3.3函数的应用(一)3.4数学建模活动决定苹果的最佳出售时间点课件-高一上学期数学人教B版

第三章函数

3.3函数的应用（一）

3.4数学建模活动：

决定苹果的最佳出售时间点基础知识常见的函数模型(1)一次函数模型形如y＝kx＋b(k≠0)的函数模型是一次函数模型。应用一次函数的性质及图像解题时，应注意：①一次函数有单调递增(一次项系数为正)和单调递减(一次项系数为负)两种情况；②一次函数的图像是一条直线。(2)二次函数模型形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数模型是二次函数模型。二次函数模型是重要的数学模型之一，依据实际问题建立二次函数的解析式后，利用配方法求最值简单易懂，有时也可以依据二次函数的性质求最值，从而解决利润最大、用料最省等问题。思考：一次、二次函数模型的定义域都是全体实数，在实际应用问题中，定义域一定是全体实数吗？提示：不一定。在实际应用中，函数的自变量x往往具有实际意义，如x表示长度时，x≥0；x表示件数时，x≥0，且x∈Z等。在解答时，必须要考虑这些实际意义。典例精析为了鼓励大家节约用水，自2013年以后，上海市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示。记户年用水量为x

m³时应缴纳的水费为f(x)元(1)写出f(x)的解析式；(2)假设居住在上海的张明一家2015年共用水260m³，则张明一家2015年应缴纳水费多少元?解：(1)不难看出，

f(x)是一个分段函数，而且:当0<x≤220时，有f(x)=x;当220<x≤300时，有f(x)=220×3.45+(x－220)×4.83=4.83x－303.6;当x>300时，有f(x)=220×3.45+(300－220)×4.83+(x－300)×5.83

=5.83x－603.6.因此f(x)=3.45x，0<x≤220,4.83x－303.6，220<x≤300,5.83x－603.6，x>300.(2)因为220<260≤300，所以f(260)=4.83×260－303.因此张明一家2015年应缴纳水费952.2元。由上题可知，可以用分段函数来描述生活中的阶梯水价、阶梯电价等内容。典例精析城镇化是国家现代化的重要指标，据有关资料显示，1978-2013年，我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿，假设每一年城镇常住人口的增加量都相等，记1978年后第t(限定t＜40)年的城镇常住人口为f(t)亿。写出f(t)的解析式，并由此估算出我国2017年的城镇常住人口数。解：因为每一年城镇常住人口的增加量都相等，所以f(t)是一次函数，设f(t)=kt+b，其中k，b是常数。注意到2013年是1978年后的第2013-1978=35年，因此即f(0)=1.7，f(35)=7.3，b=1.7，35k+6=7.3，解得k=0.16，b=1.7。因此f(tt+1.7，t∈N且t＜40.又因为2017年是1978年后的第2017-1978=39年，而且f(39)=，所以由此可估算出我国2017年的城镇常住人口为7.94亿。典例精析某农家旅游公司有客房160间，每间房单价为200元时，每天都客满。已知每间房单价每提高20元，则客房出租数就会减少10间。若不考虑其他因素，旅游公司把每间房单价提到多少时，每天客房的租金总收入最高?分析：可以通过试算来理解题意，如下表所示.提价/元每间房单价/元客房出租数租金总收入/元02001603200020220150330004024014033600602601303380080280120336001003001103300012032010032000解：设每间房单价提高x个20元时，每天客房的租金总收入为y

元。因为此时每间房单价为200+20x元，而客房出租数将减少10x间，即为160-10x间，所以y=(200+20x)(160-10x)

=200(10+x)(16-x)=200(-x2+6x+160)

=200[-(x-3)2+169]

=200(x-3)2+33800.从而可知，当x=3时，y的最大值为33800。因此每间房单价提到200+20×3=260元时，每天客房的租金总收入最高。某单位计划用围墙围出一块矩形场地，现有材料可筑墙的总长度为l，如果要使围墙围出的场地面积最大，则矩形的长、宽各等于多少？解：设矩形的长为x时，场地的面积为S。典例精析

x>0,

又因为

典例精析已知某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为C=aQ²+Q时的平均成本为f(Q).(1)求f(Q)的解析式;(2)求年产量为多少时，平均成本最小，并求最小值.

