2023天津财大研究生高级微观经济学复习习题要点

第一部分：消费者理论

一、形式化表述分析消费者偏好的性质

(完备性，传递性，连续性，严格单调性，严格凸性等等)

*二、效用函数存在性证明。

请参考教材

三、表述显示性偏好弱公理及显示性偏好强公理，并用于分析下面问题。

考察一个对物品1和物品2有需求的消费者，当物品价格为状=(2,4)时，其

需求为X：(1,2)o当价格为p2=(6,3)时，其需求为x2=(2,1),该消

费者是否满意显示性偏好弱公理。

假如x2=(1.4,1)时，该消费者是否满意显示性偏好弱公理。

解答：p&i=2*l+4*2=10>pk=2*2+4*1=8消费束1偏好于消费束2

p2x'=6*1+3*2=12<p2x2=6*2+3*1=15消费束2偏好于消费束1

违反了显示性偏好弱公理。

假如x2=(1.4,1)时：

p'x1=2*1+4*2=10>p'x2=2*1.4+4*1=6.8消费束1偏好于消费束2

p2x'=6*1+3*2=12<p2x2=6*1.4+3*1=11.4消费束1在价格2的状况下买

不起。符合显示性偏好弱公理。

四、效用函数成七/2)=修，求瓦尔拉斯需求函数

x

解答:maxi/(x,,x2)=x,s.t.pxxx+p2x2=w从效用函数=i可知商

品2对消费者没效用，因此最大化效用的结果是全部的收入都用于购买商品1,

对商品2的需求为0,x2=0,=—

Pi

或者由maxw(x,,x2)=xts.t.pxxx+p2x2=w,可得到

max“(X],X2)=max上~区上.=JL,此时x?=&x】=工(源于消费束的非负限制)

PiPiPt

事实上，这是一个边角解,

五、效用函数以了”/):。/+々。)。，对其求

1、瓦尔拉斯需求函数，间接效用函数；

2、希克斯需求函数，支出函数。

答案：

I丫一如T/、w

X--------------面

1_p__p_2—7------Mv(Pi,p2,w)=

l

Plp-l+p2p-P/T+P产(p言+p?后正

2、%=一吟।UP”Tz、«

-T，e(p,〃)=------------------小

pP-pp-pp-一匕

(Pl0T+PP-1)P

2(P/T+P2")"(Pg+P20T)P

(形式可能不一样)

六、给出瓦尔拉斯需求函数、希克斯需求函数、间接效用函数、支出函数形式化

描述，说明其性质，*并证明其中的凹凸性性质。

请参考教材

*七、证明对偶原理中的1.”(P，w)三从P#3W)12.1p，“)w#p，e(p,")]

请参考教材

*八、考虑将瓦尔拉斯预算集扩展为一个随意消费集X：42=｛xeX：p-x<w]0

假定｛p,卬>>0｝。证明：假如X是一个凸集，则J，.，，•也是凸集。

请参考教材

九、效用函数“(5,*2)=5*2,推导斯拉茨基方程，并分析替代效应、收入效应

和总效应。

请参考教材

十、效用函数〃(芭,/)=(占°+/°)°，求其货币度量的干脆和间接效用函数。

PPf>P

答案：M>(p,X)=(X1+X2)(pip-l+p2P->)

p-\\-p

pp-----pp-----

p

〃(p；q,w)=(plP-\+p2P-i)(名分1+«20-1)°w

H---、效用函数w(x”X2)=，当P/=2,P2°=3,w=40,p/=4,p,'=5,

求其等价变更和补偿变更。

答案:〃(p；q,w)=旦4,EV=40(J^--1),S=40(l-、当

Vq%*10v3

十二、分析福利分析在税收方面的应用。

请参考教材

十三、心=，假定Pi=0.25，〃2=1，w=2,对商品1开征消费税0.25

元。求开征消费税的无谓损失(包括两种状况)。

解答：maxu(xi,x2)=ylxix2

S.t.X|P|+x2p2=w

1.求瓦尔拉斯需求函数

(1)建立拉格朗日函数

L=J.%2+几(卬-P1%1_〃2%2)

(2)求极值一阶条件

8L11(a)

--=]%]2X22-P\A,=0

dLI'J(b)

---=一再2%22—=0

dx22一

dL(c)

——-w-pxxx-p2x2=0

由(a)和(b)整理得:

匕/一1=旦n五=里

一°?七一口?

