期末复习专题三：图形与几何-长方体和正方体【四大篇目】-2023-2024学年六年级数学上册典型例题系列（解析版）苏教版

第第页2023-2024学年六年级数学上册典型例题系列期末复习专题三：图形与几何—长方体和正方体【四大篇目】专题解读本专题是期末复习专题三：图形与几何—长方体和正方体。本部分内容包括长方体和正方体的认识、棱长、表面积、体积等，该部分根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，建议作为期末复习核心内容进行讲解，一共划分为四个篇目，欢迎使用。目录导航TOC\o"1-1"\h\u【第一篇】长方体和正方体的认识与棱长和【知识总览】 4【考点一】长方体和正方体的展开图 5【考点二】长方体的棱长和与实际应用 8【考点三】正方体的棱长和与实际应用 10【考点四】长方体和正方体的等长转化问题 12【第二篇】长方体和正方体的表面积“基础篇”【知识总览】 15【考点一】长方体的表面积 15【考点二】根据表面展开图求长方体的表面积 17【考点三】正方体的表面积 20【考点四】棱长扩倍问题 21【考点五】不规则或组合立体图形的表面积 23【考点六】染色问题 26【第三篇】长方体和正方体的表面积“进阶篇”【知识总览】 29【考点一】拼切问题 29【考点二】高的变化问题 32【考点三】切掉最大的正方体 35【第四篇】长方体和正方体的体积【知识总览】 38【考点一】体积和容积单位及换算 39【考点二】长方体的体积 41【考点三】正方体的体积 43【考点四】折叠图形中的体积 45【考点五】等积变形问题 48【考点六】排水法求不规则物体的体积 50【考点七】组合立体图形的体积 53【第一篇】长方体和正方体的认识与棱长和【知识总览】一、长方体的认识。1.长方体的特征：注意：长方体的6个面都是长方形，特殊情况有两个面是正方形。2.长方体的长、宽、高：相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。二、正方体的认识。1.正方体的特征：（1）正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。（2）正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等。2.正方体和长方体的关系：总结：正方体是特殊的长方体。三、长方体的棱长及棱长和。1.棱长和一般表示的是12条棱的长度之和.2.长方体的棱长和=4x长+4×宽+4x高=4x（长+宽+高）。3.根据棱长和公式反求长、宽、高。长=棱长和÷4-宽-高宽=棱长和÷4-长-高高=棱长和÷4-长-宽四、正方体的棱长及棱长和。1.正方体的棱长和=12x棱长；2.反求棱长，棱长=棱长和÷12。【考点一】长方体和正方体的展开图。【典型例题】1．下列图形中，折叠后不能围成一个长方体的是（

）。A． B．C．D．【答案】B【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（同时情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等。据此解答即可。【详解】A．根据长方体展开图的特征可知：沿虚线折叠后能围成长方体；B．不符合长方体展开图的特征，所以不能围成长方体；C．沿虚线折叠后能围成长方体；D．沿虚线折叠后能围成长方体。故答案为：B【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用。2．下列几何图形的展开图中，可以折叠成一个无盖的正方体盒子的是（

）。A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④【答案】D【分析】根据正方体11种展开图，添上1个小正方形，是正方体11种展开图的可以折叠成一个无盖的正方体盒子，据此分析。【详解】如图，②号能组成1－4－1型正方体展开图，④号能组成2－2－2型正方体展开图，可以折叠成一个无盖的正方体盒子的是②和④。故答案为：D【点睛】关键是具有一定的空间想象能力，掌握正方体11种展开图。【对应练习】1．下面图形沿着虚线折叠，不能围成长方体的是（

）。A． B．C． D．【答案】C【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（同时情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等。据此解答即可。【详解】A．根据长方体展开图的特征可知：沿虚线折叠后能围成长方体；B．沿虚线折叠后能围成长方体；C．不能围成长方体，因为它相对的面不相等；D．沿虚线折叠后能围成长方体。故答案为：C【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用。2．下面图形中能拼成正方体的有（

）个。

A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】能拼成正方体的图形有四种类型：一四一型，有6种，即中间4个小正方形相连，两侧各一个小正方形；二三一型有3种，2个正方形与3个正方形相邻成两排，剩下一个在另一排；二二二型有1种，即3组2个正方形相连，错位一格；三三型1种，2组三个正方形相连，对齐一个。据此可得出答案。【详解】第一个图形符合一四一型，能拼成正方体；第二个图形符合一四一型，能拼成正方体；第三个图形中出现“凹”形状，不能拼成正方体；第四个图形符合二三一型，能拼成正方体。即能拼成正方体的图形有3个。故答案为：B【点睛】本题主要考查的是正方体的展开图，解题的关键是熟练掌握正方体展开图的11种图形，进而判断得出答案。【考点二】长方体的棱长和与实际应用。【典型例题】1.用铁丝焊接一个长6厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体框架，至少需要铁丝()厘米。解析：602.一个长方体的棱长总和是80cm，其中长是10cm，宽是7cm，高是()cm。解析：80÷4－10－7＝20－10－7＝3（cm）3.一个长、宽、高分别为40厘米、30厘米、20厘米的小纸箱，在所有的棱上粘上一圈胶带，至少需要多长的胶带？解析：（40＋30＋20）×4＝90×4＝360（厘米）答：至少需要360厘米的胶带。【对应练习】1．蛋糕店用要用彩带包装下面的蛋糕盒，接头处彩带长27厘米，一共要用多少厘米彩带？

【答案】251厘米【分析】观察可知，长×2＋宽×2＋高×4＋接头长度＝彩带长度，据此列式解答。【详解】30×2＋30×2＋26×4＋27＝60＋60＋104＋27＝251（厘米）答：一共要用251厘米彩带。【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体棱长总和公式。2．母亲节到了，小悦想把送给妈妈的礼品盒包装得更精美，按照右图的方法捆扎，打结处需要20厘米，捆扎这个礼品盒一共需要多少厘米丝带？

