专题5.4 正切函数的图象与性质3（重点题型解题技巧）（解析版）2023-2024学年高一数学上学期重难点题型秒杀秘籍与满分必刷（人教A版2019必修第一册）

第第页专题5.4正切函数的图象与性质3（重点题型解题技巧）【题型1利用正切函数单调性求参数】【题型2比较正切值的大小】【题型3解正切不等式】【题型4利用正切函数的奇偶性求参数】【题型5求含的二次式的最值】题型1利用正切函数单调性求参数，此函数为奇函数，定义域为对称中心为求的单调性，是不影响单调性的⑴若，则令只要求的单调性即可，假如求递增区间，由基本图象得反解范围⑵若，则先将由负变正，令只要求的单调性即可，假如求递增区间，将基本图象沿轴对称所得目标图象反解范围⑶若，则先将由负变正，则令只要求的单调性即可，假如求递增区间，由基本图象得反解范围1．若不等式在上恒成立，则的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．【答案】D【分析】根据正切函数的单调性即可求解.【详解】因为函数在上单调递增,所以,所以，故选：D.2．已知函数在内是减函数，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数在内单调，则，再结合复合函数单调性可知，综合可得的范围.【详解】因为函数在内是单调函数，所以最小正周期，即，所以.又函数在内是减函数，则根据复合函数单调性判定知.综上，.故选：B.3．函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据区间的定义以及的有界性确定的范围，然后再利用正切函数的单调性得到的单调性，再代入相应端点值及对应的最值得到相应的方程，解出即可.【详解】，，，根据函数在的最大值为7,最小值为3，所以，即，根据正切函数在为单调增函数，则，在上单调减函数，，，则，，，，，故选：B.4．已知函数在内是减函数，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正切函数的图象与性质，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数在内是减函数，可得，由，可得，则，所以.故选：B.5．已知函数在内是减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正切函数的图象与性质，得出关于的不等式组，求出解集即可．【详解】由函数在内是减函数.所以，且，解得：.故选：C【点睛】本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基础题．6．已知函数在内是减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据正切函数的奇偶性，得到在内是减函数，从而得到周期的范围，再得到的范围.【详解】因为函数在内是减函数，所以,又因为为奇函数，图像关于原点对称，所以图像关于对称，所以函数在内也是减函数，所以，所以，即.又，所以.故选：B.【点睛】本题考查正切函数的奇偶性和单调性以及周期性的运用，根据单调性求参数的范围，属于简单题.7．已知函数在内是减函数，则的取值范围是．【答案】【分析】由已知得为一个周期的子集，由此可得关于的不等式组，解不等式组即可．【详解】∵已知函数在内是减函数,∴函数在内是单调增函数，∴，解得，经检验，满足题意.∴的取值范围是．故答案为：.8．已知函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是．【答案】【分析】根据题意得到，，即可得到答案.【详解】因为函数在上是严格减函数，所以，，，.故答案为：9．若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】根据正切函数的性质得到不等式组，解不等式组即可.【详解】解：因为，所以，所以，解得，即．故答案为：10．函数在区间上为增函数，则实数的一个取值可以为.【答案】（答案不唯一）【分析】根据正切函数的单调性求出的取值范围，再写出一个正确答案即可.【详解】解：因为正切函数的单调递增区间为，，又函数在区间上为增函数，所以.故答案为：（答案不唯一）11．若函数在上为严格减函数，则实数的取值范围是．【答案】【分析】根据题意，结合正切函数的单调区间，即可求解.【详解】因为函数的单调递增区间为，，且函数在上为严格减函数，所以，解得，即.故答案为：.12．已知函数是上的严格增函数，则正实数的取值范围是.【答案】【分析】由已知得为一个周期的子集，由此可得关于的不等式组，解不等式组即可．【详解】解：∵函数在内是单调增函数，∴，解得，经检验，满足题意.∴的取值范围是．故答案：.13．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是．【答案】【分析】根据在上单调递增，可得，列不等式组即可求解.【详解】因为，所以，所以，，因为在上单调递增，所以，解得：．所以实数的取值范围是，故答案为：.14．已知函数在区间上的最大值为7，最小值为1，求和的值.【答案】或.【分析】分类讨论的值，从而得到函数的单调区间，再利用函数的最值求解即可.【详解】当时，，不符合题意，舍去.当时，在区间上为增函数，，解得，.当时，在区间上为减函数，，解得，.15．已知函数，若在区间上的最大值是，则；若在区间上单调递增，则的取值范围是．【答案】【分析】根据定义域得，再得到取最大值的条件求解即可；先得到一般性的单调增区间，再根据集合之间的关系求解.【详解】因为，且在此区间上的最大值是，所以．