浙江省温州新力量联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（解析版）

PAGEPAGE1浙江省温州新力量联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.直线：在轴上的截距是（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】将变形为，所以在轴上的截距是，故选：A.2.圆与圆的位置关系是（）A相离 B.相交 C.内切 D.外切【答案】B【解析】因为，两圆的半径分别为，所以，所以相交，故选：B.3.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】对于A，，所以共面，故A错误；对于B，，所以共面，故B错误；对于C，假设共面，则存在，使得，则共面，这与可构成空间的一个基底矛盾，所以不共面，故C正确；对于D，，所以共面，故D错误.故选：C.4.正方体分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设正方体棱长为2，以的原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：B5.直线：在椭圆上截得的弦长是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设与椭圆交于，联立可得，且，，所以，故选：D.6.点是圆上的动点，直线是动直线，则点到直线的距离的最大值是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】因为，所以，令，所以，所以过定点，又因为，所以在圆外，因为点到直线的距离的最大值即为到的距离，又因为点是圆上的动点，所以，所以点到直线的距离的最大值为，故选：C.7.已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在中，设，则，又由椭圆定义可知则离心率，故选D.8.已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由圆，可得，所以圆的圆心为，半径为，因为，且是的中点，所以，所以点的轨迹方程为,可其圆心为，半径为，若直线上存在两点，使得恒成立，则以为直径的圆要包含圆，又由圆心到直线的距离为，所以的长度的最小值为.故选：C.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.已知直线的方向向量是，两个平面的法向量分别是，则下列说法中正确的是（）A.若，则 B.若，则C若，则 D.若，则【答案】AD【解析】若，则，故A正确；若，则或在内，故B错；若，则，故C错；若，则，故D正确.故选：AD.10.已知点椭圆上一点，椭圆的焦点是，则下列说法中正确的是（）A.椭圆的长轴长是9 B.椭圆焦距是C.存在使得 D.三角形的面积的最大值是【答案】BCD【解析】，所以，对于A：因为，所以长轴为，A错误；对于B：因为，所以焦距为，B正确；对于C：当取到上顶点时此时取到最大值，此时，，所以，所以此时为钝角，所以存在使得，C正确；对于D：当取到上顶点时此时三角形的面积取到最大值，此时，D正确，故选：BCD11.已知两点，点是直线：上的动点，则下列结论中正确的是（）A.存在使最小 B.存在使最小C.存在使最小 D.存在使最小【答案】ABD【解析】对于A：设点关于直线的对称点为，所以，所以，所以，所以，当且仅当为与交点时满足题意，又因为，即，所以，所以，所以，故A正确；对于B：设，所以，所以，当且仅当时有最小值，此时，所以，故B正确；对于C：如下图，根据与的位置关系可判断出有最大值，无最小值，故C错误；对于D：因为，取等号时，即为垂直平分线与的交点，因为垂直平分线方程为，即，所以，所以，所以，故D正确；故选：ABD.12.已知曲线，则（）A.曲线上两点间距离的最大值为B.若点在曲线内部（不含边界），则C.若曲线与直线有公共点，则D.若曲线与圆有公共点，则【答案】BC【解析】当时，，圆心；当时，，圆心；当时，，圆心；当时，，圆心；当时，；当时，作出在平面直角坐标系下的图象如下图：对于A：上任意两点距离的最大值为，故A错误；对于B：因为在直线上，所以，所以或，若点在曲线内部（不含边界），则有，故B正确；对于C：当直线与相切时，如下图所示：若与在第二象限相切时，则到的距离等于圆的半径，所以，所以或（舍），若与在第四象限相切时，则到的距离等于圆的半径，所以，所以或（舍），结合图象可知曲线与直线有公共点时有，故C正确；对于D：如下图所示：因为与坐标轴的交点坐标为，所以当刚好经过与坐标轴的交点时，此时，当刚好与在四个象限都相切时，，所以曲线与圆有公共点时，故D错误；故选：BC.选择题部分三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.直线：的倾斜角是______.【答案】【解析】因为直线：，斜率，故倾斜角为.故答案为：.14.如图，圆和圆的圆心分别为，，半径都为，写出一条与圆和圆都相切的直线的方程：__________.【答案】（或或，答案不唯一，写出一个即可）.【解析】由已知，圆和圆的半径，圆心距为，∴圆和圆相外切.如图易知与圆和圆都相切的直线斜率存在，设其方程为，即，则到直线的距离，①到直线的距离，②由①、②得，即或即，∴解得或或，∴与圆和圆都相切的直线的方程为或或.故答案为：（或或，答案不唯一，写出一个即可）.15.正四面体的所有棱长都是2，分别是，的中点，则______.【答案】【解析】正四面体的所有棱长都是2，分别是，的中点，则，，因此.故答案为：16.如图，三角形中，，，为中点，为上的动点，将沿翻折到位置，使点在平面上的射影落在线段上，则当变化时，二面角的余弦值的最小值是______.【答案】.【解析】过点作交于点，连接，如下图所示：因为在平面内的射影为点，所以平面，所以，又因为，，所以平面，所以，所以二面角的平面角为，且，又因为，所以，易知三点共线，且，则，在平面中建立平面直角坐标系如下图所示：设，因为在平面内的射影为点，所以可知，又，所以，，所以，，所以，所以，设，所以，当且仅当，即，即时取等号，所以，故答案为：四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知直线和直线的交点为.（1）求过点且与直线平行的直线的方程；（2）求线段（为原点）的垂直平分线的方程.解：（1）因为，所以，所以，设，代入，所以，所以，所以.（2）因为且中点坐标为，所以的垂直平分线方程为，即为.18.已知圆的圆心在直线上，且经过，两点.（1）求圆的方程；（2）直线：与圆交于两点，且，求实数的值.解：（1）圆过点，，则点在线段的中垂线上，由，得点，圆的半径，所以圆的方程为.（2）直线被圆所截弦长，则点到直线的距离，因此，解得所以实数的值为.19.如图，已知四棱锥中，平面，，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）取中点，连接，因为分别为的中点，所以，，因为，，所以，，所以四边形为平行四边形，，因为平面，平面，所以∥平面.（2）过点作于点，连接，因为，所以直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，所以为直线与平面所成角，，，，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.20.为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为6海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区（如图）.（1）以为坐标原点，1海里为单位长度，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求曲线的方程；（2）海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求取值范围.解：（1）根据已知条件设且，，由，有，，，，整理有，是以为圆心，为半径的圆.，所以曲线的方程为：.（2），过的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直，所以直线截距式方程为，化为一般式方程为，根据题意，临界情况下直线与圆相切，圆心到直线距离为圆的半径4，且，解得，所以综上可知的取值范围为.21.如图，三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，，，点分别是线段，的中点，二面角为直二面角.（1）求证：平面；（2）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.解：（1）连接，因为分别为中点，三角形为等边三角形，所以，，因为为三棱柱，，所以四边形为菱形，，则，因为二面角为直二面角，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，平面，所以平面.（2）连接，因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，因为为中点，所以，因为平面，所以，所以两两垂直，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，，设，，则，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，因为平面，所以可以作为平面的一个法向量，设锐二面角为，则，因为，所以，，，所以锐二面角的余弦值得范围为.22.如图，已知椭圆的