新教材2024版高中数学第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系第2课时空间中直线与平面的垂直课后提能训练新人教A版选择性必修第一册

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第2课时空间中直线与平面的垂直A级——基础过关练1.已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为 ()A.a＝(1，0，0)，b＝(－3，0，0)B.a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)C.a＝(0，1，－1)，b＝(0，－1，1)D.a＝(1，0，0)，b＝(－1，0，0)【答案】B【解析】因为a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b.故选B.2.若直线l的方向向量为v＝(2，2，2)，向量m＝(1，－1，0)及n＝(0，1，－1)都与平面α平行，则 ()A.l⊥α B.l∥αC.l⊂α D.l与α相交但不垂直【答案】A【解析】因为v·m＝2－2＋0＝0，v·n＝0＋2－2＝0，所以v⊥m且v⊥n.又因为m与n不平行，所以v⊥α，即l⊥α.故选A.3.已知a＝(0，1，1)，b＝(1，1，0)，c＝(1，0，1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有 ()A.0对 B.1对 C.2对 D.3对【答案】A【解析】因为a·b＝(0，1，1)·(1，1，0)＝1≠0，a·c＝(0，1，1)·(1，0，1)＝1≠0，b·c＝(1，1，0)·(1，0，1)＝1≠0，所以a，b，c中任意两个都不垂直，即α，β，γ中任意两个都不垂直.故选A.4.两平面α，β的法向量分别为μ＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，若α⊥β，则y＋z的值是 ()A.－3 B.6 C.－6 D.－12【答案】B【解析】因为μ＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)分别为α，β的法向量且α⊥β，所以μ⊥v，即μ·v＝－6＋y＋z＝0，所以y＋z＝6.故选B.5.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，那么CE与DF的和为 ()A.eq\f(1,2) B.1 C.eq\f(3,2) D.2【答案】B【解析】以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，设CE＝x，DF＝y，则易知E(x，1，1)，B1(1，1，0)，F(0，0，1－y)，B(1，1，1)，所以eq\o(B1E,\s\up6(→))＝(x－1，0，1)，eq\o(FB,\s\up6(→))＝(1，1，y).因为B1E⊥平面ABF，所以eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(B1E,\s\up6(→))＝(1，1，y)·(x－1，0，1)＝0，即x＋y＝1.故选B.6.设u＝(－2，2，t)，v＝(6，－4，5)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则实数t的值是 ()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】因为α⊥β，所以u⊥v，则u·v＝－12－8＋5t＝0，解得t＝4.故选D.7.(多选)在菱形ABCD中，若eq\o(PA,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量，则以下等式中一定成立的是 ()A.eq\o(PA,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→)) B.eq\o(PA,\s\up6(→))⊥eq\o(CD,\s\up6(→))C.eq\o(PC,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→)) D.eq\o(PC,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))【答案】ABC【解析】由题意知eq\o(PA,\s\up6(→))⊥平面ABCD，所以eq\o(PA,\s\up6(→))与平面上的线AB，CD都垂直，A，B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故eq\o(PC,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，C正确.只有D不一定成立.故选ABC.8.已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量n＝(6，－3，6)，则点P(2，3，3)与平面α的关系是________.【答案】P∈平面α【解析】eq\o(MP,\s\up6(→))＝(1，4，1)，eq\o(MP,\s\up6(→))·n＝6－12＋6＝0，所以eq\o(MP,\s\up6(→))⊥n.因为n⊥平面α，M∈平面α，所以P∈平面α.9.已知A(1，－1，3)，B(0，2，0)，C(－1，0，1)，若点D在z轴上且eq\o(AD,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，则|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝________.【答案】eq\r(3)【解析】设点D的坐标为(0，0，z)，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1，1，z－3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1，－2，1).由eq\o(AD,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，有eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝1－2＋(z－3)＝0，所以z＝4，所以|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(3).10.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为棱BB1的中点，在棱DD1上是否存在点P使MD⊥平面PAC?解：如图，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2))).假设存在点P(0，0，a)满足条件，则eq\o(PA,\s\up6(→))＝(1，0，－a)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，设平面PAC的法向量n＝(x1，y1，z1).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(PA,\s\up6(→))·n＝0，,\o(AC,\s\up6(→))·n＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1－az1＝0，,－x1＋y1＝0，))令x1＝1，得y1＝1，z1＝eq\f(1,a)，所以n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,a))).