新教材2024版高中数学第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大小值第2课时函数的最大小值课件新人教A版必修第一册

第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第2课时函数的最大(小)值学习目标素养要求1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义逻辑推理2．理解最大值、最小值的作用和实际意义，会借助单调性求最值数学运算3．掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法直观想象|自学导引|

函数的最大值与最小值函数最大值最小值条件一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

x∈I，都有f(x)________Mf(x)________M存在x0∈I，使得__________结论称M是函数y＝f(x)的最大值称M是函数y＝f(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的________f(x)图象上最低点的________≤

≥

f(x0)＝M

纵坐标纵坐标

【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)任何函数f(x)都有最大值和最小值． (

)(2)若存在实数m，使f(x)≥m，则m是函数f(x)的最小值． (

)(3)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在区间[a，b]上的最小值是f(a)，最大值是f(b)．

(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)√【解析】(1)反例：f(x)＝x既无最大值，也无最小值．(2)若使m是f(x)的最小值，还需在f(x)的定义域内存在x0，使f(x0)＝m．(3)由于f(x)在区间[a，b]上单调递增，所以f(a)≤f(x)≤f(b)．故f(x)的最小值是f(a)，最大值是f(b)．|课堂互动|题型1图象法求函数的最值)解：(1)函数的图象如图所示．由图象可知f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和[0，＋∞)，无递减区间．(2)由函数图象可知，函数的最小值为f(0)＝－1．图象法求最值的一般步骤解：作出f(x)的图象如图所示．函数的最值与单调性的关系(1)若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)．(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．提醒：求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最值．由－3≤x1＜x2≤－1可得x1－x2＜0，x1x2＞1，即有f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在[－3，－1]上单调递增．(2)因为函数f(x)在[－3，－1]上单调递增，所以f(x)的最大值为f(－1)＝－2．求解实际问题的四个步骤(1)读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情境”译为数学语言，找出问题的主要关系(目标与条件的关系)．(2)建模：把问题中的关系转化成函数关系，建立函数解析式，把实际问题转化成函数问题．(3)求解：选择合适的数学方法求解函数．(4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后将结果应用于现实，做出解释或预测．3．轮船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲、乙两地相距s(km)，水流速度为p(km/h)，轮船在静水中的最大速度为q(km/h)(p，q为常数，且q＞p)，已知轮船每小时的燃料费用与轮船在静水中的速度v(km/h)成正比，比例系数为常数k．(1)将全程燃料费用y(元)表示为静水中速度v(km/h)的函数；(2)若s＝100，p＝10，q＝110，k＝2，为了使全程的燃料费用最少，轮船的实际行驶速度应为多少？易错警示忽视单调性致误若f(x)＝x2－6x＋m在区间[2，＋∞)上的最小值为－3，则m＝________．错解：由于f(x)在区间[2，＋∞)上的最小值为3，所以f(2)＝4－12＋m＝－3，即m＝5．易错防范：由于f(x)图象的对称轴为x＝3∈[2，＋∞)，所以f(x)在x＝3时取得最小值，错因在于没有考虑f(x)的单调性．防范措施是研究二次函数在给定区间上的性质必须数形结合，从单调性入手．正解：由于f(x)图象的对称轴是x＝3，所以f(x)在区间[2，3]上单调递减，在区间[3，＋∞)上单调递增，故x＝3时，f(x)最小，f(3)＝－9＋m＝－3，即m＝6．|素养达成|2．二次函数在闭区间上的最值．探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图