2023人教版新教材B版高中数学必修第三册同步练习-5 .5 数学归纳法

第五章数列

*5.5数学归纳法

基础过关练

题组一对数学归纳法的理解

1.(2022浙江绍兴期末)用数学归纳法证明1+捐+...+亳，(论2,〃£N+)时,第一步

需要验证的不等式是()

A.1+2B.1+捐<2

C.1+需<3D.1+相+宁3

2.(2021安徽合肥肥东第二中学月考)用数学归纳法证明等式

l+2+3+...+(2,7+l)=(〃+l)(2"+l)(〃>l/£N+)时，从八=%到n=k+l时，等式左边需增添

的项是()

A.2H2

B.2/+D+1

C.(2Z+2)+(2Z+3)

D.[(Z+1)+1][2"+1)+1]

3.(2022江西景德镇一中期末)用数学归纳法证明“1+汨+...+£?<"(">1,〃£N+)”的

过程中，从片网上>1,%£N+)到n=k+\时，不等式左边增加的项数为()

A4B.2&

C.2U1D.2"

4.(2020福建永春第一中学期末)用数学归纳法证明命题“当〃是正奇数时1+y"能

被X+y整除”时，在第二步的证明中，正确的证法是()

A.假设〃=%(%£N+)时命题成立，证明n=k+\时命题也成立

B.假设〃=%(左是正奇数)时命题成立，证明n=k+\时命题也成立

C.假设是正奇数)时命题成立，证明n=k+2时命题也成立

D.假设〃=2A+1(%£N)时命题成立，证明n=k+l时命题也成立

5.对于不等式刍+1(〃£N+),某学生的证明过程如下：

⑴当n=l时*12+1S1+1,不等式成立.

(2)假设〃=%(丘1)时，不等式成立，即府言必+1,则当n=k+l

时，7(fc+I)2+(/c+l)=V/c2+3k+2<V(fc2+3/c+2)+(fc+2)=7(/c+2)2=(k+])+1,所以当

n=k+l时,不等式成立.

上述证法()

A.过程全都正确

B.n=l的验证不正确

C.归纳假设不正确

D.从n=%到n=k+l的推理不正确

题组二数学归纳法的应用

6.用数学归纳法证明:l2+22+32+...+(n-1)2+n2+(n-1)2+...+32+22+1~=^n(2ir+1)(〃£N+).

2,,+2

7.求证:对任意的neN+,3-8n-9能被64整除.

题组三归纳一猜想一证明问题

8.观察下列等式：

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

按照以上式子的规律：

(1)写出第五个等式，并猜想第〃5金N+)个等式；

(2)用数学归纳法证明上述所猜想的第〃(〃£N+)个等式成立.

9.(2021江西萍乡期中)设数列｛。〃｝的前〃项和为S”,且S„=2-an(neN+).

(1)H算。1,。2,。3,。4,并猜^8

⑵用数学归纳法证明你的猜想.

10.已知数歹!]｛诙｝和｛儿｝,其中。“=1+3+5+…+(2/7+1)/〃=1+2+…+2〃”,当〃£N+时，试

比较必与久的大小，并用数学归纳法证明你的结论.

11.(2022河南郑州期末)已知数列｛。〃｝满足:。1=|,即+1an+2an+i=2alt(n£N+).

⑴计算。2,。3,寺的值;

(2)猜想数列｛斯｝的通项公式，并用数学归纳法证明.

能力提升练

题组一数学归纳法的应用

1.(2020浙江绍兴期末)已知数列｛为｝满足0<0<1,所吟和£阳,若对于任意

〃£N+,都有0<。〃<斯+]<3,则/的取值范围是()

A.(-l,3]B.[0,3]

C.(3,8)D.(8,+oo)

2.(2021浙江温.州中学一模)已知正项数列｛斯｝满足0吟。2=|,斯=磷+1+斯+1-1(论2).

证明：

⑴斯<1；

(2)。]。2。3。4.♦.。"<27(&+i)2,

3.(2020黑龙江哈尔”滨第三中学月考)已知数列｛斯｝和｛0”｝满足0=2力尸1,且对任意

正整数〃恒满足2azi+1=4融+2丛+1,2%1=2。"+4儿-1.求证:

⑴｛斯+儿｝为等比数列，“也｝为等差数列；

(2『+汉"••一『Ml，〃£N).

4.(2020浙江杭州高级中学月考)已知等差数列&｝的公差d不为零，且

«3=3,«i,。2,。4成等比数列，数列｛勿｝满足"+2岳+…+nbn=2an(n£N+).

