第3讲 绝对值的化简（知识讲练）（教师版）

绝对值的化简知识导航化简绝对值的核心是判断绝对值里面整体的正负，如果是正，直接去掉绝对值；如果是负，则利用取值范围化简绝对值本质还是利用未知数的取值范围，首先判断出绝对值而去掉绝对值.对于有些难度比较大的题目，可以利用特值法，在取值范围内取一个合正负即可.（2022秋•宜春期末）若有理数a，b满足ab≠0，则的值为0或2或﹣2．【思路点拨】分情况讨论a与b的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【完整解答】解：当a＞0，b＞0时，m＝1+1＝2；当a＞0，b＜0时，m＝1﹣1＝0；当a＜0，b＞0时，m＝﹣1+1＝0；当a＜0，b＜0时，m＝﹣1﹣1＝﹣2，则m的值为0或2或﹣2．故答案为：0或2或﹣2．【考点提示】此题考查了有理数的除法，乘法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（2022秋•洛南县期中）根据绝对值的概念，我们在一些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7．请根据以上规律计算：．【思路点拨】首先根据有理数的运算法则判断式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简即可．【完整解答】解：＝1﹣+…+﹣＝1﹣＝．【考点提示】此题考查了绝对值，有理数的加减混合运算，做题时，要注意多观察各项之间的关系．（2021秋•广丰区期末）对于式子|x﹣1|+|x﹣5|在下列范围内讨论它的结果．（1）当x＜1时；（2）当1≤x≤5时；（3）当x＞5时．【思路点拨】根据x的取值范围确定x﹣1，x﹣5的符号，再根据绝对值的意义进行化简即可．【完整解答】解：（1）当x＜1时，x﹣1＜0，x﹣5＜0，∴|x﹣1|+|x﹣5|＝1﹣x+5﹣x＝6﹣2x；（2）当1≤x≤5时，x﹣1＞0，x﹣5＜0，∴|x﹣1|+|x﹣5|＝x﹣1+5﹣x＝4；（3）当x＞5时，x﹣1＞0，x﹣5＞0，∴|x﹣1|+|x﹣5|＝x﹣1+x﹣5＝2x﹣6．【考点提示】本题考查绝对值，理解绝对值的意义是正确解答的前提，根据x的取值范围确定x﹣1，x﹣5的符号是解决问题的关键．（2022秋•南安市期中）已知|x|+4＝12，|y|+3＝5：（1）求x，y的取值；（2）当x﹣y＜0，求2x+y的值．【思路点拨】（1）先变形得到|x|＝8，|y|＝2，然后根据绝对值的意义得到x和y的值；（2）利用x﹣y＜0确定x、y的两组值，然后计算对应的2x+y的值．【完整解答】解：（1）∵|x|+4＝12，|y|+3＝5，∴|x|＝8，|y|＝2，∴x＝±8；y＝±2；（2）∵x﹣y＜0，∴x＝﹣8，y＝2或x＝﹣8，y＝﹣2，当x＝﹣8，y＝2时，2x+y＝2×（﹣8）+2＝﹣14；当x＝﹣8，y＝﹣2时，2x+y＝2×（﹣8）+（﹣2）＝﹣18；即2x+y的值为﹣14或﹣18．【考点提示】本题考查了绝对值：当a＞0，|a|＝a；当a＝0，|a|＝0；当a＜0，|a|＝﹣a．（2021秋•浉河区校级期末）已知a，b有理数在数轴上的位置如图所示，则下列四个结论中正确的是（）A．a＞b B．|a|＜|b| C．ab＞0 D．﹣a＞b【思路点拨】根据数轴上的点表示的数以及大小关系、有理数的乘法法则、绝对值等知识逐一分析即可．【完整解答】由数轴可知：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，A．由a＜0，b＞0，得a＜b，所以A错误，不符合题意；B．