(3)瓦尔拉斯需求函数

分别将%=%且，玉=々且代入预算约束(c),有

P1，2

WW

Y~---------

12Pl2P2

2.求间接效用函数

将瓦尔拉斯需求函数代入目标函数〃(%,％2)=J蕊，有

2Pl2P22pJ0

3.求支出函数

由间接效用函数，求反函数卬得：

22

w=2p^p^v{p},p2,w)

e(p,〃)=2pJ2"2”2〃

4.求希克斯需求函数

法一：将支出函数

w

代人瓦尔拉斯需求函数玉=为■,得到

1—1/21/2,1/2—1/2

U

%=0。2U%"P2

法二：依据谢伯特引理，对支出函数对价格求导，也可得到希克斯需求函数。

5.求货币度量的效用函数

(1)货币度量的干脆效用函数

由e(p,〃)=2pj2P2L2”，有

VV(/?,X)=2pJ2〃2%(玉,々)=2p；2p；，5X2

(2)货币度量的间接效用函数

2

4(p;q,w)=2p^~p^v(qi,q2,w)=

6.下标0表示征税前，下标1表示征收消费税后。

p：=0.25,p；=1,

p\=0.25+0.25,p\=1

w(=w0=w=2

等价变更分析：

U°=MP"：")=25。)[3。严=2(0.25：2(1严=2

/=^也”)=2日尸3严=2(。.521严二」

依据征税前的价格计算的，消费者对征收消费税前后所获得效用的变更：

Ev=e(p°,u')-e(p',ii')-e(p°,a')-w

=〃(p°;”，卬)-卬

=(P；F(P；NP：尸(P；尸『w

=(0.25)"(1>(0.5尸(1尸x2-2=-0.5858

商品税与收入税对消费者的福利之差为：

(-T)-Ev(p°;p',w)=-th(p',w1)-Ev(p°;plw)

=—0.25x(，厂’2(/)：/+0.5858=-0.25x(0.5)-1/2(l)l/2V2+0.5858=0.0858

表明商品税对消费者的福利影响更差。

补偿变更分析：

依据征税后的价格计算的，消费者对征收消费税前后所获得效用的变更：

Cv=e(p°,〃°)-e(pi,“°)=w-e(p',u°)

=卬-//("Ip。，卬)

=卬-(p：Np；，(p；尸(p，w

=2-(0.5>(炉(0.25”(1)-2x2=-0.8284

商品税与收入税对消费者的福利之差为：

-T-G(pi;p°,w)=T〃(pi,“°)-CV(pi;p°,w)

=-0.25X(pj)T/2(P2、¥2“o+0.8284=-0.25x(0.5)-1/2(1)1/2X2+0.8284

=-0.7074+0.8284=0.1213

表明商品税对消费者的福利影响更差。

其次部分：厂商理论

一、产商的生产函数/(f，4)=*//3工2"3,求其要素需求函数和条件要素

需求函数。

解答：(1)maxn=-py-wxxx-w2x2s.t.y=/(x^xj

1/31/3

max%=pxAx2—W[X]—w2x2

x.=--------—

27W〉2

x-pi

X2­2

2/W2W1

(2)min(w{x{+w2x2)s.t.=y

_ii1_i2-

22

Xj=W~2W22y9X2=W^2W12y,

二、产商的生产函数〃x”为)=xj,尸，求其成本函数和利润函数

解：将要素需求函数带入利润函数表达式就得到利润函数，将条件要素需求函数

带入成本函数表达式就得到成本函数

2

答案：c(w1,w2,j)=2iP12>p22j,^(p,j)=--------

27%叫

三、产商的生产函数/5d)=xJX''(1)用三种方法求其供应函数(2)假定

生产要素2固定为k,再重新求其供应函数。

解答：(1)方法一：由利润函数求解供应函数

方法二：由生产函数求解供应函数

方法三：由成本函数求解供应函数(留意：p=MC是利润最大化条件)

”产

9wiw2

(2)同样的三种方法9=(-也/

3W]

四、厂商利润最大化条件的意义及应用边界；厂商成本最小化条件的意义及应用

边界(新加)

参考书

五、分析生产集的性质

参考书

六、阐述欧拉方程和克拉克安排定理的理论意义和现实意义。

参考书

七、证明利润函数是价格的凸函数。

参考书

八、给出要素需求函数、条件要素需求函数、成本函数及利润函数形式化描述，

并说明经济意义。说明其性质，并证明其中的凹凸性性质。

参考书

第三部分不确定性选择

一、一决策者的效用函数为")=6,初始财宝160000,5%损失70000,5财员失

120000,问其情愿支付的最大保险金额多大？假如保险公司不担当损失中的

7620,其情愿支付的最大保险金额又多大？

解答：用确定性等值，(1)

5%V160000-70000+5%7160000-120000+90%J160000=J160000-R

R=11T75

(2)

