高考重难点突破之-一道直线最值题的拓展探究讲义_第1页
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一道直线最值问题的拓展探究问题：直线过点，分别交轴的正半轴和轴的正半轴于两点，为坐标原点，当最小时，求直线的方程.探究一、一题多解法一、设直线的方程为：，其中，令，得，令，得，等号成立，当且仅当，解得，直线的方程为即.法二、设直线的方程为：，其中，直线过点，等号成立，即当且仅当，解得，直线的方程为即.法三、作轴于点，作轴于点，设，则等号成立，当且仅当，解得，直线的斜率为,方程为即.探究二、问题变更变更1、条件不变，当的面积最小时，求直线的方程.法一、设直线的方程为：，其中，令，得，令，得，等号成立，当且仅当，解得，直线的方程为.法二、设直线的方程为：，其中，直线过点，由得等号成立，即当且仅当，解得，直线的方程为即.法三、作轴于点，作轴于点，设，则等号成立，当且仅当，解得，直线的斜率为,方程为即.变更2、条件不变，当的值最小时，求直线的方程.法一、设直线的方程为：，其中，令，得，令，得，等号成立，当且仅当，解得，直线的方程为.法二、作轴于点，作轴于点，设，则当即时，直线的斜率为,方程为即.说明：设直线的方程为：，其中，直线过点，，此方向困难重重！变更3、条件不变，当的值最小时，求直线的方程.法一、设直线的方程为：，其中，令，得，令，得，记由得当时单调递减；当时单调递增；时，有最小值，从而最小，此时直线的方程为.法二、作轴于点，作轴于点，设，则记由即得函数在上单调递增，设则此时单调递减；此时单调递增；即时，最短，此时直线的方程为.变更4、一般性探讨直线过第一象限的点，分别交轴的正半轴和轴的正半轴于两点，为坐标原点，当的值最小时，求直线的方程.法一、设直线的方程为：，其中，令，得，令，得，记而为上的增函数，由得得，当时，单调递减；当时单调递增；时，有最小值，从而最短，此时直线的方程为，即.法二、作轴于点，作轴于点，设，则记由即得函数

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