(1)求数列｛斯｝,｛①｝的通项公式;

⑵求证:肾肾…+岳加计「河(〃eN+).

题组二归纳一猜想一证明问题

5.(2020江西南昌二中期末)数列｛斯｝的前n项和为S”,且满足«„=5„+^-2(HeN+).

⑴求SiSSS的值；

(2)猜想数列｛SJ的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.

6.(2021安徽明光中学月考)已知数列｛斯｝满足ai=2,an+\=a^-na„+1(nN+).

⑴求做,。3,。4,由此猜想出｛。〃｝的一个通项公式,并给出证明；

⑵用数学归纳法证明:当n>\时微+*+…+£磊

7.(2020河南周口郸城第二高级/者R考)全而列｛知｝中M=1,做三,且

为+i士普5N2).

⑴求的,％猜想斯的表达式,并加以证明；

(2)设仁=与五,求证:对任意〃金N+,都有历+岳+…+勿<

Van+Van+1

答案与分层梯度式解析

第五章数列

*5.5数学归纳法

基础过关练

1.B因为论2,所以由数学归纳法可知第一步需要证明n=2时该不等式成立，即1+9|<2,故选B.

2.C当a=%(Ql,kGN+)时，左边=1+2+3+…+(2%+1),当n=k+\时，左边=1+2+3+…+(2左+1)+(2%+2)+(2好3),

所以从〃=%到n=k+\时，等式左边需增添的项是(2k+2)+(2Z+3).

故选C.

3.B由题意知，当"=女(女>1WN+)时，左边当n—k+i时，左边

=1+歼+--+£?+玄—+…+最？所以从〃=%到〃4+1时，不等式左边增加的项数为(2*」)-(2口)=2上

4.C•.•〃为正普数,...当〃=如:是正奇数)时水后面的第一个正奇数应为Z+2,而非k+\.

故选C.

5.D〃=1的验证及归纳假设都正确，但从，『左到n=k+\的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的

放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求.故选D.

6.证明(1)当〃=1时，左边=1,右边=等=1,此时等式成立.

⑵假设当〃=双归)时，等式成立，即

12+22+32+...+{k-1)2+F+(A:-1)2+...+32+22+12=3M2/+1).

则当n=k+\时，

左边=12+22+3?+…+%2+(左+1)24-/：24-...4-32+22+12

=*(242+1)+(%+1)2+%2

三伙+1)[2伙+1>+1]=右边，

即当〃=什1时,等式也成立.

根据(1)(2)可知，对任意的“GN+,等式恒成立.

7证明⑴当〃=1时,32"+2一8〃-9=3£8-9=64,能被64整除，命题成立.

(2)假设当〃画后1)时了叱一法9能被64整除.

则当n=k+\时3及4一8伏+1)-9

=9(32-2-8k-9)+64k+64

=9(32-2-8h9)+64(k+l),

因为392_8b9能被64整除,

所以9俨+2一8h9)+64伙+1)能被64整除，

即当n=k+]时,命题也成立.

2n+2

由⑴(2)可知，对任意的nGN+,3-8n-9能被64整除.

8.解析(1)第五个等式为5+6+7+8+9+10+11+12+13=92;

猜想第"个等式为n+(n+1)+(n+2)+...+(3n-2)=(2n-1)2,nGN+.

(2)证明:①当〃=1时，等式左边=1,等式右边=(2-1)2=1,所以等式成立.

②假设后1)时，等式成立，

即人+伏+1)+(%+2)+…+(3h2)=(2hl)2,

那么，当n=k+\时,(后+1)+[(%+1)+1]+[8+1)+2]+...+[3(左+1)-

2]=(k+l)+(k+2)+(Z+3)+...+(3%+l)=k+(k+l)+(〃+2)+...+(3k-2)+(3hl)+3E+(3k+l)-^=(2hl)2+8%=4k2-

4k+1+8k=(2k+1)2=[2()1+1)-1]2,

即n~k+1时,等式也成立.

根据①和②,可知对任意的“GN+,等式都成立.

9.解析⑴当“=1时,Si=ai=2-ai,.,.ai=l;

当n=2时,52=41+。2=2­°2,，勿今

当〃=3时,乱=0+42+43=2-43,二43=工；

4

]

当n=4时,54=。1+。2+。3+。4=2-〃4,・・・。4=一.

8

,猜想知=C)"T.

(2)证明:①当n=\时,0=0=1,猜想成立；

②假设当〃=%年1)时，猜想成立，即丽G)J.