若MD⊥平面PAC，则eq\o(MD,\s\up6(→))∥n.因为eq\o(MD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－1，－\f(1,2)))，所以a＝2.又因为0≤a≤1，所以不存在点P使MD⊥平面PAC.B级——能力提升练11.已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，5，－2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(3，1，z)，若eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为 ()A.eq\f(33,7)，－eq\f(15,7)，4 B.eq\f(40,7)，－2，4C.eq\f(40,7)，－eq\f(15,7)，4 D.4，eq\f(40,7)，－15【答案】C【解析】因为eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4.因为BP⊥平面ABC，所以eq\o(BP,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((x－1)＋5y＋6＝0，,3(x－1)＋y－12＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(40,7)，,y＝－\f(15,7)．))故选C.12.(多选)已知点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，点D满足条件：DB⊥AC，DC⊥AB，AD＝BC，则点D的坐标可以为 ()A.(1，1，1) B.(－1，－1，－1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，－\f(1,3)，－\f(1,3)))【答案】AD【解析】设D(x，y，z)，则eq\o(BD,\s\up6(→))＝(x，y－1，z)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(x，y，z－1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x－1，y，z)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，0，1)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0，－1，1).因为DB⊥AC⇔－x＋z＝0①，DC⊥AB⇔－x＋y＝0②，AD＝BC⇔(x－1)2＋y2＋z2＝2③，联立①②③得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－eq\f(1,3)，所以点D的坐标为(1，1，1)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，－\f(1,3)，－\f(1,3))).故选AD.13.已知平面α的一个法向量a＝(x，1，－2)，平面β的一个法向量b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，y，\f(1,2)))，若α⊥β，则x－y＝________.【答案】－1【解析】因为α⊥β，所以a⊥b，所以－x＋y－1＝0，得x－y＝－1.14.在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3，1)，C(2，－2，1).若向量n是与eq\o(AB,\s\up6(→))共线的单位向量，则向量n的坐标为________；若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝eq\r(21)，则n的坐标为________.【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6)，\f(\r(6),6)，－\f(\r(6),3)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),6)，－\f(\r(6),6)，\f(\r(6),3)))(－2，4，1)或(2，－4，－1)【解析】据题意，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1，2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，0，2).设n＝(x，y，z)，若向量n是与eq\o(AB,\s\up6(→))共线的单位向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,－1)＝\f(y,－1)＝\f(z,2)，,x2＋y2＋z2＝1，))可得n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6)，\f(\r(6),6)，－\f(\r(6),3)))或n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),6)，－\f(\r(6),6)，\f(\r(6),3))).若n与平面ABC垂直，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－y＋2z＝0，,x＋2z＝0，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝4z，,y＝－2x.))又因为|n|＝eq\r(21)，所以eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\r(21)，解得y＝4或y＝－4.当y＝4时，x＝－2，z＝1；当y＝－4时，x＝2，z＝－1.所以n＝(－2，4，1)或n＝(2，－4，－1).15.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点.在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN?解：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系.依题意，易得A(1，0，0)，M(0，0，1)，N(1，1，1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，0)).假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN.因为eq\o(AN,\s\up6(→))＝(0，1，1)，可设eq\o(AS,\s\up6(→))＝λeq\o(AN,\s\up6(→))＝(0，λ，λ).又因为eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1，0))，所以eq\o(ES,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AS,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，λ－1，λ)).由ES⊥平面AMN，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(ES,\s\up6(→))·\