第14章《整式的乘法与因式分解》备考提分专项训练（解析版）

第14章《整式的乘法与因式分解》备考提分专项训练（解析版）第一部分考前知识梳理一、幂的乘法运算1.同底数幂的乘法：底数_____，指数_____.am·an=______.2.幂的乘方：底数_____，指数_____.(am)n=______.3.积的乘方：积的每一个因式分别_____，再把所得的幂_____.(ab)n=______.二、整式的乘法

1.单项式乘单项式：

(1)将______________相乘作为积的系数；

(2)相同字母的因式，利用__________的乘法，作为积的一个因式；

(3)单独出现的字母，连同它的______，作为积的一个因式.

注：单项式乘单项式，积为________.2.单项式乘多项式：

(1)单项式分别______多项式的每一项；

(2)将所得的积______.

注：单项式乘多项式，积为多项式，项数与原多项式的项数______.

3.多项式乘多项式：

先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的______，再把所得的积______.三、整式的除法

1.同底数幂的除法：

同底数幂相除：底数_____，指数_____.am÷an=______.任何不等于0的数的0次幂都等于1.a0=am÷am=1.三、整式的除法

2.单项式除以单项式：

单项式相除，把______、____________分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的_______一起作为商的一个因式.

3.多项式除以单项式：

多项式除以单项式，就是用多项式的________除以这个________，再把所得的商______.四、乘法公式

1.平方差公式：

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

(a＋b)(a－b)＝a2－b2

2.完全平方公式：

两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.(a±b)2＝a2±2ab＋b2五、因式分解

1.因式分解的定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.

2.因式分解的方法：

(1)提公因式法(2)公式法：①平方差公式：_____________②完全平方公式：_____________步骤：1.提公因式；2.套用公式；3.检查分解是否彻底.