由数轴可知|a|＞|b|，所以B错误，不符合题意；C．由a＜0，b＞0，得ab＜0，所以C错误，不符合题意；D．由a＜﹣1，得﹣a＞1，又因为b＜1，所以﹣a＞b，所以D正确，符合题意．故选：D．【考点提示】本题主要数轴上的点表示的数以及大小关系、有理数的乘法和绝对值，熟练掌握数轴上的点表示的数以及大小关系、有理数的乘法法则、绝对值是解决本题的关键．（2021秋•椒江区期末）如图，a，b是数轴上的两个有理数，下面说法中正确的是（）A．a＞b B．b＞a C．|a|＞|b| D．|b|＞|a|【思路点拨】根据数轴的性质，一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，即可得a＜b，即可判断A选项不符合题意，因为图中没有给出原点的位置，所以当a＜b＜0时，|a|＞|b|，即可判定C选项不符合题意，所以当为当0＜a＜b时，|a|＜|b|，即可判定D选项不符合题意．【完整解答】解：根据题意可得，b＞a．A．所以A选项不正确，故A选项不符合题意；B．所以B选项正确，故B选项符合题意；C．因为当a＜b＜0时，|a|＞|b|，所以C选项不正确，故C选项不符合题意；D．因为当0＜a＜b时，|a|＜|b|，所以D选项不正确，故D选项不符合题意；故选：B．【考点提示】本题主要考查了数轴的应用，熟练掌握数轴的性质进行判定是解决本题的关键．（2021秋•仁寿县期末）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|2a+b|﹣|2c﹣b|﹣|c﹣a|＝﹣a﹣3c．【思路点拨】根据a，b，c在数轴上的位置可得a＜0，b＜0，c＞0，且|2a|＜|b|，即可得出2a+b＜0，2c﹣b＞0，c﹣a＞0，再根据绝对值的性质|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）进行化简即可得出答案．【完整解答】解：由图可知，∵a＜0，b＜0，c＞0，且|2a|＜|b|，∴2a+b＜0，2c﹣b＞0，c﹣a＞0，∴|2a+b|﹣|2c﹣b|﹣|c﹣a|＝﹣（2a+b）﹣（2c﹣b）﹣（c﹣a）＝﹣2a﹣b﹣2c+b﹣c+a＝﹣a﹣3c．故答案为：﹣a﹣3c．【考点提示】本题主要考查数轴的应用及绝对值的性质，熟练掌握数轴的应用及绝对值的性质进行计算是解决本题的关键．（2022秋•郫都区校级期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0．（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．【思路点拨】（1）根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后分别判断即可；（2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可．【完整解答】解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|，所以，b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0；故答案为：＜，＜，＞；（2）|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|＝（c﹣b）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣a）＝c﹣b﹣a﹣b﹣c+a＝﹣2b．【考点提示】本题考查了绝对值的性质，数轴，熟记性质并准确识图观察出a、b、c的正负情况是解题的关键．