【答案】340厘米【分析】观察图片可知，丝带的长度＝4条高＋2条长＋2条宽＋打结处，据此解答即可。【详解】60×2＋40×2＋30×4＋20＝120＋80＋120＋20＝340（厘米）答：捆扎这个礼品盒一共需要340厘米丝带。【点睛】本题考查了长方体棱长和公式的灵活应用，要熟练掌握公式。3．用一根丝带捆扎一个礼盒（如下图），打结处的丝带长30厘米，捆扎这个礼盒至少需要多长的丝带？【答案】160厘米【分析】观察图形可知，捆扎这个礼盒至少需要丝带的长度＝2条长＋2条宽＋4条高＋打结用的长度，据此解答。【详解】25×2＋20×2＋10×4＋30＝50＋40＋40＋30＝90＋40＋30＝130＋30＝160（厘米）答：捆扎这个礼盒至少需要160厘米的丝带。【点睛】本题考查长方体棱长总和公式的实际应用，弄清是如何捆扎的，也就是弄清需要求哪些棱的长度之和。【考点三】正方体的棱长和与实际应用。【典型例题】五一期间，外地游客小明到“广州市场步行街”买到一个礼物，这个礼物的礼盒是一个正方体，这个礼盒用打包带按如图所示方法捆起来（打结处打包带长20厘米），一共要用多少厘米的打包带？【答案】660厘米【分析】由图可知，正方体上下两个面分别需要计算4条棱的长度，四个侧面分别需要计算2条棱的长度，－共需要计算（4×2＋2×4）条正方体的棱长，再乘正方体每条棱的长度，最后加上打结处打包带的长度，据此解答。【详解】（4×2＋2×4）×40＋20＝（8＋8）×40＋20＝16×40＋20＝640＋20＝660（厘米）答：一共要用660厘米的打包带。【点睛】本题主要考查正方体棱长之和的应用，分析图形求出需要计算棱长的数量是解答题目的关键。【对应练习】1．妈妈给奶奶买了一件母亲节礼物，她用丝带把礼物按照下图的方法捆扎，打结处需要45厘米。捆扎这个礼物一共需要多少厘米丝带？【答案】245厘米【分析】根据题意和图形可知，所需丝带的长度等于8条棱长的长度＋打结处用的45厘米，由此列式解答。【详解】8×25＋45＝200＋45＝245（厘米）答：捆扎这个礼物一共需要245厘米丝带。【点睛】此题属于正方体的棱长总和的实际应用，首先分清是如何捆扎的，然后根据棱长总和的计算方法解答。2．给一个正方体礼品盒包装，用了50厘米长的丝带，其中，打结用了14厘米。礼品盒一个面的边长是多少厘米？【答案】9厘米【分析】根据正方体的特征：12条棱分别相等，由图形可知，丝带一共绕了正方体的四个棱长的长度，总长度减去打结用了14厘米，再除以4，即可求出正方体的棱长，解答即可。【详解】（50－14）÷4＝36÷4＝9（厘米）答：礼品盒一个面的边长是9厘米。【点睛】解决此题的关键是理解正方体棱长的特征，弄清围绕的长度是围了几条棱。【考点四】长方体和正方体的等长转化问题。【典型例题】一根铁丝恰好可以焊接成一个长14厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体框架，若这根铁丝也恰好能焊接成一个正方体框架，那么这个正方体框架的棱长是多少厘米？【答案】8厘米【分析】先根据长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据求出长方体框架的棱长和，再根据题意可知：长方体框架的棱长和也就是正方体的棱长和，用正方体的棱长和除以12就可以计算出正方体框架的棱长。【详解】（14＋6＋4）×4÷12＝24×4÷12＝8（厘米）答：这个正方体框架的棱长是8厘米。【点睛】此题的解题关键是熟练掌握长方体和正方体的棱长和公式。【对应练习】1．用一根铁丝正好可以做成一个棱长为7厘米的正方体框架，如果用这根铁丝做成一个长为9厘米、宽为4厘米的长方体框架，它的高应是多少厘米？（接头处忽略不计）【答案】8厘米【分析】根据正方体的总棱长公式：L＝12a，据此求出铁丝的长度，再根据长方体的总棱长公式：L＝（a＋b＋h）×4，用铁丝的长度除以4，再减去长方体的长和宽即可求出它的高应是多少厘米。【详解】12×7＝84（厘米）84÷4－9－4＝21－9－4＝12－4＝8（厘米）答：它的高应是8厘米。【点睛】本题考查长方体和正方体的总棱长，熟记公式是解题的关键。2．长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体的长是5.2米，宽是4米，高是3.4米。正方体的棱长是多少米？【答案】4.2米【分析】根据长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，用（5.2＋4＋3.4）×4即可求出长方体的棱长和，因为长方体和一个正方体的棱长之和相等，根据正方体的棱长和＝棱长×12，用求得的棱长和除以12，即可求出正方体的棱长。【详解】（5.2＋4＋3.4）×4＝12.6×4＝50.4（米）50.4÷12＝4.2（米）答：正方体的棱长是4.2米。【点睛】本题主要考查了长方体棱长和公式和正方体棱长和公式的灵活应用，要熟练掌握公式。【第二篇】长方体和正方体的表面积“基础篇”【知识总览】一、长方体的表面积。1.长方体的表面积=2x（长x宽+长x高+宽x高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。2.已知表面积，反求长、宽、高：方程法。二、正方体的表面积。正方体的表面积=6x棱长x棱长，用字母表示为：S=6a2。三、长方体和正方体的棱长扩倍问题。1.如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。例如：若正方体的棱长扩大到原来的3倍，则它的表面积就扩大到原来的9倍。如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。四、染色问题。三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面：染三个面的小正方体数量∶8个。染两个面的小正方体数量∶12×（a-2）。染一个面的小正方体数量∶6×（a-2）x（a-2）。没有染色的面的小正方体数量∶（a-2）×（a-2）×（a-2）。【考点一】长方体的表面积。【典型例题】1.一节长方体的通风管长是3分米，宽是2分米，高是8分米。做一节这样的通风管至少需要多大的铁皮？解析：3×2×2＋2×8×2＝12＋32＝44（平方分米）答：做一节这样的通风管至少需要44平方分米的铁皮。2.一个长方体的表面积是242平方厘米，它的宽是7厘米，高是3厘米。那么，聪明的你知道这个长方体的长是多少厘米吗?解析：方法一：用算术方法求解∶（242÷2-21）÷（7+3）=10。方法二：用方程求解∶解：设长为c厘米，那么根据表面积公式可得出如下的方程：2×（21+7×x+3×x）=242解方程可得：x=10答：这个长方体的长是10厘米。【对应练习】1．李师傅用木板做了一个长方体无盖收纳箱，这个收纳箱长5分米，宽4分米，高3分米。做这个收纳箱用了多少平方分米的木板？【答案】74平方分米【分析】根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab＋2ah＋2bh，把数据代入公式解答。【详解】5×4＋5×3×2＋4×3×2＝20＋30＋24＝74（平方分米）所以做这个收纳箱用了74平方分米的木板。【点睛】此题主要考查无盖长方体的表面积公式，解题的关键是熟记公式。2．小明的卧室长5米、宽4米、高3米，门窗面积是5平方米，如果粉刷这个房间的顶棚和四壁，每平方米需0.5千克涂料，一共需要多少千克涂料？【答案】34.5千克【分析】首先计算出小明的卧室要粉刷的地方的面积大小：用侧面积加上顶面面积再减去门窗面积，其中侧面积应该为（长×高＋宽×高）×2，顶面面积为长×宽；算出粉刷面积后再乘上0.5就能计算出需要的涂料。【详解】粉刷面积：（5×3＋4×3）×2＋5×4－5＝（15＋12）×2＋20－5＝27×2＋20－5＝54＋20－5＝74－5＝69（平方米）69×0.5＝34.5（千克）答：一共需要34.5千克涂料。【考点二】根据表面展开图求长方体的表面积。【典型例题】下图是长方体盒子的展开图，原来长方体盒子的表面积是多少平方米？解析：高：8－5＝3（米）长：（20－3×2）÷2＝（20－6）÷2＝14÷2＝7（米）宽：8－3×2＝8－6＝2（米）（7×2＋7×3＋2×3）×2＝（14＋21＋6）×2＝41×2＝82（平方米）答：原来长方体盒子的表面积是82平方米。【对应练习】1．立体图形的表面积。用如图的硬纸板中的五块做一个无盖的长方体纸盒，可以做成不同规格的纸盒，如果要使纸盒的表面积最大，应该选哪几块？先选择序号（

