一元二次方程及其解法

21.1一元二次方程第二十一章一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（RJ）全册精品教学课件学习目标1.理解一元二次方程的概念.（难点）2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(重点）导入新课复习引入1.什么叫方程？我们学过哪些方程？含有未知数的等式叫做方程.我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程.2.什么叫一元一次方程？含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.讲授新课一元二次方程的概念一问题1初中同学毕业20周年聚会，如果参加聚会的有x个人，每两人之间都握一次手，共握了21次手，请你列出符合上述条件的方程，并判断方程是什么类型？解析：设参加聚会有x人，每个人都要与(x-1)人握手，由于甲与乙握手和乙与甲握手是同一次握手，所以全部握手次数是.解：根据题意，列方程：整理得：化简，得：该方程中有未知数的个数和最高次数各是多少？问题2有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？请根据题意列出方程.100cm50cmx3600cm2解：设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为（100-2x)cm,宽为(50-2x)cm,根据方盒的底面积为3600cm2,得整理，得化简，得该方程中有未知数的个数和最高次数各是多少？观察与思考方程①、②都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？特点:①都是整式方程;②只含一个未知数;③未知数的最高次数是2.知识要点一元二次方程的概念像这样的等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)二次项系数一次项系数常数项≠3练一练已知关于x的方程，当

k______

时，它是一元二次方程．

想一想为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c可以为零吗？当a=0时，方程变为bx＋c=0，不再是一元二次方程.ax2+bx+c=0强调：“=”左边最多有三项，一次项、常数项可不出现，但二次项必须有;“=”左边按未知数x的降幂排列;“=”右边必须整理为0.典例精析例1

下列选项中，关于x的一元二次方程的是（）C不是整式方程含两个未知数化简整理成x2-3x+2=0少了限制条件a≠0提示

判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.例2将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.解：去括号，得3x2-3x=5x+10.移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.系数和项均包含前面的符号.注意一元二次方程的根二一元二次方程的根使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）.例3下面哪些数是方程x2–x–6=0的解?-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4解：3和-2.你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根.当堂练习1.下列哪些是一元二次方程？√×√××√3x+2=5x-2x2=0(x+3)(2x-4)=x23y2=(3y+1)(y-2)x2=x3+x2-13x2=5x-12.填空：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项-21313-540-53-2的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0有一个根为0，求m的值.二次项系数不为零不容忽视解：将x=0代入方程m2-4=0，解得m=±2.∵m+2≠0，∴m≠-2，综上所述：m=2.课堂小结一元二次方程概念是整式方程；含一个未知数；最高次数是2.一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件；确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项要先化为一般式.根使方程左右两边相等的未知数的值.见《学练优》本课时练习课后作业21.2.1配方法第二十一章一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（RJ）教学课件第1课时直接开平方法学习目标1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.(难点）2=p或（x+n)2=p(p≥0)的方程.(重点）导入新课复习引入平方根1.如果x2=a,则x叫做a的.2.如果x2=a(a≥0),则x=.3.如果x2=64,则x=.±84.任何数都可以作为被开方数吗？负数不可以作为被开方数.讲授新课直接开平方法的概念一问题1一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？解：设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程10×6x2=1500，由此可得x2=25根据平方根的意义，得即x1=5，x2=－5.可以验证，5和－5是方程①的两根，但是棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm．①x=±5，试一试解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.(1)x2=4(2)x2=0(3)x2+1=0解:根据平方根的意义，得x1=2,x2=-2.解:根据平方根的意义，得x1=x2=0.解:根据平方根的意义，得x2=-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解.（2）当p=0时，方程(I)有两个相等的实数根=0；（3）当p<0时,因为任何实数x，都有x2≥0，所以方程(I)无实数根.探究归纳如果我们把x2=4，x2=0，x2+1=0变形为x2=p呢？一般的，对于方程x2=p,(I)（1）当p>0时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根，；利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.归纳例1利用直接开平方法解下列方程:(1)x2=25；(2)

x2－900=0.解：（1）x2=25，直接开平方，得x=±5，∴x1=5，x2=－5.（2）移项，得x2=900.直接开平方，得x=±30，∴x1=30,x2=－30.典例精析练一练完成课本P6练习（1）、（2）、（6）在解方程(I)时，由方程x2=25得x=±5.由此想到:（x+3)2=5，②得用直接开平方法解方程二对照上面解方程(I)的方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5探究交流于是，方程（x+3）2=5的两个根为上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.解题归纳例2解下列方程：⑴（x＋1）2=2；典例精析解析：第1小题中只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.即x1=-1+，x2=-1-解：（1）∵x+1是2的平方根，∴x+1=解析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样地解.例2解下列方程：（2）（x－1）2－4=0；即x1=3，x2=-1.解：（2）移项，得（x-1）2=4.∵x-1是4的平方根，∴x-1=±2.典例精析∴x1=，

x2=例2解下列方程：(3)12（3－2x）2－3=0.典例精析解析：第3小题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可.解：(3)移项，得12（3-2x）2=3，两边都除以12，得（3-2x）2=0.25.∵3-2x是0.25的平方根，∴3-2x=±0.5.即3-2x=0.5,3-2x=-0.5首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解.1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？如果一个一元二次方程具有x2=p或（x＋n）2=p（p≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.探讨交流当堂练习