（2021秋•萧山区期中）已知﹣2≤x≤1，则化简代数式|x+2|﹣2|x﹣1|+|3﹣x|的结果是（）A．4x﹣3 B．2x+3 C．﹣2x+7 D．﹣2x+3【思路点拨】根据x的取值范围，利用绝对值的性质化简即可解答．【完整解答】解：∵﹣2≤x≤1，∴x+2≥0，x﹣1≤0，3﹣x＞0，∴|x+2|﹣2|x﹣1|+2|3﹣x|＝x+2+2x﹣2+3﹣x＝2x+3，故选：B．【考点提示】本题考查了绝对值，解决本题的关键是熟记绝对值的性质．（2020秋•九龙坡区校级期末）已知﹣1≤x≤2，则化简代数式3|x﹣2|﹣|x+1|的结果是（）A．﹣4x+5 B．4x+5 C．4x﹣5 D．﹣4x﹣5【思路点拨】由于﹣1≤x≤2，根据不等式性质可得：x﹣2≤0，x+1≥0，再依据绝对值性质化简即可．【完整解答】解：∵﹣1≤x≤2，∴x﹣2≤0，x+1≥0，∴3|x﹣2|﹣|x+1|＝3（2﹣x）﹣（x+1）＝﹣4x+5；故选：A．【考点提示】本题考查了不等式性质，绝对值定义和性质，整数加减运算等，熟练掌握并运用绝对值性质化简是解题关键．（2022秋•电白区期中）已知x＞3，化简：|3﹣x|＝x﹣3．【思路点拨】根据绝对值的定义即可得到结论．【完整解答】解：∵x＞3，∴3﹣x＜0，∴|3﹣x|＝x﹣3，故答案为：x﹣3．【考点提示】本题考查了绝对值的定义，熟记绝对值的定义是解题的关键．（2022秋•晋江市期末）若abcd≠0，则＝5或1或﹣3．【思路点拨】对a、b、c、d中正数的个数进行讨论，即可求解．【完整解答】解：当a、b、c、d中没有负数时，都是正数，则原式＝1+1+1+1+1＝5；当a、b、c、d中只有一个负数时，不妨设a是负数，则原式＝﹣1+1+1+1﹣1＝1；当a、b、c、d中有2个负数时，不妨设a，b是负数，则原式＝﹣1﹣1+1+1+1＝1；当a、b、c、d中有3个负数时，不妨a，b，c是负数，则原式＝﹣1﹣1﹣1+1﹣1＝﹣3；当a、b、c、d都是负数时，则原式＝﹣1﹣1﹣1﹣1+1＝﹣3，综上所述：代数式的值是5或1或﹣3．故答案为：5或1或﹣3．【考点提示】本题考查了有理数的除法法则和乘法法则，正确进行讨论是关键．知识导航将无条件化简转变成有条件化简常见变形如下：（2022秋•东海县期中）式子|x﹣1|+2取最小值时，x等于（）A．0 B．1 C．2 D．3【思路点拨】根据绝对值非负数的性质解答即可．【完整解答】解：∵|x﹣1|≥0，∴当|x﹣1|＝0时，|x﹣1|+2取最小值，∴x﹣1＝0，解得x＝1．故选：B．【考点提示】本题考查了绝对值非负数的性质，是基础题，比较简单．（2021秋•裕华区校级期末）当x＝2时，|x﹣2|+3最小，最小值是3．【思路点拨】根据绝对值非负数的性质解答即可．【完整解答】解：x﹣2＝0，即x＝2时，|x﹣2|+3最小，最小值是3．故答案为：2；3．【考点提示】本题考查了绝对值非负数的性质，掌握绝对值非负数的性质是关键．（2021秋•富拉尔基区校级期中）若|a﹣4|+|b+5|＝0，则a﹣b＝9．【思路点拨】本题可根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”解出a、b的值，再代入所求代数式即可．【完整解答】解：依题意得：a﹣4＝0，b+5＝0，∴a＝4，b＝﹣5．a﹣b＝4+5＝9．【考点提示】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．（2022秋•彭山区校级月考）（1）已知|a+2|+|b﹣1|＝0，则a+b的值是﹣1．（2）当a＝1时，|1﹣a|+2会有最小值，且最小值是2．