），再计算它所需硬纸板是多少平方分米？（单位：分米）

【答案】（1）、（4）、（5）、（7）、（9）；26平方分米【分析】做一个无盖的长方体纸盒，即纸盒表面有五个面，要使表面积最大则尽可能选取面积大的长方形或正方形，同时需要保证长方体的长、宽、高对等；再根据长方形面积＝长×宽，将5面面积相加得出面积。【详解】要使纸盒的表面积最大，可选择（1）作为长方体纸盒的正面，（4）作为背面，（5）作为左侧面，（9）作为右侧面，（7）作为底面，即应该选用：（1）、（4）、（5）、（7）、（9）；所需硬纸板面积为：（平方分米）答：应该选用（1）、（4）、（5）、（7）、（9）序号的纸板；它所需硬纸板是26平方分米。【点睛】本题主要考查的是长方体的表面积，解题的关键是熟练掌握长方体的表面展开图，进而得出答案。2．如图，是一个长方体六个面展开后的形状。（1）想一想：如果将展开图还原成长方体，A点将与（

）重合，B点将与（

）重合。（2）算一算：长方体的表面积是多少？【答案】（1）C点、F点；G点（2）52平方厘米【分析】将长方体的展开图围成长方体，根据长方体相对面的面积相等可知，两个红色面相对，则A点将与C点、F点重合，B点将与G点重合；长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此解答即可。【详解】（1）想一想：如果将展开图还原成长方体，A点将与C点、F点重合，B点将与G点重合。（2）（4×3＋4×2＋3×2）×2＝（12＋8＋6）×2＝（20＋6）×2＝26×2＝52（平方厘米）答：长方体的表面积是52平方厘米。【点睛】熟练掌握长方体展开图的特征以及表面积计算公式是解答本题的关键。【考点三】正方体的表面积。【典型例题】制作一个棱长为2分米的正方体灯笼框架，至少需要多少分米长的木条？若在灯笼的各个面糊上彩纸（上面不糊），至少需要多少平方分米的彩纸？【答案】24分米；20平方分米【分析】求木条的长度，就是求正方体的总棱长，根据正方体的总棱长公式：L＝12a，据此进行计算即可；求彩纸的面积就是求正方体的五个面的面积，根据正方形的面积公式：S＝a2，据此求出正方体1个面的面积，再乘5即可求解。【详解】2×12＝24（分米）2×2×5＝4×5＝20（平方分米）答：至少需要24分米长的木条，至少需要20平方分米的彩纸。【对应练习】1．一个正方体礼品盒，棱长总和是36分米，制作这个礼品盒至少需要多少平方分米的硬纸？【答案】54平方分米【分析】正方体的棱长总和＝棱长×12，用棱长总和除以12求出棱长，再根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据分别代入公式解答即可。【详解】36÷12＝3（分米）3×3×6＝9×6＝54（平方分米）答：制作这个礼品盒至少需要54平方分米的硬纸。【点睛】此题考查了正方体的表面积公式的灵活运用，解题关键是正确计算正方体的棱长。2．李叔叔用白铁皮焊接20个棱长是1.2米的正方体无盖水箱，预计在制作过程中一共要损耗0.8平方米白铁皮。制作这些水箱一共需要准备多少白铁皮？【答案】144.8平方米【分析】一个无盖的正方体水箱需要的白铁皮的面积就是正方体的五个面的面积，先求出一个无盖的正方体水箱需要的白铁皮的面积再乘20，最后再加上损耗的铁皮的面积即可求解。【详解】1.2×1.2×5×20＋0.8＝1.44×5×20＋0.8＝7.2×20＋0.8＝144＋0.8＝144.8（平方米）答：制作这些水箱一共需要准备144.8平方米的白铁皮。【点睛】本题考查正方体的表面积，熟记公式解题的关键。【考点四】棱长扩倍问题。【典型例题】一个正方体棱长扩大到原来的2倍，表面积扩大原来的()倍，体积扩大到原来的()倍。【答案】48【分析】采用设数法解决此题。假设原来正方体的棱长为1，棱长扩大到原来的2倍后是2。正方体的表面积＝棱长×棱长×6，根据正方体的表面积公式分别计算出正方体原来的表面积、扩大后的表面积；再用扩大后的表面积÷原来的表面积，求出表面积扩大到原的几倍。正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，根据正方体的体积公式分别计算出正方体原来的体积、扩大后的体积；再用扩大后的体积÷原来的体积，求出体积扩大到原的几倍。【详解】假设原来正方体的棱长为1。2×1＝22×2×6÷（1×1×6）＝24÷6＝42×2×2÷（1×1×1）＝8÷1＝8所以，表面积扩大原来的4倍，体积扩大到原来的8倍。【点睛】当正方体的棱长扩大到原来的n倍时，它的表面积就扩大到原来的n2倍；它的体积就扩大到原来的n3倍。【对应练习】1．现在将正方体的棱长扩大为原来的2倍，下列表述正确的是（

