新教材2024版高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.2导数的运算5.2.1基本初等函数的导数课后提能训练新人教A版选择性必修第二册VIP

5．2.1基本初等函数的导数A级——基础过关练1．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的点P坐标为 ()A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1，1)C．(2，8) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,8)))【答案】B2．(多选)设b为实数，则直线y＝2x＋b能作为下列函数图象的切线的有 ()A．f(x)＝eq\f(1,x) B．f(x)＝x4C．f(x)＝ex D．f(x)＝sinx【答案】BC【解析】对于A，f′(x)＝－eq\f(1,x2)<0，故无论x取何值，f′(x)不可能等于2，故A错误；对于B，f′(x)＝4x3，令f′(x)＝4x3＝2，解得x＝eq\r(3,\f(1,2))，所以直线y＝2x＋b能作为该函数图象的切线；对于C，f′(x)＝ex，令ex＝2，解得x＝ln2，所以直线y＝2x＋b能作为该函数图象的切线；对于D，f′(x)＝cosx∈[－1，1]，故无论x取何值，f′(x)不可能等于2，故D错误．故选BC.3．若函数y＝10x，则y′|x＝1＝ ()A．eq\f(1,10) B．10 C．10ln10 D．eq\f(1,10ln10)【答案】C【解析】∵y′＝10xln10，∴y′|x＝1＝10ln10.故选C.4．函数f(x)＝eq\r(x\r(x))的导数是 ()A．xeq\f(3,2) B．xeq\f(3,4) C．eq\f(3,2)xeq\f(3,2) D．eq\f(3,4)x－eq\f(1,4)【答案】D【解析】先将f(x)变形为y＝xα的形式，再求导，即f(x)＝eq\r(x\r(x))＝eq\r(x\s\up6(\f(3,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\s\up6(\f(3,2))))eq\s\up6(\f(1,2))＝xeq\s\up6(\f(3,4))，故f′(x)＝eq\f(3,4)x－eq\f(1,4).5．(2022年湘潭期末)已知函数f(x)＝x5的导函数为y＝f′(x)，则f′(－1)＝ ()A．－1 B．1 C．5 D．－5【答案】C【解析】∵f′(x)＝5x4，∴f′(－1)＝5.故选C.6．(多选)下列求导正确的是 ()A．(x8)′＝8x7 B．(4x)′＝4xln4C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))))′＝sinx D．(e2)′＝2e【答案】AB【解析】C项中，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝cosx，∴(cosx)′＝－sinx；D项中，(e2)′＝0.7．(2022年辽宁期末)曲线y＝lnx在点(1，0)处的切线方程为__________．【答案】y＝x－1【解析】y′＝eq\f(1,x)，当x＝1时，y′＝1，所以曲线y＝lnx在点(1，0)处的切线方程为y＝x－1.8．直线y＝eq\f(1,2)x＋b是曲线f(x)＝lnx(x＞0)的一条切线，则实数b＝________.【答案】ln2－1【解析】由切线方程知切线斜率是eq\f(1,2)，即y′＝eq\f(1,x)＝eq\f(1,2)，解得x＝2.因为切点在y＝lnx上，所以切点为(2，ln2).因为切点也在切线上，所以将点(2，ln2)代入切线方程，得b＝ln2－1.9．已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)在x＝2处的导数为eq\f(1,2ln2)，求底数a的值．解：f′(x)＝(logax)′＝eq\f(1,xlna).由题得f′(2)＝eq\f(1,2lna)＝eq\f(1,2ln2)，所以lna＝ln2，得a＝2.10．求曲线y＝sinx在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))处的切线方程．解：y＝sinx的导函数为y′＝cosx.当x＝eq\f(π,6)时，y′＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)，即y＝sinx在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))处的切线斜率为eq\f(\r(3),2)，所以曲线y＝sinx在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))处的切线方程为y－eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，即eq\r(3)x－2y＋1－eq\f(\r(3)π,6)＝0.B级——能力提升练11．曲线y＝eq\r(3,x2)在点(1，1)处的切线方程为 ()A．3x－2y－1＝0 B．2x－3y＋1＝0C．2x＋3y－5＝0 D．x＋y－2＝0【答案】B【解析】y＝eq\r(3,x2)＝xeq\s\up6(\f(2,3))，则y′＝eq\f(2,3)x－eq\f(1,3)，y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1))＝eq\f(2,3)，所以所求切线方程为y－1＝eq\f(2,3)(x－1)，即2x－3y＋1＝0.12．(多选)(2022年南昌期末改编)已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是 ()A．f(x)＝x2 B．f(x)＝cosxC．f(x)＝lnx D．f(x)＝eq\f(1,x)【答案】ABCD【解析】对于A，f(x)＝x2，f′(x)＝2x，由x2＝2x，解得x＝0或x＝2，因此此函数有“巧值点”；对于B，f(x)＝cosx，则f′(x)＝－sinx，令－sinx＝cosx，则sinx＋cosx＝0⇒eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝0⇒x＋eq\f(π,4)＝kπ⇒x＝kπ－eq\f(π,4)，k∈Z，因此此函数有“巧值点”；对于C，f(x)＝lnx，f′(x)＝eq\f(1,x)，由lnx＝eq\f(1,x)，如图，分别画出y＝lnx，y＝eq\f(1,x)(x＞0)的图象，由图象可知，两函数图象有交点，因此此函数有“巧值点”；对于D，f(x)＝eq\f(1,x)，f′(x)＝－eq\f(1,x2)，由eq\f(1,x)＝－eq\f(1,x2)，解得x＝－1，因此此函数有“巧值点”．故选ABCD.13．已知f(x)＝x2，g(x)＝lnx，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________．【答案】1【解析】因为f(x)＝x2，g(x)＝lnx，所以f′(x)＝2x，g′(x)＝eq\f(1,x)且x>0，f′(x)－g′(x)＝2x－eq\f(1,x)＝1，即2x2－x－1＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(1,2)(舍去).14．已知P为曲线y＝lnx上的一动点，Q为直线y＝x＋1上的一动点，则当P的坐标为__________时，PQ最小，此时最小值为________．【答案】(1，0)eq\r(2)【解析】如图所示，当直线l与曲线y＝lnx相切且与直线y＝x＋1平行时，切点到直线y＝x＋1的距离即为PQ的最小值．令y′＝eq\f(1,x)＝1，解得x＝1，∴P(1，0)，∴|PQ|min＝eq\f(|1－0＋1|,\r(2))＝eq\r(2).15．已知函数f(x)＝xa(a为常数且a＞0)的图象在x＝1处的切线为l，若l与两坐标轴围成的三角形面积为eq\f(1,4)，求a的值．解：由f(x)＝xa，可得f′(x)＝axa-1，∴f′(1)＝a.又∵f(1)＝1，∴切线l的方程为y－1＝a(x－1)，∴l与两坐标轴的交点分别为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a)，0))，(0，1－a)，∴l与两坐标轴围成的