（3）当x＝时，5﹣|2x﹣3|有最大值．【思路点拨】（1）根据绝对值的非负性解决此题．（2）根据绝对值的非负性解决此题．（3）根据绝对值的非负性解决此题．【完整解答】解：（1）∵|a+2|≥0，|b﹣1|≥0，∴当|a+2|+|b﹣1|＝0，则a+2＝0，b﹣1＝0．∴a＝﹣2，b＝1．∴a+b＝﹣2+1＝﹣1．故答案为：﹣1．（2）∵|1﹣a|≥0，∴|1﹣a|+2≥2．∴当1﹣a＝0，即a＝1，此时|1﹣a|+2取得最小值2．故答案为：1，2．（3）∵|2x﹣3|≥0，∴﹣|2x﹣3|≤0．∴5+（﹣|2x﹣3|）＝5﹣|2x﹣3|≤5．∴当2x﹣3＝0，即x＝时，5﹣|2x﹣3|取得最大值5．故答案为：．【考点提示】本题主要考查绝对值，熟练掌握绝对值的定义是解决本题的关键．一．选择题1．（2022秋•平桥区期中）若|m|＝m，则m的值不可能是（）A．2022 B．1 C．0 D．﹣1解：∵|m|＝m，∴m≥0，∴m的值不可能是﹣1．故选：D．2．（2021秋•八步区期末）如果|x﹣3|+|y+1|＝0，那么x﹣y等于（）A．﹣4 B．4 C．2 D．﹣2解：由题意得，x﹣3＝0，y+1＝0，解得x＝3，y＝﹣1，所以，x﹣y＝3﹣（﹣1）＝3+1＝4．故选：B．3．（2022秋•方城县月考）设实数a、b、c满足a＜b＜c（ac＜0），且|c|＜|b|＜|a|，则|x﹣a|+|x﹣b|+|x+c|的最小值是（）A． B．c﹣a C．c+a D．﹣c﹣a解：∵ac＜0，∴a，c异号，∵a＜b＜c，∴a＜0，c＞0，∵|c|＜|b|＜|a|，∴a＜b＜﹣c＜0＜c．∵|x﹣a|+|x﹣b|+|x+c|是表示数x的点到a，b，﹣c三点的距离之和，∴当x在a与﹣c之间时，这个距离之和最小，即a≤x≤﹣c时，|x﹣a|+|x﹣b|+|x+c|取得最小值，最小值为a与﹣c之间的距离，∴|x﹣a|+|x﹣b|+|x+c|的最小值是﹣c﹣a，故选：D．4．（2020秋•仁寿县校级期末）下列说法正确的是（）①已知a＞0，b＜0，则；②若|a+4|＝﹣4﹣a，则化简|b+3|﹣|a﹣4|＝a﹣b﹣7；③如果定义{a，b}＝，当ab＜0，a+b＞0，|a|＞|b|时，则{a，b}的值为a+b．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③解：①∵a＞0，b＜0，∴|a|＝a，|b|＝﹣b，ab＜0，∴|ab|＝﹣ab，∴，，，∴，故①正确，符合题意；②∵|a+4|＝﹣4﹣a，|b﹣3|＝b﹣3，∴a+4≤0，b﹣3≥0，∴a≤﹣4，b≥3，∴b+3＞0，a﹣4＜0，∴|b+3|﹣|a﹣4|＝b+3﹣（4﹣a）＝a+b﹣1，故②错误，不符合题意；③∵ab＜0，a+b＞0，|a|＞|b|，∴a＞0＞b，∴{a，b}＝a+b，故③正确，符合题意；∴①③正确，故选：B．5．（2022秋•巴东县校级月考）设abc≠0，且a+b+c＝0，则+++的值可能是（）A．0 B．±1 C．±2 D．0或±2解：∵abc≠0，且a+b+c＝0，∴a、b与c中可能有1个字母小于0，也可能有2个字母小于0．当a、b与c中有1个字母小于0，如a＜0，则b＞0，c＞0，∴+++＝﹣1+1+1﹣1＝0．当a、b与c中有2个字母小于0，如a＜0，b＜0，则c＞0，∴+++＝﹣1﹣1+1+1＝0．综上：+++＝0．故选：A．6．（2021秋•城厢区期末）若a＜0，则2a+5|a|等于（）A．3a B．﹣3a C．7a D．﹣7a解：∵a＜0，∴|a|＝﹣a，∴原式＝2a﹣5a＝﹣3a，故选：B．二．填空题7．（2023春•道里区期末）如果|x﹣3|＝3﹣x，则x的范围是x≤3．