高考数学 数列专题复习及高考数列专题总结

-PAGE3- 专题一数列【知识框架】【知识要点1】一、数列的概念1.数列是按一定顺序排列的一列数，记作a1,a2,a3……an,……简记{an}.

2.数列{an}的第n项an与项数n的关系若用一个公式an=f(n)给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。

3.如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且任何一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即an=f（an-1）或an=f（an-1，an-2），那么这个式子叫做数列{an}的递推公式.4.数列可以看做定义域为N*（或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。二、数列的表示方法：列举法、图示法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）。三、数列的分类1.

按照数列的项数分：有穷数列、无穷数列。

2.

按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分：有界数列、无界数列。

3.

从函数角度考虑分：（考点）①递增数列：对于任何n∈ N+，均有an+1>an②递减数列：对于任何n∈ N+，均有an+1<an③摆动数列：例如:1，-1，1，-1，1，-1…④常数数列：例如:6，6，6，6，6，6…⑤有界数列：存在正数M，使an<M,n∈N+⑥无界数列：对于任何正数M,总有项an,使得|an|>MS1(n=1)Sn-Sn-1(n≥2)S1(n=1)Sn-Sn-1(n≥2)1.Sn=a1+a2+a3+…+an=2.an=【例题1】已知数列{an}是递增数列,其通项公式为an=n2+λn（n=1，2，3…）,则实数λ的取值范围。[解析]： ∵数列{an}的通项公式为an=n2+λn（n=1，2，3…）数列是递增数列∴an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+1+λ>0恒成立∵2n+1+λ的最小值是3+λ∴3+λ>0∴λ>-3实数λ的取值范围是（-3，+∞）【例题2】数列{an}的通项公式为an=3n2-28n,则数列各项中最小项是（B）A．第４项

B．第５项

C．第６项

D．第７项[解析1]：an=f(n)=3n2-28n，f(n)是一元二次函数，其图像开口向上，有最低点，最低点是由于n∈ N+，故取n=4和n=5代入，得到a4=-64，a5=-65，故选择Ban≥anan≥an-1an≤an+13n2-28n≥3(n-1)2-28(n-1)3n2-28n≤3(n+1)2-28(n+1)设an为数列的最小项，则有代入化简得到解得：故n=5【练习1】在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中，x的值为（

Ｄ

）-2(n=1)-2(n=1)2n-5(n≥2)【练习2】数列{an}的前n项和Sn=n2-4n+1，则anan=【知识要点2等差数列】1.定义：如果数列{an}从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即an-an-1=d（n∈N+，且n≥2），或者an+1-an=d（n∈N+）2.通项公式：an=a1+(n-1)dan=am+(n-m)d(公式的变形)an=an+b其中a=d，b=a1-d3.前n项和公式：(公式的变形)Sn=An2+Bn其中A=B=4.性质：（1）公式变形（2）如果A=,那么A叫做a和b的等差中项.（3）若{}为等差数列，且有k+l=m+n,则（4）若为等差数列则{是等差数列，其中p,q均为常数（5）若{}为等差数列，则（k,m）组成公差为md的等差数列.（6）若分别为{}的前n项，前2m项，前3m项的和，则,,成等差数列.（7）若{}设等差数列，则是等差数列，其首项与{}首项相同，公差是{}公差的（7）非零等差数列奇数项与偶数项的性质若项数为2n,则S偶-S奇=nd，若项数为2n-1,则S偶=(n-1)an，S奇=nan，5.判断：①定义法：an+1-an=d（n∈N+）

