新教材2024版高中数学第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系第2课时空间中直线与平面的垂直课后提能训练新人教A版选择性必修第一册_第1页
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文档简介

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第2课时空间中直线与平面的垂直A级——基础过关练1.已知两直线的方向向量为a,b,则下列选项中能使两直线垂直的为 ()A.a=(1,0,0),b=(-3,0,0)B.a=(0,1,0),b=(1,0,1)C.a=(0,1,-1),b=(0,-1,1)D.a=(1,0,0),b=(-1,0,0)【答案】B【解析】因为a=(0,1,0),b=(1,0,1),所以a·b=0×1+1×0+0×1=0,所以a⊥b.故选B.2.若直线l的方向向量为v=(2,2,2),向量m=(1,-1,0)及n=(0,1,-1)都与平面α平行,则 ()A.l⊥α B.l∥αC.l⊂α D.l与α相交但不垂直【答案】A【解析】因为v·m=2-2+0=0,v·n=0+2-2=0,所以v⊥m且v⊥n.又因为m与n不平行,所以v⊥α,即l⊥α.故选A.3.已知a=(0,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1)分别是平面α,β,γ的法向量,则α,β,γ三个平面中互相垂直的有 ()A.0对 B.1对 C.2对 D.3对【答案】A【解析】因为a·b=(0,1,1)·(1,1,0)=1≠0,a·c=(0,1,1)·(1,0,1)=1≠0,b·c=(1,1,0)·(1,0,1)=1≠0,所以a,b,c中任意两个都不垂直,即α,β,γ中任意两个都不垂直.故选A.4.两平面α,β的法向量分别为μ=(3,-1,z),v=(-2,-y,1),若α⊥β,则y+z的值是 ()A.-3 B.6 C.-6 D.-12【答案】B【解析】因为μ=(3,-1,z),v=(-2,-y,1)分别为α,β的法向量且α⊥β,所以μ⊥v,即μ·v=-6+y+z=0,所以y+z=6.故选B.5.如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱BC,DD1上的点,如果B1E⊥平面ABF,那么CE与DF的和为 ()A.eq\f(1,2) B.1 C.eq\f(3,2) D.2【答案】B【解析】以D1为原点,D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),设CE=x,DF=y,则易知E(x,1,1),B1(1,1,0),F(0,0,1-y),B(1,1,1),所以eq\o(B1E,\s\up6(→))=(x-1,0,1),eq\o(FB,\s\up6(→))=(1,1,y).因为B1E⊥平面ABF,所以eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(B1E,\s\up6(→))=(1,1,y)·(x-1,0,1)=0,即x+y=1.故选B.6.设u=(-2,2,t),v=(6,-4,5)分别是平面α,β的法向量,若α⊥β,则实数t的值是 ()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】因为α⊥β,所以u⊥v,则u·v=-12-8+5t=0,解得t=4.故选D.7.(多选)在菱形ABCD中,若eq\o(PA,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量,则以下等式中一定成立的是 ()A.eq\o(PA,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→)) B.eq\o(PA,\s\up6(→))⊥eq\o(CD,\s\up6(→))C.eq\o(PC,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→)) D.eq\o(PC,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))【答案】ABC【解析】由题意知eq\o(PA,\s\up6(→))⊥平面ABCD,所以eq\o(PA,\s\up6(→))与平面上的线AB,CD都垂直,A,B正确;又因为菱形的对角线互相垂直,可推得对角线BD⊥平面PAC,故eq\o(PC,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→)),C正确.只有D不一定成立.故选ABC.8.已知平面α内有一点M(1,-1,2),平面α的一个法向量n=(6,-3,6),则点P(2,3,3)与平面α的关系是________.【答案】P∈平面α【解析】eq\o(MP,\s\up6(→))=(1,4,1),eq\o(MP,\s\up6(→))·n=6-12+6=0,所以eq\o(MP,\s\up6(→))⊥n.因为n⊥平面α,M∈平面α,所以P∈平面α.9.已知A(1,-1,3),B(0,2,0),C(-1,0,1),若点D在z轴上且eq\o(AD,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)),则|eq\o(AD,\s\up6(→))|=________.【答案】eq\r(3)【解析】设点D的坐标为(0,0,z),则eq\o(AD,\s\up6(→))=(-1,1,z-3),eq\o(BC,\s\up6(→))=(-1,-2,1).由eq\o(AD,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)),有eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))=1-2+(z-3)=0,所以z=4,所以|eq\o(AD,\s\up6(→))|=eq\r(3).10.如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M为棱BB1的中点,在棱DD1上是否存在点P使MD⊥平面PAC?解:如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,0),Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,1,\f(1,2))).假设存在点P(0,0,a)满足条件,则eq\o(PA,\s\up6(→))=(1,0,-a),eq\o(AC,\s\up6(→))=(-1,1,0),设平面PAC的法向量n=(x1,y1,z1).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(PA,\s\up6(→))·n=0,,\o(AC,\s\up6(→))·n=0,))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1-az1=0,,-x1+y1=0,))令x1=1,得y1=1,z1=eq\f(1,a),所以n=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,1,\f(1,a))).若MD⊥平面PAC,则eq\o(MD,\s\up6(→))∥n.因为eq\o(MD,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-1,-1,-\f(1,2))),所以a=2.