因为f(x)max=2tan=，所以tan==，即ω=．由，得．令，得，即在区间上单调递增．又因为在区间上单调递增，所以<，即．所以的取值范围是．故答案为：1，题型2比较正切值的大小第一步：画出符合要求的图象第二步：利用诱导公式转化为同名函数第三步：大角换小角并标在图象上从而比较大小1．下列大小关系中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先利用诱导公式化简，再借助三角函数的单调性比较大小.【详解】因为，函数在上单调递增，所以，故A错误；因为，函数在上单调递增，所以，故B错误；,所以，故C错误；,,因为，函数在上单调递减，所以，即，故D正确.故选：D2．已知偶函数在上单调递减，若，，，则下列不等关系中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，由三角函数的诱导公式可得，，，由正切函数的性质结合函数的奇偶性和单调性分析可得答案．【详解】因为，，，又由为偶函数，则，，，又函数在上单调递增，所以，又在上单调递减，则有，故选：D．3．下列各式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据正切函数的图象与性质，结合正切函数的单调性和诱导公式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由，且，由正切函数性质，可得，且，所以，所以，所以A不正确；对于B中，由，由正切函数单调性可得，即，所以B错误；对于C中，由正切函数在上为单调递增函数，因为，所以，所以C正确；对于D中，由，由正切函数的单调性，可得，即，所以D错误.故选：C.4．设，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据和正切函数的单调性直接得出结果.【详解】由题意得，函数在上单调递增且，在上单调递增且，因为，所以，所以.故选：A.5．下列各式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用正切函数的单调性可判断AB选项；利用余弦函数的单调性可判断C选项；利用正弦函数的单调性可判断D选项.【详解】对于A，，因为正切函数在上为增函数，且，所以，即，A选项正确；对于B，由于正切函数在上为增函数，且，所以，B选项正确；对于C，，因为余弦函数在为减函数，，所以，即，C选项正确；对于D，由于正弦函数在上为增函数，且，所以，D选项错误.故选：ABC.6．下列各式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用正切函数的单调性可判断AB选项的正误，利用余弦函数的单调性可判断C选项的正误，利用正弦函数的单调性可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，，因为正切函数在上为增函数，且，所以，，即，A选项正确；对于B选项，由于正切函数在上为增函数，且，所以，，B选项错误；对于C选项，，，因为余弦函数在为减函数，且，所以，，即，C选项正确；对于D选项，由于正弦函数在上为增函数，且，所以，，D选项错误.故选：AC.7．下列各式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据正切函数的函数值的正负以及单调性可判断A，B，利用诱导公式结合正余弦函数的性质可判断C，D.【详解】对于A，，A错误;对于B，，由于函数在上单调递增，故，B正确；对于C，，，故，C正确；对于D,函数在上是增函数，而，所以，D不正确；故选：BC8．下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据正切函数的单调性及诱导公式即可求解.【详解】对于A，因为，函数在上单调递增，所以．故A正确；对于B,．故B不正确；对于C，，．又，函数在上单调递增，所以，即．故C不正确；对于D，，．又，函数在上单调递增，所以，即．故D正确.故选：AD.9．比较大小：.【答案】>【分析】根据给定条件，利用正切函数的性质比较大小作答.【详解】依题意，，所以，即.故答案为：>10．比较下列各组中三角函数值的大小：(1)与；(2)与．【答案】(1)；(2).【分析】（1）（2）利用正切函数的单调性，结合诱导公式比较大小作答.【详解】（1）函数在是单调递增，而，所以.（2）依题意，，而，则，所以.11．比较下列各组中三角函数值的大小：(1)与；(2)与．【答案】(1)(2)【分析】由正切函数的单调性即可判断大小.【详解】（1）因为当时，函数单调递增，且，所以；（2）因为，，且，结合函数在上单调递增，所以，即.12．利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：(1)，；(2)，．【答案】(1)(2)【分析】利用正切函数的单调性，比较各组数的大小即可.【详解】（1）由于，且函数在区间内单调递增，因此．（2）由于，且函数在区间内单调递增，因此．题型3解正切不等式第一步：画出正余弦函数的图象第二步：画出的图象第三步：研究题干取上部或下部写出一个周期内的解集第四步：在一个周期内的解集的基础上加上周期的整数倍形如．求函数的定义域;破解：函数有意义，则满足，即结合正切函数的性质，可得即函数的定义域为1．已知角为斜三角形的内角，，则的x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】确定，变换得到，解得答案.【详解】角为斜三角形的内角，则，，即，故.故选：D.2．满足的x的取值范围是（