②

中项法：

2an+1=an+an+2{}为等差数列。

③通项公式法：an=an+b（a,b为常数）④前n项和公式法：Sn=An2+Bn（A,B为常数）【例题1】已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（B）（A）（B）（C）（D）[解析]：∵d=1∴S8=8a1+28S4=4a1+6∵S8=4S4∴a1=0.5an=a1+(n-1)d∴a10=【例题2】在等差数列中，若，则=10.[解析]：因为是等差数列，所以，即，所以，故应填入．【知识要点3等比数列】1.定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个不为零的常熟，那么这个数列就叫做等比数列.这个常熟叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，及2.通项公式：na1(q=1)或na1(q=1)或(q≠1)3.前n项和公式：设等比数列{}的公比为q，其前n项和=QUOTEn(q=1)或(q≠1）4.性质：（1）等比数列{}满足>0q>1或0<q<1时，{}是递增数列；满足<0q>1或0<q<1时，{}是递减数列.当q=1时，{}为常数数列；当q<0时，{}为摆动数列，且所有奇数项与同号，所有偶数项与异号.（2）对于正整数m,n,p,q,若m+n=p+q,则在等比数列{}中，的关系为:（3）若{},{}为等比数列（项数相同），则{}(≠0),{},{},{},{}仍是等比数列.（4）如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G=±√ab。不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个等比中项。【例题1】已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于.[解析]：由题意解得：a1=1，a4=8，q=2，那么【例题2】数列中为的前n项和，若，则6.[解析]：∵an+1=2an∴数列是等比数列，q=2∵Sn==126其中a1=2∴n=6【知识要点4】★（大题）一、考点1：求an：1.归纳法（由特殊到一般即找规律）由于归纳法求解通项的题目一般在选择填空常见，较少出现在大题中。利用Sn与an的关系求通项公式由Sn求an时，要分n=1和n≥2QUOTE≥2两种情况讨论，然后验证两种情况能否用统一的式子表示。若不能，则分段表示.QUOTEan=(n=1)(n≥2)由递推关系求数列的通项公式【累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法】1.累加法：若已知且则，即.2.累乘法：若已知且则,即3.换元法：若已知且且p）则令,可得{}（其中）为等比数列，其中可用待定系数法求出.【例题1】已知数列满足，求数列的通项公式。（累加法）解：由得则所以数列的通项公式为。【例题2】已知数列满足，求数列的通项公式。（累乘法）解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为二、考点2：求Sn：1.公式法：直接用等差、等比数列的求和公式求解2.倒序相加法：在数列{}中，与首末两端等“距离”的两项和相等或可构成能求和的新数列，可用倒序相加法求此数列的前n项和。（此法在实际解体过程中并不常用，例子：等差数列前n项和公式推导）3.错位相减法：在数列{}中，{}是等差数列，{}是等比数列，可用错位相减法求此数列的前n项和.4.裂项相消法：把数列的每一项拆成两项之差，求和时有些部分可以相互抵消，从而达到求和的目的.5.分组转化求和法：若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列组成，则求和时可用分组转化法分别求和再相加减。即把复杂的通项公式求和的任务转化为简单的等差和等比的求和。6.并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解.【例题1】设数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和。（错位相减法）[解析]：（1）由已知，当n≥1时，。而所以数列{}的通项公式为。（2）由知①从而②-②得即【例题2】求数列的前n项和。（裂项相消法）[解析]：设（裂项）则（裂项求和）＝＝数列专题复习（0929）证明等差等比数列等差数列的证明方法：（1）定义法：(常数)（2）等差中项法：2．等比数列的证明方法：（1）定义法：(常数)（2）等比中项法： 例1.设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛｝的前n项和，求Tn．解：设等差数列｛an｝的公差为d，则Sn=na1＋n（n－1）d．∴S7＝7，S15＝75，∴即解得a1＝－2，d＝1．∴＝a1＋（n－1）d＝－2＋（n－1）．∵，∴数列｛｝是等差数列，其首项为－2，公差为，∴Tn＝n2－n．例2．设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式：3tSn－（2t+3）Sn－1=3t（t>0，n=2，3，4，…）求证：数列{an}是等比数列；解：（1）由a1=S1=1，S2=1+a2，得a2=又3tSn－（2t+3）Sn－1=3t ①3tSn－1－（2t+3）Sn－2=3t ②①－②得3tan－（2t+3）an－1=0∴，（n=2，3，…）所以{an}是一个首项为1，公比为的等比数列.练习：已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；答案.(2),;二．通项的求法（1）利用等差等比的通项公式(2)累加法：例3．已知数列满足，，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，（3）构造等差或等比或例4．已知数列满足 求数列的通项公式；解： 是以为首项，2为公比的等比数列。 即例5．已知数列中，,，求.解：在两边乘以得：令，则,解之得：,所以.练习:已知数列满足，且。 （1）求； （2）求数列的通项公式。解： （1） （2） ∴ （4）利用例6．若和分别表示数列和的前项和，对任意正整数，.求数列的通项公式；解：……2分当当……4分练习：1.已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an解:∵10Sn=an2+5an+6，①∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②由①－②得10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0∵an+an－1>0，∴an－an－1=5(n≥2)当a1=3时，a3=13，a15=73a1，a3，a15不成等比数列∴a当a1=2时，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，∴a1=2，∴an=5n－32．设数列的前项的和，（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：解：（I），解得：所以数列是公比为4的等比数列所以：得：（其中n为正整数）（II）所以：（5）累积法转化为，逐商相乘.例7．已知数列满足，，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，练习：1.已知，，求。解：。2．已知数列{an}，满足a1=1，(n≥2)，则{an}的通项解：由已知，得，用此式减去已知式，得当时，，即，又，，将以上n个式子相乘，得（6）倒数变形：,两边取倒数后换元转化为。例8：已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。解：取倒数：是等差数列，练习：已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝求数列｛an｝的通项公式；解：将条件变为：1－＝，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为1－＝，公比，从而1－＝，据此得an＝（n1）三．数列求和1、等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：3、错位相减法求和{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.例9．求和：解：由题可知，设………①…②（设制错位）①－②得（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：。∴练习：求数列前n项的和.解：由题可知，{}的通项