建模过程描述与介绍俗话说，“物以稀为贵”。一般来说，当市面上某种商品的出售量比较多时，这种商品的价格就会比较低；而出售量比较少时，价格就会比较高。

例如，当市面上的苹果比较多时，苹果的价格就会降低。这时，如果利用一定的技术手段将苹果进行保鲜存储，等到市面上的苹果变少、价格上升之后再出售，则同样多的苹果就可以获得相对较高的销售收入，不过，需要注意的是，保鲜存储是有成本的，而且成本会随着时间的延长而增大。针对上述这种日常生活中的现象，我们可以提出一些什么问题呢？

当然，我们可以探讨的问题很多。例如，为什么会发生这些现象？什么情况下不会发生这样的现象？能够利用哪些技术手段进行保鲜存储？哪种保鲜存储的成本最低？等等。类似的这些问题，因为不仅仅涉及量的关系，所以如果只用数学手段研究，将是十分困难的。

不过，上述现象中，涉及了量的增大与减少的问题，这可以用数学符号和语言进行描述。仍以苹果为例，设市面上苹果的量为x万吨，苹果的单价为y

元。上述现象说明，y会随着x的增大而减少，且y也会随着x的减少而增大——也就是说，如果y是x的函数并记作y=f(x)的话，f(x)是减函数。同样地，如果设保鲜存储的时间为t天，单位数量的保鲜存储成本为C元，且C是t的函数并记作C=g(t)的话，g(t)是一个增函数。由于市面上苹果的量x会随着时间t

的变化而变化，因此可以认为x是t的函数，并记作x=h(t)。从上面这些描述不难看出，在第t天出售苹果时，单位数量的苹果所获得的收益z元可以用t表示出来，即z=y-C=f(x)-g(t)=f(h(t))-g(t).此时，如果f(x)，g(t)，h(t)都是已知的，则能得到z与t

的具体关系式。有了关系式之后，就能解决如下问题：z是否有最大值？如果z有最大值，那么t

为多少时z取最大值？

怎样才能确定上述f(x)，g(t)，h(t)呢？这可以通过合理假设以及收集数据、确定参数来完成。例如，为了简单起见，我们可以假设f(x)和g(t)都是一次函数，且f(x)=k1x+l1，g(t)=k2t+l2；并假设h(t)是一个二次函数，且h(t)=at2+bt+c.则有z=f(h(t))-g(t)=k1at2+(k1b-k2)t+k1c+

l1-l2，其中k1<0，

k2>0，a≠0.上述各参数可以通过收集实际数据来确定，例如，如果我们收集到了如下实际数据。利用待定系数法，根据前面的假设就可以确定出y=f(x)=-0.5x+5,C=g(t)=t,x=h(tt2t+9.6,因此z=-t2-t+0.1.注意到上式可以改写成z=-0.001(t-30)2+1，所以此时在t=30时，z

取最大值1。也就是说，在上述情况下，保鲜存储30天时，单位商品所获得的利润最大，为1元。这样一来，我们就建立了一个决定苹果的最佳出售时间点的模型，并通过有关数据进行了说明。

当然，实际情况与上面的建模结果可能会出现偏差，因为我们假设f(x)和g(t)都是一次函数等就已经把问题进行了简化，如果条件容许的话，可以先不假设函数的具体形式，在收集尽量多的数据的基础上，通过对数据的分析来最终得出函数的具体形式，这样也就能优化我们最终建立的模型。以上我们用叙述的方式，让大家经历了一个简单的数学建模全过程。由此可以看出，对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题就是数学建模，数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题。在实际的数学建模过程中，为了向别人介绍数学建模的成果，给别人提供参考，我们还需要将建模结果整理成论文的形式。