）A． B．C．， D．，【答案】D【分析】根据正切函数的单调性进行求解即可.【详解】由，，故选：D3．的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】结合正切函数的图象求不等式在时的解集，再结合正切函数的周期性确定其解集.【详解】作函数的图象，作函数的图象，观察图象可得当时，，即时，不等式的解集为，又正切函数为周期函数，周期为，所以不等式的解集为，故选：D.4．函数的定义域为.【答案】，【分析】直接根据对数函数的定义得，解出三角不等式即可.【详解】要使函数有意义，则，即.所以，.故答案为：，.5．若，则不等式的解集为.【答案】【分析】根据正切函数的单调性及特殊角三角函数值直接求解即可.【详解】当时，；当时，且在上单调递增，；综上所述：的解集为.故答案为：.6．不等式的解集为．【答案】【分析】利用正切函数的单调性列不等式即可得出.【详解】不等式的解集为.由可得，解得，不等式的解集为故答案为：7．若，且，则的取值范围是．【答案】【分析】根据正切函数的性质计算可得.【详解】由，则，，又，所以，即的取值范围是.故答案为：8．不等式的解集是．【答案】．【分析】利用正切函数的单调性和周期性即可得出【详解】正切函数最小正周期为，在上单调递增，，所以不等式的解集为.故答案为：9．不等式的解集是.【答案】【分析】根据正切函数性质即可得出答案.【详解】，则，则，故答案为：，10．函数的定义域为．【答案】【分析】根据题意，列出函数有意义时的不等式，解出不等式的解集，从而得到函数的定义域.【详解】函数要使函数有意义，则，即，，，即原函数的定义域为：.故答案为：11．根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x值的集合：(1)；(2)．【答案】(1)；(2).【分析】（1）（2）根据给定条件，借助正切函数的图象性质解不等式得解.【详解】（1）不等式，化为，在同一平面直角坐标系中作出正切函数在上的图象和直线，如图：

显然在上，满足，由图可知在上，使不等式成立的x的取值范围是，所以使不等式成立的x的集合为.（2）不等式，化为，在同一平面直角坐标系中作出正切函数在上的图象和直线，如图：

显然在上，满足，由图可知在上，使不等式成立的x的取值范围是.所以使不等式成立的x的集合为.12．求满足下列条件的角的范围.(1)；(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】结合三角函数的图像即可(1)(2)(3)中不等式的解.【详解】（1）作出与的部分图像如图，

所以由可得.（2）作出与的部分图像如图，

所以由可得.（3）作出与的部分图像如图，

所以由可得.13．解不等式.【答案】.【分析】解出正切不等式在一个周期内的解集，由周期性可得不等式的解集.【详解】作出函数，的图像，如图所示．观察图像可得：在内，满足条件的x为，由正切函数的周期性可知，满足不等式的x的解集为.14．写出下列不等式的解集．(1);(2)．【答案】(1)(2)【分析】(1)先求出时不等式的解集,再根据最小正周期,即可得不等式解集;(2)先求出时不等式的解集,再根据最小正周期,即可得不等式解集.【详解】（1）解:由题知,根据函数在上图象可知,只需,根据的最小正周期,可得的解集为:;（2）根据函数在上图象可知,只需,根据的最小正周期,可得的解集为:.题型4利用正切函数的奇偶性求参数根据函数奇偶性的规律判定使用前提：函数解析式比较复杂，由若干基本函数经过运算之后的函数判定奇偶性.解题步骤：第一步：确定所给函数的结构特征，应用奇函数的性质进行判断；第二步：结合基本函数的奇偶性和函数奇偶性的相关结论确定所给函数的奇偶性.常见的结论包括：(1)几个奇函数的代数和是奇函数；几个偶函数的代数和是偶函数；奇函数与偶函数的代数和是非奇非偶函数.(2)奇函数的乘积或商是偶函数，偶函数的乘积或商是偶函数，奇函数与偶函数的乘积或商是奇函数.形如①已知奇函数，则②已知奇函数，则常见的奇函数三角函数是奇函数，是偶函数，是奇函数形如．若函数，则；已知，则．破解：令，则即是奇函数又，∴∴，故答案为：0；1．已知函数，且，则（