(C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)=±3,

x1=;x2=(D)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5,x1=1;x2=-41、下列解方程的过程中，正确的是（）(A)x2=-2,解方程，得x=±(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4D(1)方程x2=0.25的根是.(2)方程2x2=18的根是.(3)方程(2x-1)2=9的根是.3.解下列方程：(1)x2-81＝0；(2)2x2＝50；(3)(x＋1)2=4.x1=0.5,x2=-0.5x1＝3,x2＝-3x1＝2,x2＝－12.填空:解：x1＝9,x2＝－9；解：x1＝5,x2＝－5；解：x1＝1,x2＝－3.4.（请你当小老师）下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正.①②③④解：解：不对，从开始错，应改为能力拓展：方程x2+6x+4=0可以用直接开平方法解吗？如果不能，那么请你思考能否将其转化成平方形式？课堂小结直接开平方法概念步骤基本思路利用平方根的定义求方程的根的方法关键要把方程化成x2=p(p≥0)或（x+n)2=p（p≥0).一元二次方程两个一元一次方程降次直接开平方法见《学练优》本课时练习课后作业21.2.1配方法第二十一章一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（RJ）教学课件第2课时配方法学习目标1.了解配方的概念.2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.(重点）3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.（难点）导入新课复习引入(1)9x2=1；(2)(x-2)2=2.想一想：2.下列方程能用直接开平方法来解吗?练一练:1.用直接开平方法解下列方程:(1)x2+6x+9=5；(2)x2+6x+4=0.把两题转化成(x+n)2=p(p≥0)的形式，再利用开平方讲授新课配方的方法一1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式.(1)a2+2ab+b2=()2；(2)a2-2ab+b2=()2.a+ba-b2.填上适当的数或式,使下列各等式成立.（1）x2+4x+=(x+)2（2）x2-6x+=(x-)2（3）x2+8x+=(x+)2（4）x2-x+=(x-)2你发现了什么规律？探究交流222323424二次项系数为1的完全平方式：

常数项等于一次项系数一半的平方.归纳总结想一想：x2+px+()2=(x+)2配方的方法用配方法解方程二探究交流怎样解方程(2)x2+6x+4=0问题1方程(2)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？解：x2+6x+4=0x2+6x=-4移项x2+6x+9=-4+9两边都加上9二次项系数为1的完全平方式：

常数项等于一次项系数一半的平方.方法归纳在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.问题2为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.方程配方的方法：要点归纳像这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.配方法的定义配方法解方程的基本思路把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解．配方法解方程的基本步骤一移常数项；二配方[配上]；三写成（x+n)2=p(p≥0);四直接开平方法解方程.典例精析例1解下列方程：解：（1）移项，得x2－8x=－1,配方，得x2－8x+42=－1+42,(x－4)2=15由此可得即配方，得由此可得二次项系数化为1，得解：移项，得2x2－3x=－1,方程的二次项系数不是1时，为便于配方，可以将方程各项的系数除以二次项系数．即移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?配方，得因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x－1)2都是非负数，即上式都不成立，所以原方程无实数根．解：移项，得二次项系数化为1，得为什么方程两边都加12？即当堂练习1.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；（3）4x2-6x-3=0；（4）3x2+6x-9=0.解：x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程无解；解：x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2；解：x2+2x-3=0，(x+1)2=4.x1=-3,x2=1.2.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？

解：设道路的宽为xm,根据题意得（35-x)(26-x)=850，整理得x2-61x+60=0.解得x1=60（不合题意，舍去）,x2=1.答：道路的宽为1m.能力提升配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5的值必定大于零.解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=（k－2）2＋1因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.所以k2－4k＋5的值必定大于零.课堂小结配方法定义通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法.方法在方程两边都配上步骤一移常数项；二配方[配上]；三写成（x+n)2=p(p≥0);

四直接开平方法解方程.特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.见《学练优》本课时练习课后作业21.2解一元二次方程第二十一章一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（RJ）教学课件21.2.2公式法学习目标1.经历求根公式的推导过程.（难点）2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.(重点）3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.导入新课复习引入1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？2+4x+1=0?讲授新课求根公式的推导一任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(Ⅲ)能否也用配方法得出(Ⅲ)的解呢？用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).方程两边都除以a解:移项，得配方，得即用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).即一元二次方程的求根公式特别提醒∵a≠0,4a2>0，当b2-4ac≥0时，由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，将a，b，c代入式子就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.用公式法解一元二次方程的前提是:1.必需是一般形式的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0);≥0.注意公式法解方程二例1用公式法解方程5x2-4x-12=0解：∵a=5,b=-4,c=-12，b2-4ac=(-4)2-4×5×(-12)=256>0.典例精析例2