）。A．扩大后这个正方体的棱长和是扩大前的12倍 B．扩大后这个正方体的表面积是扩大前的6倍C．扩大后这个正方体的体积是扩大前的8倍 D．扩大后这个正方体的体积是扩大前的4倍【答案】C【分析】假设正方体的棱长为1，扩大到原来的2倍，根据正方体的棱长和＝棱长×12；正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；分别求出扩大前后正方体的棱长和、表面积和体积，进而求出它们变化前后的关系。【详解】假设正方体的棱长为1，扩大到原来的2倍，扩大后的棱长：1×2＝2原来的棱长总和：1×12＝12扩大后的棱长总和：2×12＝2424÷12＝2扩大后这个正方体的棱长和是扩大前的2倍；原来的表面积：1×1×6＝6扩大后的表面积：2×2×6＝2424÷6＝4扩大后这个正方体的表面积是扩大前的4倍；原来的体积：1×1×1＝1扩大后的体积：2×2×2＝88÷1＝8扩大后这个正方体的体积是扩大前的8倍。故答案为：C【点睛】本题主要考查了正方体的棱长和公式、表面积公式、体积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。2．长方体的体积扩大9倍，可能是（

）。A．长方体的长、宽、高各扩大3倍B．长方体的长扩大3倍，宽和高不变C．长方体的长、宽各扩大3倍，高缩小3倍D．长方体的长不变，宽和高各扩大3倍【答案】D【分析】根据长方体的体积计算方法和积的变化规律，长方体的体积＝长×宽×高，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积；由此解答。【详解】A．长方体的长、宽、高各扩大3倍，它的体积扩大3×3×3＝27倍，故选项错误；B．长方体的长扩大3倍，宽和高不变，它的体积扩大3×1×1＝3倍，故选项错误；C．长方体的长、宽各扩大3倍，高缩小3倍，它的体积扩大3×3÷3＝3倍，故选项错误；D．长方体的长不变，宽和高各扩大3倍，它的体积扩大1×3×3＝9倍，故选项正确。故答案为：D【点睛】此题主要考查长方体的体积计算方法和积的变化规律。【考点五】不规则或组合立体图形的表面积。【典型例题】下图是一个由实心正方体和长方体组合而成的塑料部件。下面正方体的棱长是20cm，上面是长方体的前、后、左、右四个面的面积总和为80cm2。这个塑料部件的表面积是多少平方厘米？

【答案】2480平方厘米【分析】根据题意，通过平移补齐，这个塑料部件的表面积＝正方体的表面积＋长方体的侧面积（前、后、左、右四个面的面积），正方体的表面积＝6a2，据此解答。【详解】（平方厘米）（平方厘米）答：这个塑料部件的表面积是平方厘米。【点睛】此题考查了长方体与正方体的面积计算，关键熟记计算公式。【对应练习】1．有一个长方体形状的零件，中间挖去一个小正方体（如图），你能算出剩余部分的体积和表面积吗？（图中单位：cm）【答案】体积：232立方厘米；体积：252平方厘米【分析】观察图形可知，剩余部分的体积＝长方体的体积－小正方体的体积；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出剩余部分的体积；剩余部分的表面积是长方体的表面积减去小正方体的一个面的面积，再加上小正方体的5个面的面积，即长方体的表面积＋正方体的4个面的面积；根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的面积公式：表面积＝棱长×棱长×4，代入数据，即可解答。【详解】体积：8×6×5－2×2×2＝48×5－4×2＝240－8＝232（立方厘米）表面积：（8×6＋8×5＋6×5）×2＋2×2×4＝（48＋40＋30）×2＋4×4＝（88＋30）×2＋16＝118×2＋16＝236＋16＝252（平方厘米）答：体积是232立方厘米，表面积是252平方厘米。【点睛】熟练掌握长方体体积公式和表面积公式，正方体体积公式和表面积公式是解答本题的关键。2．给学校运动会的领奖台的各个面都涂漆（底面不涂），需要涂漆的面积是多少平方厘米？如果每平方米的油漆需要75元，给这个领奖台涂漆一共需要多少钱？（单位：厘米）【答案】33280平方厘米；249.6元【分析】观察图形可知，从前面看，如下图：将图形分成三个长方形，然后分别计算这三个长方形的面积，再相加，即可求出前面的面积；从左面看，如下图：根据长方形的面积公式，代入数据求出左面的面积；从上面看，如下图：根据长方形的面积公式，代入数据求出上面的面积；最后用前面的面积×2＋左面的面积×2＋上面的面积即可求出这个立体图形的表面积；然后把表面积化为平方米作单位，如果每平方米的油漆需要75元，根据单价×数量＝总价，用表面积乘75即可求出涂漆需要多少钱。【详解】前、后面的面积：[80×40＋80×（32＋24）＋80×24]×2＝[80×40＋80×56＋80×24]×2＝[3200＋4480＋1920]×2＝9600×2＝19200（平方厘米）左、右面的面积：40×（32＋24）×2＝40×56×2＝4480（平方厘米）上面的面积：80×3×40＝240×40＝9600（平方厘米）19200＋4480＋9600＝33280（平方厘米）33280平方厘米＝3.328平方米3.328×75＝249.6（元）答：需要涂漆的面积是33280平方厘米；如果每平方米的油漆需要75元，给这个领奖台涂漆一共需要249.6元。【点睛】本题主要考查了不规则立体图形的表面积的灵活计算，通过三视图观察出每个面的组成是解答本题的关键。【考点六】染色问题。【典型例题】将一个棱长5厘米的正方体表面涂色，再切割成棱长1厘米的小正方体，其中三面涂色的有()个，两面涂色的有()个，一面涂色的有()个。解析：8；36；54【对应练习】1．有一个棱长10厘米的正方体，用红色染料对其表面染色，然后切成棱长为1厘米的小正方体，那么两个面染色的正方体有()个。【答案】96【分析】在各棱处，除去顶点处的正方体，其他的是两面油漆，棱长被分成10个小正方体，所以每条棱有（10－2）个两面油漆的小正方体，所以用（10－2）×12即可求出有几个两面涂色的小正方体。【详解】两面涂色的有：（10－2）×12＝8×12＝96（个）两面涂色小正方体有96个。【点睛】此题主要考查了染色问题，解题的关键是抓住三面涂色的在顶点处，两面涂色的在棱长上，一面涂色的在正方体的面中间上。2．用棱长1cm的小正方体拼成棱长是4cm的大正方体，然后把大正方体的表面涂上颜色。那么小正方体中，三面涂色的有()个，两面涂色的有()个。【答案】824【分析】由题意可知，大正方体每条棱长上面都有4÷1＝4个小正方体，三个面均涂色的是各顶点处的小正方体；在各棱处，除去顶点处的正方体，其他的有两面涂色，据此解答即可。【详解】三面涂色的小正方体有8个；两面涂色的有：（4－2）×12＝2×12＝24（个）则三面涂色的有8个，两面涂色的有24个。【点睛】熟记不同面涂色的小正方体的位置特点是解答本题的关键。3．某小学要做一个展台，工人师傅用每个面都是1平方米的正方体靠墙角摆放（如下图）。把这个展台露在外面的面涂上红色，那么共要涂()个面，这些红色面的面积之和是()平方米。【答案】99【分析】观察图形可知，从上面看，有3个面露在外面，从正面看，有3个面露在外面，从右面看，有3个面露在外面，总共有9个面露在外面，所以要涂9个面，每个面的面积是1平方米，即可求出这些红色面的面积之和。【详解】根据分析得，3＋3＋3＝9（个）9×1＝9（平方米）【点睛】本题主要考查立体图形的切拼。通过从不同方向观察，确定露在外面的小正方形的个数是解题的关键。【第三篇】长方体和正方体的表面积“进阶篇”【知识总览】表面积的增减变化问题主要有三种，一种是切片问题，表面积会相应增加，一种是拼接问题，表面积会相应减少，一种是高的变化引起的表面积变化。1.切片问题。（1）切一刀增加两个切面，沿着不同的方向切，多出的表面积一般是不一样的，其中正方体比较特殊，它的表面积的增减变化都是都是正方形在进行变化，相对比较简单。（2）刀数×2=切面个数。2.拼接问题。（1）长方体或正方体的拼接会使表面积减少，两个正方体的拼接，有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，与切片问题类似，可以先判断刀数，再根据刀数去推正方形的个数，但是长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。（2）段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。3.高的变化问题。（1）正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。（2）长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是前后左右四个面。【考点一】拼切问题。【典型例题】1．把下图的木块平均分成两块，两块木块的表面积的和比原来木块的表面积增加了多少平方厘米？