）A． B． C．1 D．4【答案】A【分析】根据函数解析式的特点，结合奇函数的性质进行求解即可.【详解】设，定义域为，关于原点对称，则，故是奇函数，从而，即，即.故选：A2．已知函数，若，则（

）A．5 B．3 C．1 D．0【答案】A【分析】根据诱导公式，结合函数的奇偶性进行求解即可.【详解】设，因为，所以函数是奇函数，因此，故选：A3．已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（

）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】依题意可得，令，，即可得到是奇函数，根据奇函数的性质计算可得；【详解】解:，令，，于是，所以是奇函数，从而的最大值G与最小值g的和为0，而.故选：B4．已知函数，若，则（

）A．－100 B．102 C．98 D．－102【答案】B【解析】利用计算可得．【详解】由已知，又，所以，，故选：B．5．若函数，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】计算得出，进而可得出的值.【详解】因为，则，由于，因此，.故选：B.6．设函数，如果，则的值是（

）A．-10 B．8 C．-8 D．-7【答案】B【解析】令，由奇函数定义可知，化简计算可求得结果.【详解】令,则，所以，由可知，，即，，故选：B.【点睛】本题考查奇函数性质，考查计算能力，属于基础题.7．，若，则．【答案】0【分析】代入计算并运用函数的奇偶性求解即可.【详解】因为，所以，所以.故答案为：0.8．已知，.【答案】【分析】根据三角函数的奇偶性，结合奇函数的性质，可得答案.【详解】令，由与为奇函数，则，则.故答案为：.9．对于函数，其中．若，则．【答案】【分析】代入计算得到，再计算，得到答案.【详解】，故，.故答案为：10．函数，若，则．【答案】3【分析】根据题意可得，结合计算即可求解.【详解】由题得，∴，所以．故答案为：3.11．已知函数，其中，、、，且，则．【答案】【分析】构造奇函数，利用奇函数的定义求解函数值.【详解】设，则，的定义域为，，所以为奇函数，所以，，所以，所以，故答案为:.12．已知函数，且，则.【答案】0【分析】计算得到，代入计算得到答案【详解】，则.故答案为：13．对于函数，其中，已知，则.【答案】【分析】根据诱导公式计算的值并观察与的关系即可求得结果.【详解】而所以，故故答案为：.14．已知函数（，为常实数），且，则．【答案】【分析】判断出是奇函数，由奇函数的性质可得答案．【详解】因为，定义域关于原点对称，设，，则是奇函数，因为，所以，所以．故答案为：.15．已知，若，则．【答案】【分析】由为奇函数得出.【详解】由于，即，故，令，则，即在定义域内是奇函数，满足，则，故．故答案为：16．函数，若，则的值为【答案】0【分析】由，可得，然后再求出【详解】因为，且，所以，得，所以，故答案为：017．已知函数，且，则．【答案】0【分析】由得，再由即可求解．【详解】由，所以又故答案为：018．已知函数，，则.【答案】5【解析】由题意可得，再利用正切函数为奇函数即可求得．【详解】由函数，，即，即，.故答案为：5题型5求含的二次式的最值第一步：令并求新元的取值范围第二步：将函数转化为二次函数第三步：画出二次函数的有效图象并求最值形如．求函数，的值域.破解：第一步：因为，所以，令，则第二步：所以转化为，第三步：所以当，即，时，当，即，时，，所以函数的值域为1．函数，的值域为.【答案】【分析】求出的取值范围，再结合二次函数的基本性质可求得结果.【详解】令，，因为函数在上单调递增，当时，，即，又因为函数在上单调递增，当时，，所以，函数，的值域为.故答案为：.2．函数，的值域为．【答案】【分析】由的范围求出的范围，再根据二次函数的性质即可得出答案.【详解】因为，所以，，则当时，，当时，，所以函数的值域为.故答案为：.3．函数，的值域为．【答案】【分析】由的范围求出的范围，再根据二次函数的性质即可得出答案.【详解】解：因为，所以，，则当时，，当时，，所以函数的值域为.故答案为：.4．函数的值域为.【答案】【分析】先求出，再结合二次函数的内容求解.【详解】由得，，故当时，有最小值，当时，有最大值.故答案为：.5．已知函数，，则其值域为.【答案】【分析】令，将原函数转化为关于t的二次函数，求出二次函数值域即得.【详解】令，，显然在上单调递增，因此，，则原函数化为：，而在上单调递增，于是当，即时，，当，即时，，所以原函数的值域为.故答案为：6．函数，的值域是．【答案】【分析】求出的范围，利用二次函数的性质得出值域.【详解】，故答案为：7