解方程：化简为一般式：解：即：这里的a、b、c的值是什么？例3解方程：4x2-3x+2=0因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根.解：要点归纳公式法解方程的步骤1.变形:化已知方程为一般形式;2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;3.计算:b2-4ac的值;4.判断：若b2-4ac≥0，则利用求根公式求出;若b2-4ac<0，则方程没有实数根.根的判别式三问题1在例1~例3的解题中，你们发现了什么决定了方程根的情况？又是如何决定的呢？两个不相等实数根两个相等实数根没有实数根两个实数根判别式的情况

根的情况

一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即=

b2-4ac.>0=0<0≥0例4按要求完成下列表格：典例精析的值04根的情况有两个相等的实数根没有实数根有两个不相等的实数根3、判别根的情况，得出结论.1、化为一般式，确定a,b,c的值.要点归纳根的判别式使用方法2、计算的值，确定的符号.（3）方程4x2－4x+1=0中，a=，b=，c=；b2－4ac=.当堂练习1.先把下列一元二次方程化成一般形式，再写出一般形式的a、b、c：（1）方程2x2+x-6=0中，a=，b=，c=；b2－4ac=.（2）方程5x2－4x=12中，a=，b=，c=；b2－4ac=.21-6495-4-122564-401参考答案:2.解下列方程:(1)x2-2x－8＝0；(2)9x2＋6x＝8；(3)(2x-1)(x-2)=-1;3.不解方程，判别方程5y2+1=8y的根的情况.解：化为一般形式为：5y2-8y+1=0.所以Δ=b2－4ac=（5）2-4×（-8）×1=57>0.所以方程5y2+1=8y的有两个不相等的实数根.这里a=5,b=-8,c=1，能力提升：在等腰△ABC中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC的周长.解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，所以Δ=b2－4ac=（b-2）2-4（6-b）=b2+8b-20=0.所以b=-10或b=2.将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4；将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（不符题设，舍去）；所以△ABC的三边长为4，4，5，其周长为4+4+5=13.课堂小结公式法求根公式步骤一化（一般形式）；二定（系数值）；三求（Δ值）；四判（方程根的情况）；五代（求根公式计算）.根的判别式b2-4ac务必将方程化为一般形式见《学练优》本课时练习课后作业21.2解一元二次方程第二十一章一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（RJ）教学课件21.2.3因式分解法学习目标1.理解用因式分解法解方程的依据.2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点）3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点）导入新课情境引入我们知道ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程（x+1）（x－1）=0时，可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求（x+3）（x－5）=0的解吗？讲授新课因式分解法解一元二次方程一问题1根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度(单位：m)2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗()?提示：设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0，即2=0①解：解：∵a=4.9,b=-10,c=0.∴b2－4ac=(－10)2－4×4.9×0=100.2=0.2=0.2=0.因式分解如果a·b=0，那么a=0或b=0.两个因式乘积为0，说明什么或降次，化为两个一次方程解两个一次方程，得出原方程的根这种解法是不是很简单？2=0①x()=0②x=0①=0上述解法中,由①到②的过程，先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解法叫做因式分解法.要点归纳因式分解法的概念因式分解法的基本步骤一移-----方程的右边=0;二分-----方程的左边因式分解;三化-----方程化为两个一元一次方程;四解-----写出方程两个解;简记歌诀：右化零左分解两因式各求解试一试：下列各方程的根分别是多少？(1)x(x-2)=0；(1)x1=0,x2=2；(2)(y+2)(y-3)=0；(2)y1=-2,y2=3；(3)(3x+6)(2x-4)=0；(3)x1=-2,x2=2；(4)x2=x.(4)x1=0,x2=1.例1解下列方程：解：（1）因式分解，得于是得x－2＝0或x＋1=0,x1=2，x2=－1.(2)移项、合并同类项，得因式分解，得(2x＋1)(2x－1)=0.于是得2x＋1=0或2x－1=0,(x－2)(x＋1)=0.

可以试用多种方法解本例中的两个方程.典例精析灵活选用方法解方程二典例精析例2用适当的方法解方程：（1）3x（x+5）=5（x+5）；（2）（5x+1）2=1；分析：该式左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快.解：化简(3x-5)(x+5)=0.即3x-5=0或x+5=0.分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可直接开平方法.解：开平方,得5x+1=±1.解得,x1=0,x2=（3）x2-12x=4;（4）3x2=4x+1；分析：二次项的系数为1，可用配方法来解题较快.解：配方,得x2-12x+62=4+62,即(x-6)2=40.开平方,得解得x1=,x2=分析：二次项的系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法.解：化为一般形式3x2-4x+1=0.∵Δ=b2-4ac=28>0,

填一填：各种一元二次方程的解法及适用类型.拓展提升一元二次方程的解法适用的方程类型直接开平方法配方法公式法因式分解x2+px+q=0（p