新教材2024版高中数学第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算课件新人教A版选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算学习目标素养要求1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向量等概念数学抽象2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律直观想象、逻辑推理3.掌握空间向量数乘运算的意义及运算律数学运算|自学导引|

空间向量的概念1．定义：与平面向量一样，在空间，我们把具有________和________的量叫做空间向量(spacevector)．2．长度或模：空间向量的________．3．表示方法：①字母表示法：用字母a，b，c，…表示；②几何表示法：空间向量也用__________表示，有向线段的________表示空间向量的_______，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为____________．大小方向

大小

有向线段

长度模4．几类特殊的空间向量：名称定义及表示零向量规定长度为________的向量叫零向量，记为________单位向量模为________的向量叫单位向量相反向量与向量a长度________而方向________的向量，称为a的相反向量，记为－a0

0

1

相等相反名称定义及表示相等向量方向________且模________的向量称为相等向量，同向且等长有向线段表示同一向量或相等向量共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线__________________，那么这些向量叫做__________或平行向量相同相等

互相平

行或重合

共线向量

【答案】(1)√

(2)×

(3)×【预习自测】若表示空间两个相等向量的有向线段的起点相同，则终点也相同吗？【答案】提示：因为相等向量的方向相同长度相等，所以表示相等向量的有向线段的起点相同时，终点也相同．微思考空间向量的加、减、数乘运算及其运算律线性运算的运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；(3)分配律：(λ＋μ)a＝__________，λ(a＋b)＝__________(λ，μ∈R)λa＋μa

λa＋λb

【答案】C

【预习自测】【答案】①

【解析】①中两个向量的方向一定不同，正确；②中只能说明以表示a，b的有向线段为邻边的四边形为矩形，但|a|与|b|不一定相等，错误；③中向量不能进行大小比较，错误．

空间向量共线的充要条件对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在_______，使a＝______．实数λ

λb

微思考【预习自测】直线的方向向量若非零向量a在直线l上，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．直线的方向向量有什么特点？【答案】提示：非零，与直线平行．微思考【预习自测】共面向量1．定义：平行于______________的向量叫做共面向量．2．充要条件：若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使___________．同一个平面

p＝xa＋yb

【答案】(1)×

(2)√【预习自测】【答案】2

空间中任意两个向量是否都共面？【答案】提示：是，向量可以自由平移，任意两个向量都可以平移到一个平面内．微思考|课堂互动|题型1有关空间向量的概念的理解【答案】C

处理空间向量概念问题要关注的两个要素和两个关系(1)两个要素判断与空间向量有关的命题时，要抓住空间向量的两个主要要素，即大小与方向，两者缺一不可．(2)两个关系①模相等与空间向量相等的关系：两个空间向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个空间向量(非零向量)的模相等是两个空间向量相等的必要不充分条件．②向量的模与空间向量大小的关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对空间向量来说是没有意义的．但空间向量的模是可以比较大小的．1．下列四个命题：①所有的单位向量都相等；②方向相反的两个向量是相反向量；③若a，b满足|a|>|b|，且a，b同向，则a>b；④零向量没有方向．其中不正确的命题的序号为________.【答案】①②③④【解析】对于①，单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的定义，故①错误；对于②，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故②错误；对于③，向量是不能比较大小的，故③错误；对于④，零向量有方向，只是没有确定的方向，故④错误．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．题型3空间向量的共面角度1向量共线【答案】A

证明空间向量共面、点共面的常用方法(1)证明空间三个向量共面常用的方法①证明其中一个空间向量可以表示成另两个空间向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则空间向量a，b，c共面；②寻找平面α，证明这些空间向量与平面α平行．错解分析：分析解题过程，错误的根本原因是空间向量的数乘运算与加法运算的几何意义综合应用不当．|素养达成|1．对空间向量数乘运算的三点认识(1)类比平面向量，空间中任意实数λ与向量a的乘积λa仍然是一个向量，所以它既有大小又有方向，大小为|a|的|λ|倍，方向取决于λ的正负．(2)实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a无意义．(3)特殊情况：当λ＝0或a＝0时，向量λa＝0.2．共线向量充要条件的三个关注点(1)区别：共线向量与直线平行的区别，直线平行不包括两直线重合的情况，而我们说的两个共线向量a∥b，表示向量a，b的有向线段所在直线既可以是同一直线，也可以是两条平行直线．(2)零向量：共线向量的充要条件及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据，条件b≠0不可遗漏．(3)方向向量的个数：直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．3．对共面向量的两点说明(1)共面的理解：共面向量是指与同一个平面平行的向量，可将共面向量平移到同一个平面内．共面向量所在的直线可能相交、平行或异面．(2)向量的“自由性”：空间任意的两向量都是共面的．只要方向相同，大小相等的向量就是同一向量，只要能平移到同一平面上的向量都是共面向量．4．共面向量充要条件的三个作用(1)建立共面向量之间的向量关系式：用两个不共线的向量可以表示与这两个向量共面的任意向量．例如：如果两个向量a，b不共线，由向量c与向量a，b共面可得，存在唯一的一对实数x，y，使c＝xa＋yb.1．(题型1)下列说法中正确的是

(

)A．任意两个空间向量都可以比较大小B．方向不同的空间向量不能比较大小，但同向的空间向量可以比较大小C．空间向量的大小与方向有关D．空间向量的模可以比较大小【答案】D

【解析】A，B两项，任意两个空间向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，故A，B错误；C中，向量的大小只与其长度有关，与方向没有关