则当n-k+1时,+尸S*+iSt=(2-的i+D-(2-a«),

.•.2。什|=。尸6)，

k(k+1)-1

•••依产/i\卬咆/i\，

即n=k+l时,猜想也成立.

由①②可知,对任意〃eN+,猜想均成立.

10.解析由已知得斯=1+(2：+1).(〃+1)=(〃+[)2力产曰=2"-1.

当〃=1时必=4力尸1,则处阳，

当n=2时,痣=9,岳=3,贝I」。2>历，

当n=3时,°3=16乃3=7,则例>加，

当〃=4时,。4=25/4=15,贝!J。4>。4,

当n=5时,。5=36/5=31,贝1」。5>力5,

当n=6时,々6=49/6=63,则a6Vb6,

当n=l时,。7=64/7=127,则a7Vb1,

由此得到，当〃f5,〃£N+时,4〃>为,

猜想:当〃N6,〃£N+时,〃〃</?〃.

用数学归纳法证明如下：

①当n=6时，上面己证46Vb6.

②假设当〃的后6#£N+)时，联"成立，即当k>6时仆+1)2<2口.

当n=k+]时，要证为+|<6+1,

只需证(-2)2〈2人'+」，

只需证(-2)2<2・2"

根据归纳假设22口>2[(Z+1)2+1]-1.

因为2[(为1)2+1卜1・伏+2)2=杉-1,46,

所以产-1>0,即2[(2+1)2+1]-1>(4+2)2,即伏+2)2<2・2仁1.

故当n=k+\时,猜想也成立.

由①②可知,对任意生6,〃£N+潴想都成立.

1L解析⑴因为。尸|,斯+1斯+2%+1=2斯，

所以〃2。1+2。2=2。i=42=g,

2

43。2+2。3=2。2=。3=1,

1

。〃。。。「

43+24=23=>4=4

(2)猜想:斯==.

n+4

证明:①当n=l时,S=|G匕猜想成立；

②假设当片《史l#eN+)时猜想成立，即ak=^~.

K+4

因为斯+1。“+2。〃+]=2斯,所以。〃+尸2?

an+2

_2

:2%二2引二2二_______2_______

所以以+i=

/+22+2fc+5(k+l)+4

k+4

所以当修女+1时,猜想也成立.

根据①②，可知对任意“GN+,猜想都成立.

能力提升练

1.B当心时必“尸”嗜,明显有«„>0.

an+2

下面用数学归纳法证明:对任意〃CN+,都有a,,<3.

当«=1时成立.

假设当”=k虑l#eN+）时，不等式成立，即ak<3.

贝！I当n=k+l时,丽="詈=4-一^<4-a=3,

ctj^+2a^+23+2

所以当〃"+1时，不等式也成立.

综上，对任意“6N+,都有a„<3.

”八_4an+3„_4a+3-a„-2a„（-a+3）（a+l）„

囚79a\-a-------n-------------n----n-->0,

n+na〃+2a〃+2。九+2

所以1,

所以当仁3时,0vz“v%+]V3恒成立，排除C,D.

当时，如+尸丝詈，若〃=1,则当Ov。©时,〃2<0,不合题意,故排除A.

2an+2。1+28

故选B.

2.证明（1）用数学归纳法证明如<1.

①当〃=1,2时,〃|=[同2=|,显然满足如<1；

②假设当行MQ2火£N+）时，斯<1成立，即以<1,则年或即（M-1）3+I+2）〈0,

又四+I>0,所以以+1<1,

BPn=k+l时,斯＜1也成立.

综上，对任意的"WN+,即＜1.

(2)因为m=。叁+1+。〃+|-1(〃之2),

所以。〃+1=成+i+a〃+i(佗2),

贝IJan+i=-^-(n＞2).

an+l+1

当皿时叫，/吟

所以联共；

当"=2时MQ=|，益小7心

所以⑶念〈就用7；

a_+l_aa(a2+1)_1。_2020

当«＞3时M42a3a4…xn112

_27(a+l)-27x2(a+l)27(a+l)2

a3+la4+lan+l-an+lnnn

综上…〃〃＜：7^7—77^-

27al+1)/

3.证明(1)2%+i=4i〃+2①+1,①

2bn+\=2aH+4bn-l.②

①+②，得2(。〃+1+儿+1)=6(。〃+儿)，

即〃肝1+d+i=3(a〃+瓦),

①-②，得2(斯+1-Z?〃+1)=2(斯加［)+2,

即（即+1也+1）・（。〃也）=1.