【答案】96平方厘米【分析】根据题意可知，木块平均分成两块，表面积增加了2个长方形面，长方形的长为8厘米，宽为6厘米，根据长方形的面积公式，用6×8×2即可求出增加的表面积。【详解】6×8×2＝96（平方厘米）答：两块木块的表面积的和比原来木块的表面积增加了96平方厘米。【点睛】本题主要考查了立体图形的切拼，注意表面积增加了哪些面。2．把一根长60厘米的长方体木料锯成大小一样的3段，表面积比原来增加了100平方厘米。这根木料原来的体积是多少立方厘米？【答案】1500立方厘米【分析】把长方体木料锯成大小一样的3段，锯了（3－1）＝2次，增加了2×2＝4个截面，即增加的表面积相当于这根长方体木料的4个底面积，用增加的面积除以4，可得长方体木料的底面积。根据长方体体积公式：V＝Sh，将数据代入即可求出木料原来的体积。【详解】由分析可得：（3－1）×2＝2×2＝4（个）100÷4×60＝25×60＝1500（立方厘米）答：这根木料原来的体积是1500立方厘米。【点睛】本题考查了长方体体积的计算，关键明白100平方厘米是4个底面积的和，从而求出一个截面的面积，再计算该长方体木料的体积。【对应练习】1．把一根2米长的长方体木料，沿与横截面平行的方向锯成4段，表面积增加了192平方厘米，这根长方体木料的体积是多少立方厘米？【答案】6400立方厘米【分析】根据题意，沿与横截面平行的方向锯成4段，那么增加了6个底面，用增加的面积192平方厘米除以6求出一个底面积，再乘高即可求出长方体木料的体积；据此解答。【详解】2米＝200厘米192÷6×200＝32×200＝6400（立方厘米）答：这根长方体木料的体积是6400立方厘米。【点睛】此题主要考查立体图形的切割问题，根据增加的面积求出长方体的底面积是解题关键；注意统一单位。2．用4个完全一样的小正方体积木拼成一个长方体（如下图所示），表面积减少了32平方厘米，每个小正方体的体积是多少？拼成的这个长方体的底面积是多少？【答案】8立方厘米；16平方厘米【分析】如图，拼成一个长方体后，表面积减少了8个小正方形的面积，用32除以8可求出其中一个小正方形的面积为4平方厘米，所以小正方形的边长为2厘米，即小正方体的棱长为2厘米，根据正方体的体积公式即可求出每个小正方体的体积；长方体的长和宽都为（2＋2）厘米，利用长乘宽即可求出拼成的这个长方体的底面积。【详解】32÷8＝4（平方厘米）因为2×2＝4（平方厘米）所以小正方体的棱长是2厘米。2×2×2＝8（立方厘米）（2＋2）×（2＋2）＝4×4＝16（平方厘米）答：每个小正方体的体积是8立方厘米，拼成的这个长方体的底面积是16平方厘米。【点睛】此题主要考查立体图形的拼接，熟练运用正方体的体积和长方体的底面积公式，弄清减少的是几个面的面积是解题的关键。3．如图，把一个长、宽、高分别为12厘米、7厘米、9厘米的长方体木块沿着一个方向锯开，能够得到两个小一些的长方体木块。怎样锯才能使得到的两个小长方体木块的表面积之和最小？请在图中画一画，并求出锯开后的两个小长方体木块的表面积之和。【答案】图见详解；636平方厘米【分析】以大长方体的宽和高为锯开面的长和宽，增加的表面积最小。据此，先求出大长方体的表面积，再加上两个锯开面的面积，即可求出锯开后的两个小长方体木块的表面积之和。【详解】如图：