第二部分数学思想方法方法1整体思想1．（2021秋•上蔡县校级期中）阅读理解：已知a+b＝4，ab＝3，求a2+b2的值．解：∵a+b＝4，∴（a+b）2＝42，即a2+2ab+b2＝16．∵ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝10．参考上述过程解答：（1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2，则x2+y2＝5，（x+y）2＝1；（2）若m+n﹣p＝﹣10，（m﹣p）n＝﹣12，求（m﹣p）2+n2的值．【答案】（1）5，1；（2）124．【分析】（1）根据x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2，可求出x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝9﹣4＝5，进而再求出（x+y）2的值，（2）把（m﹣p）看作一个整体，就转化为（1），再利用（1）的方法求解即可．【思路引领】解：（1）∵x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2，∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝9﹣4＝5，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝5﹣4＝1，故答案为：5，1；（2）∵m+n﹣p＝﹣10，（m﹣p）n＝﹣12，∴（m﹣p）2+n2＝（m﹣p+n）2﹣2（m﹣p）n＝100+24＝124．【总结提升】本题考查完全平方公式，多项式乘以多项式，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，利用完全平方公式进行适当的变形是正确计算的关键．方法2方程思想2．（2022春•安乡县期中）已知将（x3+ax+b）（x2﹣3x+4）展开的结果不含x2和x3项，求a，b的值．【答案】a＝﹣4，b＝﹣12．【分析】先用多项式乘多项式展开，再让x3，x2的系数为0．列方程求解．【思路引领】解：（x3+ax+b）（x2﹣3x+4）＝x5﹣3x4+4x3+ax3﹣3ax2+4ax+bx2﹣3bx+4b＝x5﹣3x4+（4+a）x3+（﹣3a+b）x2+（4a﹣3b）x+4b∵不含x3和x2项，∴4+a＝0，﹣3a+b＝0，解得a＝﹣4，b＝﹣12．【总结提升】本题考查了多项式乘多项式，方程思想是解题的关键．方法3数形结合思想3．（2022秋•长春期末）将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2的长方形．（1）上述操作能验证的等式是B（请选择正确的一个）；A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；（3）应用公式计算：(1-1【答案】（1）B；（2）3；（3）20234044【分析】（1）根据题意，由图1可得，阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形：a2﹣b2，由图2可得，拼成的长方形长为a+b，宽为a﹣b，面积为（a+b）（a﹣b），因为两部分面积相等，即可得出答案；（2）根据平方差公式原式可化为，x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y），根据已知条件即可得出答案；（3）根据平方差公式原式可化为(1+12)(1-12)(1+13)(1-【思路引领】解：（1）根据题意，由图1可得，阴影部分的面积为：a2﹣b2，由图2可得，拼成的长方形长为a+b，宽为a﹣b，面积为（a+b）（a﹣b），所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：B．（2）∵x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）＝12，∵x+3y＝4，∴x﹣3y＝3；（3）(1-122)(1-=(1+12)(1-12)(1+1=3=1=2023【总结提升】本题主要考查了平方差公式的几何背景及平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的几何背景平方差公式的应用进行求解是解决本题的关键．常考题型突破题型1幂的运算性质5．（2021秋•西宁期末）下列运算正确的是（）A．（﹣2022）0＝﹣1 B．2022﹣1＝﹣2022 C．（4a）2＝8a2 D．2【答案】D【分析】利用零指数幂，负整数指数幂的运算法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．【思路引领】解：A、（﹣2022）0＝1，故A不符合题意；B、2022﹣1=12022，故C、（4a）2＝16a2，故C不符合题意；D、2-2×2=1故选：D．【总结提升】本题主要考查积的乘方，零指数幂，负整数指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．题型2乘法公式6．（2023•河口区三模）下列计算正确的是（）A．m+m＝m2 B．2（m﹣n）＝2m﹣n C．（m+2n）3＝m2+4n2 D．（m+3）（m﹣3）＝m2﹣9【答案】D【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．