一般来说，数学建模论文的结构可以按照建模过程来确定。例如，图1、图2、图3所示都可以是数学建模论文的主体结构。论文标题一、发现问题、提出问题二、分析问题、建立模型三、确定参数、计算求解四、验证结果、改进模型图1论文标题一、问题的提出与分析二、模型的建立与计算三、问题的解决与反思图2论文标题一、背景介绍二、问题提出与分析三、模型假设与符号说明四、模型的建立五、模型的求解六、模型的检验七、模型的评价图3当然，数学建模论文中还可以根据需要增加作者、摘要、参考文献、附录等信息。需要提醒的是，对于一些综合性比较强的问题而言，数学建模的过程中需要做的事情比较多，比如数据收集与整理、模型试算、对比不同的模型、将结果以可视化方式展示、资料整理与论文撰写等，因此数学建模的过程中，往往采用分工合作的方式进行。一般来说，一个数学建模小组由3~5人组成。理想的小组中，既要有数学基础扎实的同学，也要有能熟练使用计算机的同学，还要有写作表达能力强的同学。基础自测1．某地固定电话市话收费规定：前三分钟元(不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增收元(不满一分钟按一分钟计算)，那么某人打市话550s，应支付电话费(

)A．元 B．元C．元 D．元B

2．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为了降低消耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图所示)．当截取的矩形面积最大时，矩形两边的长x，y应为(

)A．x＝15，y＝12

B．x＝12，y＝15C．x＝14，y＝10

D．x＝10，y＝14A

3．将进货单价为80元的商品按90元/个售出时，能卖出400个。已知该商品每个涨价1元时，其销售量就会减少20个。为了获得最大利润，其售价应定为(

)A．110元/个 B．105元/个C．100元/个 D．95元/个D

解析：设商品每个涨价x元，利润为y元，则销售量为(400－20x)个。根据题意，得y＝(10＋x)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4000＝－20(x－5)2＋4500.所以当x＝5时，y取得最大值，最大值为4500.即当每个涨价5元，也就是售价为95元/个时，可以获得最大利润，故选D。4．某游乐场每天的盈利额y(单位：元)与售出的门票数x(单位：张)之间的函数关系如图所示。试分析图像，要使该游乐场每天的盈利额超过1000元，那么每天至少应售出______张门票。234

典例剖析一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份元，卖出的价格是每份元，卖不完的还可以以每份元的价格退回报社。在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份报纸才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱。一次函数模型的应用思路探究：本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析。则y＝6x＋750＋x－200－6x＝x＋550(250≤x≤400，x∈N＋)．∵函数y＝x＋550在x∈[250,400]上是增函数，∴当x＝400时，y取得最大值870.即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为870元。归纳提升：实际问题中列出的函数关系式，要考虑实际问题对自变量的限制，即注意自变量的实际意义。对于与一次函数有关的最值问题通常借助一次函数的单调性结合定义域来处理。对点训练若一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图像表示为图中的(

)解析：蜡烛剩下的长度随时间增加而缩短，根据实际意义不可能是D；更不可能是A，C．故选B．B

典例剖析二次函数模型的应用某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元。市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱。(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系；(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？思路探究：本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系，虽然x∈[50,55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题。解析：(1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)。(2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润。所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9600(50≤x≤55，x∈N)。(3)因为w＝－3x2＋360x－9600＝－3(x－60)2＋1200，所以当x＜60时，w随x的增大而增大。又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1125。所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1125元。归纳提升：二次函数的实际应用1．在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中最值问题，二次函数求最值最好结合二次函数的图像来解答。2．对于本题要清楚平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润。对点训练渔场中鱼群的最大养殖量为m(m＞0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x应小于m，以便留出适当的空闲量。已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k(k＞0)。(1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值；(3)当鱼群年增长量达到最大值时，求k的取值范围。典例剖析分段函数模型的应用WAP手机上网每月使用量在500min以下(包括500min)，按30元计费；超过500min的部分按元/min计费。假如上网时间过短(小于60min)使用量在1min以下不计费，在1min以上(包括1min)按元/min计费。