2022年全国甲卷数学理科高考真题答案

2022年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色碳素第将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填

写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名,考场号、座位号及科目，在规

定的位置贴好条形码.

2.回答选择题时，选出每小胭答案后，用铅箱把答题卡上对应题目的答案标号涂

照.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非就择题时，将答案写在

答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一'选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.若z=-l+75i,则二^—=

zz-1

A.-1+V3iB.-1-V3iC.D.-1-^i

3333

2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取

10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位

社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

居民编号

则

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

理科数学试题第1页（共5页）

3.设全集1,2.3}.集合4=1-1.21-8={x|/-4x+3=0},则&：(/U8)

A.{1,3}B-{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

4.如图，网格诋上绘制的是一个名面侍的.视图，网格小正方形的边长为1,则该多

面体的体积为

A.8

B.12

C.16

D.20

5.函数y=（3，-3r）cosx在区间卜卦]的图像大致为

6.当x=l时，函数/（乃=。111工+2取得最大道_2,则/'⑵=

X

A.-1B.—C.—D.1

22

7.在长方体43CD-44G4中，已知综0与平面,42?CD和平面4443所成的角均

为30。，则

A.AB=2ADB.48与平面48笈。所成的角为30。

C.AC=CB]D.与平面5BgC所成的角为45。

理科数学试题第2页（共5页）

8.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的

“会圆术”.如图，凝是以。为圆心，04为半径的圆口

弧，C是月8的中点，。在港上，CD1AB."会圆IB

术”给出蔻的弧长的近似值s的计算公式：\C/

$=48+若.当。/=2，N/O8=60°时，s=\/

*11-3>/3n11-4A^\/

A・---B.---V

z10

「9-373n9-W3

22

9.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2加，侧面积分别为冬

和名,体积分别为％和%.若$=2,则”=

S乙V乙

A.y/5B.2A/2C.V10D.

4

工2v2

10.椭圆C:A+A=l（a>b>0）的左顶点为H,点P,。均在C上，且关于y轴尚称.

ab

若直线4P,40的斜率之积为彳，则。的离心率为

A.3B.#C.1

D.-

2223

11.设函数/（x）=sin（3十三）在区间（0,九）恰有三个极值点、两个零点，则。的取值是

3

围是

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设向量*4的夹角的余弦值为g,且|a|=1,|切=3,贝!J（2«+b）/=.

14.若双曲线炉一j=1（加>0）的渐近线与圆/一4y+3=0相切，则m=«

m

理科数学试题第3页（共5页）

15.从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为.

16.已知△4BC中，点。在边8c上，ZJD8=120。，4D=2,CD=2BD.当必取

AB

得最小值时，BD=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必

考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(-)必考题：共60分。

17.(12分)

2S

记g为数列｛4｝的前〃项和.已知一^+”=24+1.

(D证明：｛4｝是等差数列：

(2)若a4,%,生成等比数列，求S”的最小值.

18.(12分)

在四棱锥P-4BCD中，PDJ.底面45CC,

CDHAB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=B

(1)证明：BDIPAi

(2)求RD与平面R48所成的角的正弦值.

19.(12分)

甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得

0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.己知甲学校在三个

项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.

(1)求甲学校获得冠军的概率：

(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.

20.(12分)

设抛物线。:/=20/3>0)的焦点为尸，点。3,0),过尸的直线交C于M,N两

点.当直线垂直于x轴时，］〃尸|=3.

(1)求C的方程；

(2)设直线她，即与C的另一个交点分别为4,B,记直线MN,"的倾斜

角分别为a,尸.当a一夕取得最大值时，求直线都的方程.

理科数学试题第4页(共5页)

21.（12分）

已知函数/(x)=-----lnx+x-a.

X

(1)若/。)云0,求a的取值范围；

(2)证明：若/(x)有两个明点口,x2,则—<1.

(-)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做

的第一题计分。

22.［选修4一4：坐标系与参数方程］(10分)

,2+1

在直角坐标系X。中，曲线G的参数方程为16'(，为参数)，曲线G的参

y=j

数方程为「=―一二'(S为参数).

y=-4s

(I)写出C1的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，4轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程

为2cos8-sine=0,求G与G交点的直角坐标，及。3与C2交点的直角坐标.

23.［选修4一5：不等式选讲〕(10分)

已知a,b,。均为正数，且，+/+4。2=3,证明，

(1)a+b+2cW3；

(2)若6=2。，贝—K1>3.

ac

理科数学试题第5页(共5页)

答案:

1、A

2、B

3、D

4、B

5、C

6、C

7、D

8、B

9、C

10、A

11、C

12、B

13、11

V3

14、7

6

15、行

16、V3—1

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