【思路引领】解：A、原式＝2m，不符合题意；B、原式＝2m﹣2n，不符合题意；C、原式＝m3+6m2n+12mn2+8n3，不符合题意；D、原式＝m2﹣9，符合题意．故选：D．【总结提升】此题考查了平方差公式，以及整式的加减，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．4．（2021秋•余干县期末）如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）观察图2．请你直接写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系为（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2；（2）运用你所得到的公式解答下列问题：①若m，n为实数，且m+n＝﹣2，mn＝﹣3，求m﹣n的值．②如图3，S1，S2，分别表示边长为p，q的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，若S1+S2＝20，AB＝p+q＝6，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2．（2）①m﹣n＝4或m﹣n＝﹣4．②8．【分析】（1）根据图2可知大正方形面积＝四个矩形的面积+中间小正方形的面积，从而可得到关系式．（2）①先求出（m+n）2的值，再利用第（1）问中的关系式，求解即可．②分别用a，b表示S1、S2的值，再利用S1+S2＝20，AB＝p+q＝6，即可求出pq的值，最后在求出阴影部分的面积即可．【思路引领】解：（1）由图可知，大正方形面积＝四个矩形的面积+中间小正方形的面积，即（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2，故答案为：（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2．（2）①∵m+n＝﹣2，mn＝﹣3，∴（m+n）2＝4，∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝4+12＝16，∴m﹣n＝4或m﹣n＝﹣4．②∵S1，S2，分别表示边长为p，q的正方形的面积，∴S1＝p2，S2＝q2，∵S1+S2＝20，∴p2+q2＝20，∵AB＝p+q＝6，∴（p+q）2＝p2+2pq+q2＝36，∴2pq＝16，∴pq＝8，由图可知，阴影部分面积=12pq•2＝pq＝∴阴影部分面积为8．【总结提升】本题主要考查完全平方式的运用与转化，解题的关键在于灵活运用（a+b）2＝a2+2ab+b2求解出ab的值．题型30指数幂7．（2022•陕西）计算：5×（﹣3）+|-6|﹣（17）【答案】﹣16+6【分析】根据有理数混合运算法则计算即可．【思路引领】解：5×（﹣3）+|-6|﹣（17＝﹣15+6＝﹣16+6【总结提升】此题考查了实数的混合运算，零指数幂，熟练掌握有理数混合运算的法则是解题的关键．题型4分解因式8．将下列多项式因式分解，结果中不含有x+2因式的是（）A．x2﹣4 B．x2+2x C．x2+2 D．x2+4x+4【答案】C【分析】利用提公因式法与公式法进行分解即可判断．【思路引领】解：A．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），故A不符合题意；B．x2+2x＝x（x+2），故B不符合题意；C．x2+2，结果中不含有x+2因式，故C符合题意；D．x2+4x+4＝（x+2）2，故D符合题意；故选：C．【总结提升】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式的特征是解题的关键．题型5整式的化简求值9．（2022秋•鹤壁期末）先化简，再求值：[（x+2y）（x﹣2y）﹣（x+4y）2]÷4y，其中x＝3，y＝1．【答案】﹣5y﹣2x，﹣11．【分析】直接利用乘法公式化简，再合并同类项，进而把已知数据代入得出答案．【思路引领】解：原式＝[x2﹣4y2﹣（x2+8xy+16y2）]÷4y＝（x2﹣4y2﹣x2﹣8xy﹣16y2）÷4y＝（﹣20y2﹣8xy）÷4y＝﹣5y﹣2x，当x＝3，y＝1时，原式＝﹣5×1﹣2×3＝﹣5﹣6＝﹣11．【总结提升】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．第四部分全章模拟测试一、选择题1．（2023春•长春期末）下列运算正确的是（）A．（ab）3＝ab3 B．a8÷a2＝a4 C．（a2）3＝a5 D．a2•a3＝a5【答案】D【分析】根据积的乘方、幂的乘方，同底数幂的乘法、同底数幂的除法运算法则分别进行计算求解．【思路引领】解：A、（ab）3＝a3b3≠ab3，本选项不符合题意；B、a8÷a2＝a8﹣2＝a6≠a4，本选项不符合题意；C、（a2）3＝a2×3＝a6≠a5，本选项不符合题意；D、a2•a3＝a2+3＝a5，本选项符合题意．故选：D．【总结提升】本题考查了积的乘方、幂的乘方，同底数幂的乘法、同底数幂的除法的运算法则，熟练掌握这些运算法则是解答本题的关键．2．（2022秋•任城区期中）下列从左到右的变形属于因式分解的是（）A．a2+a+14=（a+12）2 B．6a3b＝3aC．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1 D．