（12×9＋12×7＋9×7）×2＋9×7×2＝（108＋84＋63）×2＋126＝255×2＋126＝510＋126＝636（平方厘米）答：锯开后的两个小长方体木块的表面积之和是636平方厘米。【点睛】本题考查了长方体的表面积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。【考点二】高的变化问题。【典型例题】一个高40厘米，底面是正方形的长方体，如果高增加5厘米，表面积就增加80平方厘米，求原来长方体的表面积和体积各是多少？【答案】672平方厘米；640立方厘米【分析】如图所示，原来长方体的高增加5厘米后，表面积增加上面小长方体4个侧面的面积，长方体的底面是正方形时，其它4个侧面是形状完全相同的长方形，根据增加的表面积表示出上面小长方体一个侧面的面积，再求出底面正方形的边长，最后利用“长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2”“长方体的体积＝长×宽×高”求出原来长方体的表面积和体积，据此解答。【详解】80÷4÷5＝20÷5＝4（厘米）表面积：（4×4＋4×40＋4×40）×2＝（16＋160＋160）×2＝336×2＝672（平方厘米）体积：4×4×40＝16×40＝640（立方厘米）答：原来长方体的表面积是672平方厘米，体积是640立方厘米。【点睛】根据增加的表面积求出原来长方体的长和宽，并掌握长方体的表面积和体积的计算公式是解答题目的关键。【对应练习】1．一个正方体，它的高增加2厘米后就成了长方体，这个长方体的表面积比原正方体表面积增加了96平方厘米，求原正方体的表面积。【答案】864平方厘米【分析】一个正方体如果它的高增加2厘米，就变成了长方体，表面积比原来增加96平方厘米，它的底面积没变，增加的是4个侧面的面积，增加部分每个面的面积是：96÷4＝24平方厘米，用24除以2就可以求出原来正方体的棱长；再根据：正方体的表面积＝6a2，将数据代入公式计算即可。【详解】96÷4÷2＝24÷2＝12（厘米）12×12×6＝144×6＝864（平方厘米）答：原正方体的表面积是864平方厘米。【点睛】此题解答关键是求出正方体的棱长，然后根据正方体的表面积公式解答即可。2．一个长方体，如果高减少3厘米就变成了一个正方体，表面积就减少了96平方厘米，现在这个正方体的体积与原来长方体的体积相差多少立方厘米？【答案】192立方厘米【分析】根据题意，长方体的高减少3厘米变成了一个正方体，说明长方体的长和宽都等于正方体的棱长；正方体比原来长方体减少的表面积是4个长为正方体的棱长，宽为3厘米的长方形的面积；先用减少的表面积除以4，求出一个长方形的面积，再除以3，即可求出正方体的棱长，也是长方体的长和宽；那么正方体与原来长方体相差的体积是一个长、宽等于正方体的棱长，高为3厘米的小长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。【详解】96÷4＝24（平方厘米）24÷3＝8（厘米）8×8×3＝64×3＝192（立方厘米）答：现在这个正方体的体积与原来长方体的体积相差192立方厘米。【点睛】本题考查立体图形的切拼以及长方体体积公式的应用，明确表面积减少的是哪些面的面积，以此为突破口，求出正方体的棱长是解题的关键。3．如图，从一个长方体钢锭中截下一个体积是108立方厘米的小长方体后，剩下的部分刚好是一个棱长为6厘米的正方体。原来长方体钢锭的表面积是多少？

【答案】288平方厘米【分析】由图可知，截去小长方体的长和宽都是6厘米，根据“高＝长方体的体积÷长÷宽”求出截去小长方体的高，原来长方体的高＝截去小长方体的高＋正方体的棱长，最后利用“长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2”求出原来长方体钢锭的表面积，据此解答。【详解】108÷6÷6＝18÷6＝3（厘米）3＋6＝9（厘米）（6×6＋6×9＋6×9）×2＝（36＋54＋54）×2＝144×2＝288（平方厘米）答：原来长方体钢锭的表面积是288平方厘米。【点睛】本题主要考查立体图形的切拼，熟练掌握并灵活运用长方体的表面积和体积的计算公式是解答题目的关键。【考点三】切掉最大的正方体。【典型例题】一个长方体，长12厘米，宽8厘米，高5厘米。从这个长方体上切下一个最大的正方体后，剩下部分的体积是多少立方厘米？【答案】355立方厘米【分析】从这个长方体上切下一个最大的正方体，这个正方体的棱长是5厘米，根据正方体的体积公式：V＝a3，据此求出正方体的体积，然后用长方体的体积减去正方体的体积即可。【详解】－＝480－125＝355（立方厘米）答：剩下部分的体积是355立方厘米。【点睛】本题考查正方体和长方体的体积，熟记公式是解题的关键。【对应练习】1．从一个长是8cm，宽4cm，高5cm的长方体中，截取一个最大的正方体，这个正方体的体积是多少？【答案】4×4×4【分析】根据题意可知：在这个长方体中截取一个最大的正方体，这个正方体的棱长等于长方体的宽，根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。【详解】4×4×4＝64（cm3）答：这个正方体的体积是64cm3。【点睛】本题是考查图形的切拼问题，解答此题的关键是考虑要以长方体的最短边为棱长。2．将下面的长方体切割成一个最大的正方体。（1）这个正方体的体积是多少？（2）正方体的体积占原长方体体积的几分之几？【答案】（1）64立方厘米；（2）【分析】（1）长方体切割成一个最大的正方体，正方体的棱长应等于长方体的宽，为4厘米，根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式求出它的体积。（2）利用长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入求出长方体的体积，再用正方体的体积除以原长方体体积，即可求出正方体的体积占原长方体体积的几分之几。【详解】（1）根据分析得，正方体的棱长为4厘米。4×4×4＝64（立方厘米）答：这个正方体的体积是64立方厘米。（2）8×5×4＝160（立方厘米）64÷160＝答：正方体的体积占原长方体体积的。【点睛】此题主要考查长方体、正方体的体积公式的灵活运用，抓住立体图形切割的特点，根据求一个数占另一个数的几分之几的计算方法，解决问题。【第四篇】长方体和正方体的体积【知识总览】一、体积及容积单位。1.容积：容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。2.体积：体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。由于测量方法的不同，体积一般大于容积。二、体积及容积单位换算。1.体积及容积单位进率：1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3；。2.单位换算：高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。三、长方体的体积。1.长方体的体积=长×宽×高，用字母表示V=abh。2.长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。3.宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。4.高=体积÷长÷宽，h=V÷a÷b。四、正方体的体积。正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a=a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。五、体积的扩倍问题。长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。六、排水法求不规则物体的体积。形状不规则的物体可以用排水法求体积：排水法的公式：V物体=V现在－V原来也可以V物体=S×(h现在-h原来)V物体=S×h升高【考点一】体积和容积单位及换算。【典型例题】1．在括号里填上合适的单位名称。一只热水瓶最多能盛水1.2()；粉笔盒的高大约是10()；一间教室占地大约48()；一个矿泉水瓶的容量是500()。【答案】升/L厘米/cm平方米/m2毫升/mL【分析】根据生活经验，数据的大小和对单位的认识可知：计量一只热水瓶的容积用升做单位更为合适；计量粉笔盒的高用厘米做单位更为合适；计量一间教室占地面积用平方米做单位更为合适；计量一个矿泉水瓶的容量用毫升做单位更为合适，据此解答。【详解】一只热水瓶最多能盛水1.2升；粉笔盒的高大约是10厘米；一间教室占地大约48平方米；一个矿泉水瓶的容量是500毫升。2．在括号里填上适当的数。5060毫升＝()升