又因为0≤a≤1,所以不存在点P使MD⊥平面PAC.B级——能力提升练11.已知eq\o(AB,\s\up6(→))=(1,5,-2),eq\o(BC,\s\up6(→))=(3,1,z),若eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)),eq\o(BP,\s\up6(→))=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为 ()A.eq\f(33,7),-eq\f(15,7),4 B.eq\f(40,7),-2,4C.eq\f(40,7),-eq\f(15,7),4 D.4,eq\f(40,7),-15【答案】C【解析】因为eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)),所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))=0,即3+5-2z=0,得z=4.因为BP⊥平面ABC,所以eq\o(BP,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(BP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)),则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((x-1)+5y+6=0,,3(x-1)+y-12=0,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=\f(40,7),,y=-\f(15,7).))故选C.12.(多选)已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),点D满足条件:DB⊥AC,DC⊥AB,AD=BC,则点D的坐标可以为 ()A.(1,1,1) B.(-1,-1,-1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3),\f(1,3),\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,3),-\f(1,3),-\f(1,3)))【答案】AD【解析】设D(x,y,z),则eq\o(BD,\s\up6(→))=(x,y-1,z),eq\o(CD,\s\up6(→))=(x,y,z-1),eq\o(AD,\s\up6(→))=(x-1,y,z),eq\o(AC,\s\up6(→))=(-1,0,1),eq\o(AB,\s\up6(→))=(-1,1,0),eq\o(BC,\s\up6(→))=(0,-1,1).因为DB⊥AC⇔-x+z=0①,DC⊥AB⇔-x+y=0②,AD=BC⇔(x-1)2+y2+z2=2③,联立①②③得x=y=z=1或x=y=z=-eq\f(1,3),所以点D的坐标为(1,1,1)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,3),-\f(1,3),-\f(1,3))).故选AD.13.已知平面α的一个法向量a=(x,1,-2),平面β的一个法向量b=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-1,y,\f(1,2))),若α⊥β,则x-y=________.【答案】-1【解析】因为α⊥β,所以a⊥b,所以-x+y-1=0,得x-y=-1.14.在△ABC中,A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1).若向量n是与eq\o(AB,\s\up6(→))共线的单位向量,则向量n的坐标为________;若向量n与平面ABC垂直,且|n|=eq\r(21),则n的坐标为________.【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6),\f(\r(6),6),-\f(\r(6),3)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(\r(6),6),-\f(\r(6),6),\f(\r(6),3)))(-2,4,1)或(2,-4,-1)【解析】据题意,得eq\o(AB,\s\up6(→))=(-1,-1,2),eq\o(AC,\s\up6(→))=(1,0,2).设n=(x,y,z),若向量n是与eq\o(AB,\s\up6(→))共线的单位向量,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,-1)=\f(y,-1)=\f(z,2),,x2+y2+z2=1,))可得n=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6),\f(\r(6),6),-\f(\r(6),3)))或n=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(\r(6),6),-\f(\r(6),6),\f(\r(6),3))).若n与平面ABC垂直,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up6(→))=0,,n·\o(AC,\s\up6(→))=0,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-x-y+2z=0,,x+2z=0,))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=4z,,y=-2x.))又因为|n|=eq\r(21),所以eq\r(x2+y2+z2)=eq\r(21),解得y=4或y=-4.当y=4时,x=-2,z=1;当y=-4时,x=2,z=-1.所以n=(-2,4,1)或n=(2,-4,-1).15.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD=NB=1,E为BC的中点.在线段AN上是否存在点S,使得ES⊥平面AMN?解:如图,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系.依题意,易得A(1,0,0),M(0,0,1),N(1,1,1),Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1,0)).假设在线段AN上存在点S,使得ES⊥平面AMN.因为eq\o(AN,\s\up6(→))=(0,1,1),可设eq\o(AS,\s\up6(→))=λeq\o(AN,\s\up6(→))=(0,λ,λ).又因为eq\o(EA,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),-1,0)),所以eq\o(ES,\s\up6(→))=eq\o(EA,\s\up6(→))+eq\o(AS,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),λ-1,λ)).由ES⊥平面AMN,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(ES,\s\up6(→))·\

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