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9【答案】A【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【思路引领】解：A．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；B．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；C．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；D．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意．故选：A．【总结提升】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．3．（2022秋•江油市期中）已知多项式x﹣a与2x2﹣2x+1的乘积中不含x2项，则常数a的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】先根据多项式的乘法法则展开，再根据题意，二次项的系数等于0，列式求解即可．【思路引领】解：（x﹣a）（2x2﹣2x+1）＝2x3+（﹣2﹣2a）x2+（2a+1）x﹣a，∵不含x2项，∴﹣2﹣2a＝0，解得a＝﹣1．故选：A．【总结提升】本题主要考查多项式与多项式的乘法，运算法则需要熟练掌握，不含某一项就让这一项的系数等于0是解题的关键．4．（2022秋•乳山市期中）多项式x2y+2xy与x2y﹣4y的公因式是（）A．y B．x+2 C．x﹣2 D．y（x+2）【答案】D【分析】先对多项式式x2y+2xy与x2y﹣4y进行因式分解，再根据公因式的定义解决此题．【思路引领】解：x2y+2xy＝xy（x+2），x2y﹣4y＝y（x+2）（x﹣2），∴多项式x2y+2xy与x2y﹣4y的公因式是y（x+2）．故选：D．【总结提升】本题主要考查运用公式法进行因式分解以及公因式的定义，熟练掌握运用公式法进行因式分解以及公因式的定义是解决本题的关键．5．（2022秋•永春县期中）如果x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（）A．5 B．±10 C．10 D．±5【答案】B【分析】这里首末两项是x和5这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和5的积的2倍，故k＝±2×5＝±10．【思路引领】解：由于（x±5）2＝x2±10x+25＝x2+kx+25，∴k＝±10．故选：B．【总结提升】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．6．（2021春•东明县期中）已知xa＝2，xb＝3，则x3a+b的值是（）A．17 B．72 C．24 D．36【答案】C【分析】利用同底数幂的乘法法则和幂的乘方与积的乘方的逆运算解答即可．【思路引领】解：x3a+b＝x3a•xb＝（xa）3•xb＝23×3＝8×3＝24．故选：C．【总结提升】本题主要考查了同底数幂的乘法法则和幂的乘方与积的乘方，利用幂的乘方与积的乘方的逆运算解答是解题的关键．7．（2016•镇江二模）若代数式(12k-1A．2 B．2或4 C．0、2、4 D．0或4【答案】D【分析】根据零指数幂的意义和有理数的乘方解答即可．【思路引领】解：∵(12∴当k＝2时，(1当k＝0时，(12k-1)k-2=（﹣1）当k＝4时，(12k-1)k-2=即k可以取的值是0或4．故选：D．【总结提升】本题主要考查了零指数幂和有理数的乘方，解题的关键是掌握零指数幂的意义和有理数的乘方的运算方法．8．（2022秋•南安市期中）已知a＝2020x+2020，b＝2020x+2021，c＝2020x+2022，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】由a，b，c的值，求出a﹣b，a﹣c，b﹣c的值，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求解．【思路引领】解：∵a＝2020x+2020，b＝2020x+2021，c＝2020x+2022，∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，则原式==12[(a2-2ab+b2)+(a2=1=1故选：D．【总结提升】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．9．（2023春•新城区校级期末）因式分解：9x﹣4x3＝x（3+2x）（3﹣2x）​．【答案】x（3+2x）（3﹣2x）．【分析】原式提取公因式即可得到结果．【思路引领】解：原式＝x（9﹣4x2）＝x（3+2x）（3﹣2x）．故答案为：x（3+2x）（3﹣2x）．【总结提升】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．10．（2022秋•莱西市期中）已知正方形的面积是（16﹣8x+x2）cm2（x＞4），则正方形的周长是（4x﹣16）cm．【答案】（4x﹣16）．【分析】由正方形面积求出边长，再根据周长公式可得正方形周长．【思路引领】解：∵16﹣8x+x2＝（x﹣4）2（x＞4），∴正方形的边长为x﹣4，∴正方形的周长是4（x﹣4）＝（4x﹣16）cm，故答案为：（4x﹣16）．