解：∵|x﹣3|＝3﹣x，∴x﹣3≤0，解得x≤3，故答案为：x≤3．8．（2022秋•金东区期中）已知有理数a，b，c满足+，则＝﹣1．解：根据绝对值的意义，知：一个非零数的绝对值除以这个数，等于1或﹣1．又+，则其中必有两个1和一个﹣1，即a，b，c中两正一负．则＝﹣1．9．（2022秋•辉县市期中）若|a﹣|+|b+1|＝0，则a+b＝．解：∵，∴a﹣＝0，a＝，b+1＝0，b＝﹣1，∴a+b＝﹣1＝﹣．故答案为：﹣．10．（2021秋•绵竹市期末）代数式|x+1009|+|x+506|+|x﹣1012|的最小值是2021．解：∵|x+1009|＝|x﹣（﹣1009）|，|x+506|＝|x﹣（﹣506）|，由绝对值的定义可知：|x+1009|代表x到﹣1009的距离；|x+506|代表x到﹣506的距离；|x﹣1012|代表x到1012的距离；结合数轴可知：当x在﹣1009与1012之间，且x＝﹣506时，距离之和最小，∴最小值＝1012﹣（﹣1009）＝2021，故答案为：2021．11．（2022春•杜尔伯特县期中）若|x﹣3|与|2y+3|互为相反数，则x+y＝．解：∵|x﹣3|与|2y+3|互为相反数，∴|x﹣3|+|2y+3|＝0，∴x﹣3＝0，2y+3＝0，解得x＝3，y＝﹣，所以，x+y＝3+（﹣）＝．故答案为：．12．（2020秋•饶平县校级期中）当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣1≤x≤2，最小值是3．解：由数形结合得，若|x+1|+|x﹣2|取最小值，那么表示x的点在﹣1和2之间的线段上，所以﹣1≤x≤2，最小值是3．故答案为：﹣1≤x≤2，3．13．（2014秋•巴南区期末）已知a、b、c的位置如图：则化简|﹣a|﹣|c﹣b|﹣|a﹣c|＝b﹣2c．解：|﹣a|﹣|c﹣b|﹣|a﹣c|＝﹣a﹣（c﹣b）+a﹣c＝b﹣2c故答案为：b﹣2c．三．解答题14．（2022秋•冷水滩区月考）已知|x﹣3|+|y+2|＝0，求x，y，3x﹣y的值．解：∵|x﹣3|+|y+2|＝0，|x﹣3|≥0，|y+2|≥0，∴x﹣3＝0，y+2＝0，解得x＝3，y＝﹣2，∴3x﹣y＝9﹣（﹣2）＝11，答：x＝3，y＝﹣2，3x﹣y＝11．15．（2022秋•泗水县校级月考）已知m，n满足|m﹣2|+|n﹣3|＝0，求2m+n的值．解：∵|m﹣2|+|n﹣3|＝0，而|m﹣2|≥0，|n﹣3|≥0，∴|m﹣2|＝0，|n﹣3|＝0∴m﹣2＝0，n﹣3＝0，解得m＝2，n＝3，∴2m+n＝4+3＝7，答：2m+n的值为7．16．（2021秋•宁远县校级月考）若|x﹣2|+|y+2|＝0，求x+y的值．解：由题意，得：x﹣2＝0，y+2＝0，∴x＝2，y＝﹣2．∴x+y＝2﹣2＝0．17．（2017秋•兴庆区校级期中）a、b所表示的有理数如图所示，化简|a+b|﹣|a﹣b|解：∵从数轴可知：b＜0＜a，∴a﹣b＞0，a+b＜0，∴|a+b|﹣|a﹣b|＝﹣a﹣b﹣a+b＝﹣2a．18．（2016秋•青羊区校级期中）a、b所表示的有理数如图所示，化简|a+b|﹣|a﹣b|﹣2（b﹣a）．解：∵从数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|，∴a﹣b＞0，a+b＜0，∴|a+b|﹣|a﹣b|﹣2（b﹣a）＝﹣a﹣b﹣a+b﹣2b+2a＝﹣2b．19．（2021秋•南昌县期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．用这种方法解决下列问题：（1）当a＝5时，