4.3立方分米＝()立方分米()立方厘米1.02立方分米＝()升()毫升

11.2升＝()立方分米＝()立方厘米【答案】5.06430012011.211200【分析】低级单位换高级单位除以进率，根据1升＝1000毫升，用5060÷1000即可；高级单位换低级单位乘进率，把4.3拆成4＋0.3，再根据1立方分米＝1000立方厘米，用0.3×1000即可；把1.02拆成1＋0.02，根据1立方分米＝1升，1升＝1000毫升，用0.02×1000即可；根据1升＝1立方分米，则11.2升＝11.2立方分米，根据1立方分米＝1000立方厘米，用11.2×1000即可。【详解】5060毫升＝5060÷1000升＝5.06升4.3立方分米＝4立方分米＋0.3立方分米＝4立方分米＋0.3×1000立方厘米＝4立方分米300立方厘米1.02立方分米＝1立方分米＋0.02立方分米＝1升0.02×1000毫升＝1升20毫升11.2升＝11.2立方分米＝11.2×1000立方厘米＝11200立方厘米【对应练习】1．在括号里填上合适的单位。(1)一台冰箱所占的空间大约是1.2()。(2)一本数学书封面的面积大约是280()。【答案】(1)立方米/m3(2)平方厘米/cm2【分析】根据生活经验以及数据的大小，选择合适的计量单位，即可解答。体积是指物体所占的空间大小，常用单位是立方厘米、立方分米、立方米；一台冰箱所占的空间用立方米比较合适；常用的面积单位有平方米、平方分米、平方厘米，数学书封面的面积用平方厘米比较合适。【详解】（1）一台冰箱所占的空间大约是1.2立方米。（2）一本数学书封面的面积大约是280平方厘米。【点睛】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择。2．一盒牛奶的体积是250()，一块橡皮的体积约是3()。【答案】立方厘米/cm3立方厘米/cm3【分析】根据生活经验以及数据的大小，选择合适的计量单位，即可解答。【详解】根据实际情况可知：一盒牛奶的体积是250立方厘米，一块橡皮的体积约是3立方厘米。【点睛】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择。3．514dm3＝()m3

1时30分＝()时270dm2＝()m2＝()cm2

8t200kg＝()t【答案】0.5141.52.7270008.2【分析】根据1m3＝1000dm3，1小时＝60分钟，1m2＝100dm2＝10000cm2，1t＝1000kg，高级单位换算成低级单位，乘进率，低级单位换算成高级单位，除以进率，据此解答。【详解】514dm3＝0.514m330分＝0.5小时，所以1时30分＝1.5时；270dm2＝2.7m2＝27000cm2200kg＝0.2t，所以8t200kg＝8.2t。【点睛】本题考查单位之间的互化，关键是熟记进率。4．在括号里填上适当的数。0.75吨＝()千克

60平方分米＝()平方厘米

3.2升＝()毫升0.2公顷＝()平方米

1900公顷＝()平方千米

0.38平方千米＝()公顷【答案】7506000320020001938【分析】1吨＝1000千克，1平方分米＝100平方厘米，1升＝1000毫升，1公顷＝10000平方米，1平方千米＝100公顷，低级单位换算为高级单位除以它们之间的进率，高级单位换算为低级单位乘它们之间的进率，据此解答。【详解】0.75×1000＝750（千克），0.75吨＝750千克；60×100＝6000（平方厘米），60平方分米＝6000平方厘米；3.2×1000＝3200（毫升），3.2升＝3200毫升；0.2×10000＝2000（平方米），0.2公顷＝2000平方米；1900÷100＝19（平方千米），1900公顷＝19平方千米；0.38×100＝38（公顷），0.38平方千米＝38公顷。【点睛】此题考查重量单位、面积单位、容积单位的换算，关键能够熟记进率。【考点二】长方体的体积。【典型例题】1.某工地运来9.6立方米的沙子，铺在一个长6米、宽2.5米的沙坑里，可以铺多厚？解析：9.6÷6÷2.5＝0.64（米）答：可以铺0.64米。2.学校要砌一道长20米、宽2.4分米、高2米的墙，每立方米需要525块砖，学校需要买多少块砖？解析：2.4分米＝0.24米20×0.24×2＝4.8×2＝9.6（立方米）525×9.6＝5040（块）答：学校需要买5040块砖。【对应练习】1．为了迎接冬泳比赛，某游泳基地对室内游泳池进行升级改造，在它四周和底面贴瓷砖。游泳池长50米，宽30米，高2米，升级完成后工作人员储水2700立方米，这时水面离池沿还有多少分米？（瓷砖厚度忽略不计）【答案】2分米【分析】根据长方体体积公式：V＝长×宽×高，可得高＝V÷长÷宽，代入数值求出储水的高度，用泳池的高度减去储水的高度，可得离池沿的米数；由高级单位米转化成低级单位分米，乘进率10即可。【详解】由分析可得：2－2700÷50÷30＝2－54÷30＝2－1.8＝0.2（米）0.2米＝0.2×10＝2分米答：这时水面离池沿还有2分米。【点睛】本题考查了长方体体积公式的灵活运用，解题的关键是注意单位的统一。2．挖一个长8米、宽6米、深2米的蓄水池。

（1）这个蓄水池的占地面积是多少平方米？（2）如果给这个蓄水池的四周和底部抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？（3）这个水池最多能蓄水多少吨？（1立方米的水重1吨）【答案】（1）48平方米；（2）104平方米；（3）96吨【分析】（1）根据长方体的底面积＝长×宽，用8×6即可求出蓄水池的占地面积；（2）无盖的长方体表面积只有5个面的面积，根据无盖的长方体面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，用8×6＋8×2×2＋6×2×2即可求出抹水泥部分的面积；（3）根据长方体的体积＝长×宽×高，用8×6×2即可求出水池的容积，再用乘法求出水池最多能蓄水多少吨。【详解】（1）8×6＝48（平方米）答：这个蓄水池的占地面积是48平方米。（2）8×6＋8×2×2＋6×2×2＝48＋32＋24＝104（平方米）答：抹水泥部分的面积是104平方米。（3）8×6×2＝96（立方米）96×1＝96（吨）答：这个水池最多能蓄水96吨。【点睛】本题主要考查了长方体的表面积公式、体积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。【考点三】正方体的体积。【典型例题】一个正方体玻璃容器的棱长是15厘米，体积是多少立方厘米？解析：15×15×15＝225×15＝3375（立方厘米）答：体积是3375立方厘米。【对应练习】1．把如图所示的正方体钢块锻造成底面积是的长方体钢锭，这根长方体钢锭的高是多少分米？