【总结提升】本题考查完全平方公式，解题的关键是掌握正方形的面积，周长与边长的关系．11．（2022春•单县期末）已知x+y＝5，x2+y2＝11，则xy＝7．【答案】7．【分析】根据句完全平方公式即可求出答案．【思路引领】解：∵（x+y）2＝x2+y2+2xy，∴25＝11+2xy，∴xy＝7，故答案为：7．【总结提升】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．12．（2022春•海州区期中）已知单项式2x3y2与﹣5x2y2的积为mxny4，那么m﹣n＝﹣15．【答案】﹣15．【分析】将两单项式相乘后利用待定系数即可取出m与n的值．【思路引领】解：∵2x3y2•（﹣5x2y2）＝﹣10x5y4，∴mxny4＝﹣10x5y4，∴m＝﹣10，n＝5．∴m﹣n＝﹣10﹣5＝﹣15．故答案为：﹣15．【总结提升】本题考查单项式乘以单项式，解题的关键是熟练运用整式的乘法法则，本题属于基础题型．13．（2022秋•南召县期中）已知多项式2x3﹣4x2﹣10除以一个多项式A，得商式为2x，余式为x﹣10，求这个多项式A是x2﹣2x-12【答案】x2﹣2x-1【分析】根据整式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．【思路引领】解：由题意可知：A＝[2x3﹣4x2﹣10﹣（x﹣10）]÷2x＝（2x3﹣4x2﹣10﹣x+10）÷2x＝（2x3﹣4x2﹣x）÷2x＝x2﹣2x-1故答案为：x2﹣2x-1【总结提升】本题考查整式的除法，解题的关键是熟练运用整式的乘除运算以及加减运算，本题属于基础题型．14．（2021春•盐湖区校级期末）定义一种新运算（a，b），若ac＝b，则（a，b）＝c，例（2，8）＝3，（3，81）＝4．已知（3，5）+（3，7）＝（3，x），则x的值为35．【答案】35．【分析】设3m＝5，3n＝7，根据新运算定义用m、n表示（3，5）+（3，7），得方程，求出x的值．【思路引领】解：设3m＝5，3n＝7，依题意（3，5）＝m，（3，7）＝n，∴（3，5）+（3，7）＝m+n．∴（3，x）＝m+n，∴x＝3m+n＝3m×3n＝5×7＝35．故答案为：35．【总结提升】本题考查了幂的乘方、积的乘方等知识点，理解并运用新运算的定义是解决本题的关键．15．（2022•古浪县校级开学）因式分解：（1）（a+b）x2﹣（a+b）；（2）9（a+b）2﹣4（a﹣b）2．【答案】（1）（a+b）（x+1）（x﹣1）；（2）（5a+b）（a+5b）．【分析】（1）先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可解答；（2）利用平方差公式进行分解即可解答．【思路引领】解：（1）（a+b）x2﹣（a+b）＝（a+b）（x2﹣1）＝（a+b）（x+1）（x﹣1）；（2）9（a+b）2﹣4（a﹣b）2＝[3（a+b）+2（a﹣b）][3（a+b）﹣2（a﹣b）]＝（3a+3b+2a﹣2b）（3a+3b﹣2a+2b）＝（5a+b）（a+5b）．【总结提升】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．16．（2023春•淄博期末）计算：（1）a4+（﹣2a2）3﹣a8÷a4；（2）a3•a+（﹣3a3）2÷a2；（3）（2x﹣3y）2﹣（y+3x）（3x﹣y）；（4）（a﹣2b+3）（a+2b﹣3）．【答案】（1）﹣8a6；（2）10a4；（3）﹣5x2﹣12xy+10y2；（4）a2﹣4b2+12b﹣9．【分析】（1）先算乘方，再算除法，最后合并同类项；（2）先算乘方，再算乘除，最后合并同类项；（3）先用完全平方公式和平方差公式展开，再去括号合并同类项；（4）先用平方差公式，再用完全平方公式．【思路引领】解：（1）原式＝a4﹣8a6﹣a4＝﹣8a6；（2）原式＝a4+9a6÷a2＝a4+9a4＝10a4；（3）原式＝4x2﹣12xy+9y2﹣（9x2﹣y2）＝4x2﹣12xy+9y2﹣9x2+y2＝﹣5x2﹣12xy+10y2；（4）原式＝a2﹣（2b﹣3）2＝a2﹣（4b2﹣12b+9）＝a2﹣4b2+12b﹣9．【总结提升】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．17．（2022秋•奉贤区期中）根据所学我们知道：可以通过用不同的方法求解长方形面积，从而得到一些数学等式．如图1可以表示的数学等式：（a+m）（b+n）＝ab+an+bm+mn，请完成下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式：（a+1）（a+2）＝a2+3a+2．（2）从图3可得（a+b）（a+b+c）＝a2+2ab+b2+ac+bc．（3）结合图4，已知a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，求ab+bc+ac的值．【答案】（1）a2+3a+2；（2）a2+2ab+b2+ac+bc；（3）11．【分析】（1）（2）根据题意利用面积公式计算即可求解；（3）首先根据面积公式得到（a+b+c）（a+b+c）＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，然后利用已知条件即可求解．【思路引领】解：（1）（a+1）（a+2）＝a2+a+2a+2＝a2+3a+2；故答案为：a2+3a+2；（2）（a+b）（a+b+c）＝a2+b2+ab+ab+ac+bc