）和。（〃,加）的定义，并结合组合数公式求解.由

于运算量较大，解题时要注意运算的准确性，避免出现错误.

20、证明见解析

【解析】

利用分析法，证明。+—1>弓3即可.

a2

【详解】

证明：:>0,a-\—21,

a

•----1,

a

只要证明〃(a+—)1-4(a+—)+4,

a'aa

13

只要证明：a+->-,

a2

13

-：a+->l>~,

2

，原不等式成立.

【点睛】

本题考查不等式的证明，着重考查分析法的运用，考查推理论证能力，属于中档题.

3

21、（1）5万；（II）分布列见解析，E（X）=-;（0）4

【解析】

（I）根据比例关系直接计算得到答案.

（IDX的可能取值为0,1，2,计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.

101（Y"

（in）英语测试成绩在70分以上的概率为，=方=/,故忖\<1-90%,解得答案.

【详解】

2

(I)样本中女生英语成绩在80分以上的有2人，故人数为：