【答案】12分米【分析】锻造前后的体积不变，则长方体钢锭的体积等于正方体钢块的体积，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积＝底面积×高，则用正方体的体积除以长方体的底面积即可求出长方体的高度。【详解】＝36×6÷18＝216÷18＝12（分米）答：根长方体钢锭的高是12分米。【点睛】明确锻造前后体积不变是解题的关键。2．把棱长为30厘米的正方体钢坯，锻造成宽为15厘米，高为8厘米的长方体钢条，这根钢条的长是多少厘米？【答案】225厘米【分析】由正方体变成长方体，它的体积不变，先根据正方体的体积＝边长×边长×边长，求出这块钢坯的体积，再根据长方体的体积公式求出它的长即可。【详解】30×30×30÷（15×8）＝27000÷120＝225（厘米）答：这根钢条的长是225厘米。【点睛】先找出在变形中不变的量是什么，再根据不变的量求解。【考点四】折叠图形中的体积。【典型例题】一块长、宽的长方形铁皮（如下图），从四个角各切掉一个边长的正方形，然后做成盒子。（1）这个盒子用了多少平方厘米的铁皮？（2）它的容积是多少？解析：（1）80×40－10×10×4＝3200－400＝2800（平方厘米）答：这个盒子用了2800平方厘米的铁皮。（2）（立方厘米）答：它的容积是12000立方厘米。【对应练习】1．下面是一块长60厘米、宽50厘米的铁皮，爸爸计划用它做一个深5厘米无盖的盒子装奶糕，它能装多少升的奶糕？

【答案】10升【分析】由图可知，这个无盖盒子是一个长方体，长方体的长＝长方形的长－5×2，长方体的宽＝长方形的宽－5×2，长方体的高为5厘米，利用“长方体的容积＝长×宽×高”求出这个盒子的容积，据此解答。【详解】（60－5×2）×（50－5×2）×5＝（60－10）×（50－10）×5＝50×40×5＝2000×5＝10000（立方厘米）10000立方厘米＝10立方分米＝10升答：它能装10升的奶糕。【点睛】本题主要考查长方体容积公式的应用，熟记公式是解答题目的关键。2．一块长方形铁皮，如图，从四个角各切掉一个边长为x厘米的正方形，焊接成一个无盖盒子。

（1）当x＝5时，焊接无盖盒子用了多少铁皮？（2）当x＝5时，这个盒子的占地面积是多少？（3）当x＝5时，这个盒子的容积是多少？（4）x可取的数值很多，在这些数值中，x＝5时的盒子容积是最小的吗？请回答并写出过程。【答案】（1）775平方厘米；（2）375平方厘米；（3）1875立方厘米；（4）不是；见详解【分析】（1）当x＝5时，焊接无盖盒子所用的铁皮面积等于一个长为35厘米，宽为25厘米的长方形面积减去4个边长为5厘米的正方形的面积，利用长方形和正方形的面积公式即可得解。（2）当x＝5时，这个盒子的占地面积是一个长为（35－2×5）厘米，宽为（25－2×5）厘米的长方形，利用长方形的面积公式即可得解。（3）根据长方体的容积公式：V＝Sh，代入数据即可求出这个盒子的容积。（4）可假设x＝1和x＝2时，先分别求出长方体的长、宽、高，再利用长方体的容积公式，分别求出这两种情况下长方体的容积，再与x＝5时所求的长方体盒子的容积比较大小，即可得解。【详解】（1）当x＝5时，焊接无盖盒子所用的面积为：S＝35×25－4×52＝875－4×25＝875－100＝775（平方厘米）答：焊接无盖盒子用了775平方厘米的铁皮。（2）当x＝5时，这个盒子占地为长方形，该长方形的长为：35－2x＝35－2×5＝35－10＝25（厘米）该长方形的长为：25－2x＝25－2×5＝25－10＝15（厘米）25×15＝375（平方厘米）答：这个盒子的占地面积是375平方厘米。（3）当x＝5时，这个盒子的容积为占地面积乘盒高。375×5＝1875（立方厘米）答：这个盒子的容积是1875立方厘米。（4）x可取的数值很多，在这些数值中，x＝5时的盒子容积不是最小的。理由如下：当x＝1时，V＝（35－2）×（25－2）×1＝33×23×1＝759（立方厘米）当x＝2时，V＝（35－4）×（25－4）×2＝31×21×2＝1302（立方厘米）759立方厘米＜1875立方厘米，1302立方厘米＜1875立方厘米答：在这些数值中，x＝5时的盒子容积不是最小的。【点睛】此题主要考查长方体的特征、长方体的表面积以及长方体的容积的计算方法。【考点五】等积变形问题。【典型例题】1.一个正方体实心铁块的棱长总和是48分米，现将它熔铸成一个底面积是32平方分米的实心长方体铁块，熔铸成的实心长方体铁块的高是多少分米？解析：48÷12＝4（分米）4×4×4÷32＝16×4÷32＝64÷32＝2（分米）答：熔铸成的实心长方体铁块的高是2分米。2.一个正方体玻璃缸，棱长6分米，用它装满水，再把水全部倒入一个底面积为30平方分米，高为10分米的长方体水槽中，水深多少？解析：6×6×6÷30＝216÷30＝7.2（分米）答：水深7.2分米。3.如下图所示，密闭的容器中装有5厘米深的水。如果以这个容器的右侧面为底面把容器竖起来，这时水深多少厘米？解析：30×10×5÷（10×15）＝300×5÷150＝1500÷150＝10（厘米）答：这时水深10厘米。【对应练习】1．手工课上，一名学生将一个棱长6厘米的正方体橡皮泥捏成长9厘米、宽4厘米的长方体，捏成的长方体的高是多少厘米？【答案】6厘米【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，用6×6×6即可求出橡皮泥的体积，再根据长方体的体积＝长×宽×高，用橡皮泥的体积÷9÷4即可求出捏成的长方体的高。【详解】6×6×6＝216（立方厘米）216÷9÷4＝6（厘米）答：捏成的长方体的高是6厘米。【点睛】本题主要考查了正方体体积公式、长方体体积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。2．把一块棱长为30厘米的正方体铁块，熔铸成一个宽4.5分米，高1.2分米的长方体，这个长方体铁块的长是多少厘米？（损耗不计）【答案】50厘米【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，代入数据求出正方体铁块的体积，熔铸后，体积不变，再根据长方体的体积公式：V＝abh，代入数据即可求出这个长方体铁块的长。【详解】4.5分米＝45厘米1.2分米＝12厘米30×30×30÷（45×12）＝27000÷540＝50（厘米）答：这个长方体铁块的长是50厘米。【点睛】此题主要考查等积变形，灵活运用正方体和长方体的体积公式求解。3．一个长方体的容器（如图），里面的水深5厘米，把这个容器盖拧紧后竖放，使长10厘米、宽8厘米的面朝下，这时里面的水深是多少厘米？

【答案】12.5厘米【分析】水的体积不管怎么放都是不变的，水的体积＝容器的底面积×水面高度，则用20×10×5先求出水的体积，再用水的体积除以容器新的底面积，即可求出此时水的深度是多少厘米。【详解】20×10×5÷（8×10）＝1000÷80＝12.5（厘米）答：这时容器里面的水深是12.5厘米。【点睛】明确水的体积不管如何摆放容器都是不变的是解题的关键。【考点六】排水法求不规则物体的体积。【典型例题】1.在一个底