又〃1+4=3川,0-5=1#）,

.・・｛斯+"｝是首项为3,公比为3的等比数列，｛斯也｝是首项为1,公差为1的等差数列.

⑵由⑴可得知+为=3〃.

下面利用数学归纳法证明第<*+91,〃GN）.

33453n

当n-2时3+；*+...苣，+2=1=管二,不等式成立；

34534393

假设“乂（正2）时，不等式成立，即$/+...号>等，

则〃=%+1时=+工白...+4++...-F^->2fc-1|1+^—+...+备

3453k3Jk+l43k+:23k+133k+l3k+23k+1

>2k-l।3上+1-3\_2上一1।2_2(k+l)-l

33k+1~33~3'

当〃=k+l时，不等式也成立.

•二对任意〃>1eN,都有N…+—777,

334567an+bn

下面用数学归纳法证明|+^+1+...£<2"-2(心1,〃eN).

当n=2时,$$|+...q<>%2=2x2-2,不等式成立.

假设〃=k虑2)时，不等式成立，即¥%|+.../<2h2,

1ok+l_qfc2x3^

贝IJn=k+\时…号+公，吃14-"-+^n<2^-2+11。音<2h2+V2h2+U=2(%+D-

3k+l3k+2

2,

.•・当3k+1时，不等式也成立.

1

二对任意n>\,n&N,都有打本+；+，...+<2〃・2.

34567(an+bn

/.A,[2n—111111,1~｛*一、丫、

综上，-^―…•+〃工八<2九-2(鹿>l,neN).

334567an+bn

4.解析(1)由〃3=3,可得0+2d=3,

由0M2,。4成等比数列，可得。以4二谓，

即0(勾+3①=(。1+02,

又存0,所以ai=d=l,

则知=〃]+(〃-l)d=〃.

由数列｛儿｝满足41+2岳+・・.+泌〃=2瓯可得b\=2a\=2,

当n>2时，由6+2%+...+〃/?〃=2斯=2〃@

可得bi+2岳+.・・+(〃/泡-产2(〃・1),②

①-②可得也=2,则/?«=-,

n

又b\=2也适合■，所以b=-.

nfln

(2)证明:不等式...十・・・+n+l(〃£N+).

下面应用数学归纳法证明.

；=今右边=2一夜,左边〉右边,不等式成立;

①当〃=1时，不等式的左边=

②假设”=k(Ql)时，不等式成立，即…+后>"1-mK

贝！］当n=k+］时,暮2E+摆,

k+2

要证累42-5，

只要证&+l-VFH+^->k+2-VF+2,

Y/C+2

即证-匡，

即证“k+2-7k+1)(1—^--^>0,

由女WN+,可得上式成立，即n=M时，不等式也成立.

综上可得，对一切〃WN+,...+1-Si+1恒成立,

...十

5.解析⑴当n=l时M=SI=S+；2,.・・SI="

bl2

当n=2时,O2=S2-S尸$2+白-2,，S2=；

523

同理可得53=：,54=5

45

⑵猜想6.=含("6用).

下面用数学%纳法证明这个猜想：

①当〃=1时,Si=m=m”猜想成立.

②假设”=依。)时，猜想成立，即&=看，

当n-k+\时,a&+i=S*+i-S*=S*+i+S~>2,

Sk+1

・1_GG.-1-1-k+1

---~=2-Sk,・・5Cz：i=—-=—fc-=—,

Sk+1+2-S〃2---k+2

k+1

即当〃=k+l时,猜想也成立.

由①②知对任意的正整数«都成立•

n+1

6.解析⑴由。1=2,得02=*0+1=3;

由。2=3,得。3=今-2。2+1=4；

由。3=4，得。4=磅3。3+1=5.

由此猜想｛〃〃｝的一个通项公式为4〃=”+1.

用数学归纳法证明⑨尸”+1.

当72=1时,〃[=2=1+1,猜想成立.

假设当〃二4(叵1)时，猜想成立，即年改+1,

那么当n=k+l时，以+i=Q+5I+1=(Z+1)2/(Z+1)+1=Z+2=(A+1)+1,

即当n=k+\时，猜想也成立.所以斯二〃+1(〃仁N+).

⑵证明:①当”=2时，工+工44=殳袅=i,不等式成立.

%。22362+2

②假设当〃=氏(后2)时，不等式成立，即工+工+...上言，

a，2o：kk+2

则当n=k+l时，

11,.11k21k21fc2+l

—I----F...HI--