5%V160000-70000+5%V160000-120000+90%Jl60000=

5%V160000-7620-/?+5%Jl60000-7620-R+90%Jl60000-R

??=11004

二、给出简洁彩票、复合彩票、货币彩票及彩票空间的独立性公理的形式化描述,

并说明经济意义。

*二、期望效用函数的存在性证明

参考书

三、写出并证明肯定和相对风险系数不变的效用函数。

参考书

四、简要分析保险需求理论的基本框架。

参考书

五、简要分析资产组合理论的基本框架

参考书

六、假定个人具有效用函数"")=五，(1)计算当财宝水平常卬=5的肯定和相对

风险规避系数。(2)计算彩票(16,4;1/2,1/2)的确定性等价和风险溢价(3)计算

彩票(36,16;1/2,1/2)的确定性等价和风险溢价。将这一结果与(2)比较，并说明。

解：

Jc(w)=；V76+gV4,c(vv)=

(2)〃(c(w))=为〃(2)+42〃(工2)，9

£■(卬)=勺X]+^2X2=-16+-4=10,R(vv)=E(w)—c(w)=1

22

(3)c(w)=25,E(w)=26,R(w)=E(w)—c(w)=1

对同一个人，不同财宝水平的彩票有不同确定性等价可能有相同的风险溢价。

第四部分：局部、一般均衡和福利经济学

1,有一个卖方垄断者，其需求和成本函数分别为0=2200-6%和

c=0V-91V+274（1/,请确定其在完全价格卑视和没有p价格卑视状况下的最

大利润和对应的边际价格与数量。|（题目有错，请对应书的例瓯

解答：（1）完全价格卑视

p=MC2200-60q=1.5q2-183q+2740,q=77.3,（q=4.7舍去）

开=］：pdq-c（q）=jj2200-60q）dq-c（77.3）=94793

（2）无价格卑视

MR=MC2200-120q=1.5q2-183q+2740q=30,（q=12舍去）

%=p（3O）x3O-c（3O）=-135O

2.一个卖方垄断者为两个空间上分别的市场服务，在这两个市场上，可以实行

两种价格，不必担忧市场之间的竞争和返销。卖方垄断者的需求和生产成本函数

为：

0=100-2%p2=120-392c=80（%+效）-（%+以）2，请确定Pi，P2MlM2的值。

解答：由于两个市场分别，因此两个市场的价格、需求量独立

Max7i=p,q|+p2q2-c>。%/西］=0,。乃/因？=0，可得至!JP|=20,/?2=30,%=40,敢=30

3.考虑具有下列结构的行业。50个以竞争方式行动的厂商，具有相同的成本函

数c（y）=y2/2,一个具有零边际成本的垄断者。产品的需求曲线由下式给出

D(p)=1000-50po(1)什么是垄断者的利润最大化产量？(2)什么是垄断者

的利润最大化价格？(3)在此价格下，该竞争部门供应多少？(答案修改了)

解答：竞争厂商的供应：p=MC=c'，y)=y,

竞争厂商的总供应：yc=50y=50p

由市场均衡：D(p)=S(p),1000-50p=yc+ym

垄断者的产量：ym=1000-100p

2

垄断者的利润为：^=ymp-c=ymp-FC=1000p-100p-FC

利润最大化一阶条件：100-200p=0,p=5

ym=1000-100p=500,yc=50p=250

4.设某垄断厂商的成本函数为c(q)=50+20q，市场的需求函数为

p(qJ=100—4q，求其进行完全价格卑视和没有进行完全价格卑视两种状况

下的利润、产量和价格。

解答见书。

5.考虑一种两个人、两种商品、纯交换的竞争经济。消费者的效用函数为

G=411912+1初1+3Z2，。2=42q22+的21+%22。消费者1的初始拥有量为8单位0

和30单位Q?；消费者2每种商品各拥有10单位。确定这两个消费者的超额需

求函数和这种经济的均衡价格比率。

答案：五=2，E”=5,En=-10,E,|=-5E,=10

P2

6.考虑一个经济，有两家企业，两个消费者。企业1有消费者1完全全部。他

通过生产函数g=2x,用石油生产枪支。企业2有消费者2完全全部，他通过

生产函数8=3x,用石油生产黄油。每个消费者拥有10单位石油。消费者1的

效用函数是u(g,b)=g04b06，消费者2的效用函数是

”(g,6)=10+0.5Ing+0.5In6。(1)找到枪支、黄油和石油的市场出清价格。(2)

每个消费者消费枪支和黄油各多少？(3)每个企业各运用多少石油？

解答：做法与第三题类似，只是还要区分生产和消费两部门，区分要素投入和产

品P..Ph：Pg=6:2:3,消费者1运用9单位石油，8单位枪支，18单位黄油

消费者2运用11单位石油，10单位枪支，15单位黄油为了区分起见对每个消费

者加上脚标，

对消费者1：

Max〃"gD=g|0%]°6s.t.pgg|+Pb3=]Opx

对消费者2：

Max«2(g2,b2)=+O.5lng2+O.5lnb2s.t.pgg,+pbb2=l()px

对两个消费者加上生产约束：

(g,+gj/2=xg(b,+b2)/3=xbxg+xb=20

按上述求解可得。

7.考虑一种两个人、两种商品、有纸币纯交换的竞争经济。消费者的效用函数

为％=%必2%。2=取口22°.5。消费者1的初始拥有量初始拥有量为30单位Q、

5单位和43单位货币；消费者2初始拥有量分别为20、10和2。每个消费者

都想持有等于起初始商品拥有量价值的五分之一的货币存量。确定。和的均

衡货币价格。表明假如消费者1、2的货币存量分别增加到129和6,则均衡价

格应为原先的三倍。

解答：首先不考虑货币存量，按第三题的做法求出口=3,接着再从货币市场均

P25

衡求出均衡货币价格，0=3,02=5。证明“假如消费者1、2的