2024届黑龙江省哈尔滨师范大学附中高三上数学期末学业质量监测试题含解析

2024届黑龙江省哈尔滨师范大学附中高三上数学期末学业质量监测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．当时，函数的图象大致是（）A． B．C． D．2．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（）A．2对 B．3对C．4对 D．5对3．如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（）A．2019年12月份，全国居民消费价格环比持平B．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D．2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格4．正的边长为2，将它沿边上的高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球表面积为（）A． B． C． D．5．若复数满足，则的虚部为（）A．5 B． C． D．-56．曲线上任意一点处的切线斜率的最小值为（）A．3 B．2 C． D．17．“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．命题“”的否定为（）A． B．C． D．9．记单调递增的等比数列的前项和为，若，，则（）A． B． C． D．10．已知的面积是,,,则（）A．5 B．或1 C．5或1 D．11．若实数满足不等式组则的最小值等于（）A． B． C． D．12．已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．14．若，则____.15．设数列的前n项和为，且，若，则______________.16．已知x，y满足约束条件x-y-1≥0x+y-3≤02y+1≥0，则三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知不等式对于任意的恒成立.（1）求实数m的取值范围；（2）若m的最大值为M，且正实数a，b，c满足.求证.18．（12分）某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.方案②：按个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组个人的血总共需要化验次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应相互独立.（1）设方案②中，某组个人的每个人的血化验次数为，求的分布列；（2）设，试比较方案②中，分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）19．（12分）已知函数.（1）当时，求函数的值域.（2）设函数，若，且的最小值为，求实数的取值范围.20．（12分）已知椭圆C:（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（－，0）、F2（，0）.点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（1）求椭圆C的方程；（2）已知点N的坐标为（3，2），点P的坐标为（m，n）（m≠3）.过点M任作直线l与椭圆C相交于A、B两点，设直线AN、NP、BN的斜率分别为k1、k2、k3，若k1＋k3＝2k2，试求m，n满足的关系式.21．（12分）已知椭圆（）的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，，试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.22．（10分）设函数．（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为，且，求的最小值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由，解得，即或，函数有两个零点，，不正确，设，则，由，解得或，由，解得：，即是函数的一个极大值点，不成立，排除，故选B.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.2、C【解析】

画出该几何体的直观图，易证平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，从而可选出答案．【详解】该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面平面，作PO⊥AD于O，则有PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，又AD⊥CD，所以，CD⊥平面PAD，所以平面平面，同理可证：平面平面，由三视图可知：PO＝AO＝OD，所以，AP⊥PD，又AP⊥CD，所以，AP⊥平面PCD，所以，平面平面，所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对．【点睛】本题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题．3、D【解析】

先对图表数据的分析处理，再结简单的合情推理一一检验即可【详解】由折线图易知A、C正确；2019年3月份及6月份的全国居民消费价格环比是负的，所以B错误；设2018年12月份，2018年11月份，2017年12月份的全国居民消费价格分别为，由题意可知，，，则有，所以D正确.故选：D【点睛】此题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属于中档题.4、D【解析】

如图所示，设的中点为，的外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，连接，利用正弦定理可得，利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形为平行四边形，最后利用勾股定理可求外接球的半径，从而可得外接球的表面积.【详解】如图所示，设的中点为，外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，连接，则平面，.因为，故，因为，故.由正弦定理可得，故，又因为，故.因为，故平面，所以，因为平面，平面，故，故，所以四边形为平行四边形，所以，所以，故外接球的半径为，外接球的表面积为.故选：D.【点睛】本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问题注意翻折前后的变量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一定的难度.5、C【解析】

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由（1+i）z＝|3+4i|，得z，∴z的虚部为．故选C．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．6、A【解析】

根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率，即可得出答案.【详解】解：由于，根据导数的几何意义得：，即切线斜率，当且仅当等号成立，所以上任意一点处的切线斜率的最小值为3.故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力.7、B【解析】

或，从而明确充分性与必要性.【详解】，由可得：或，即能推出，但推不出∴“”是“”的必要不充分条件故选【点睛】本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题.8、C【解析】

套用命题的否定形式即可.【详解】命题“”的否定为“”，所以命题“”的否定为“”.故选：C【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.9、C【解析】

先利用等比数列的性质得到的值，再根据的方程组可得的值，从而得到数列的公比，进而得到数列的通项和前项和，根据后两个公式可得正确的选项.【详解】因为为等比数列，所以，故即，由可得或，因为为递增数列，故符合.此时，所以或（舍，因为为递增数列）.故，.故选C.【点睛】一般地，如果为等比数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2）公比时，则有，其中为常数且；（3）为等比数列（）且公比为.10、B【解析】∵，,∴①若为钝角，则，由余弦定理得，解得；②若为锐角，则，同理得.故选B.11、A【解析】

首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求的最小值．【详解】解：作出实数，满足不等式组表示的平面区域（如图示：阴影部分）由得，由得，平移，易知过点时直线在上截距最小，所以．故选：A．【点睛】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题．12、D【解析】试题分析：抛物线焦点在轴上，开口向上，所以焦点坐标为，准线方程为，因为点A的纵坐标为4，所以点A到抛物线准线的距离为，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A与抛物线焦点的距离为5.考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14、【解析】

由，得出，根据两角和与差的正弦公式和余弦公式化简，再利用齐次式即可求出结果.【详解】因为，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数化简求值，利用二倍角正切公式、两角和与差的正弦公式和余弦公式，以及运用齐次式求值，属于对公式的考查以及对计算能力的考查.15、9【解析】

用换中的n，得，作差可得，从而数列是等比数列，再由即可得到答案.【详解】由，得，两式相减，得，即；又，解得，所以数列为首项为-3、公比为3的等比数列，所以.故答案为：9.【点睛】本题考查已知与的关系求数列通项的问题，要注意n的范围，考查学生运算求解能力，是一道中档题.16、3【解析】

先根据约束条件画出可行域，再由y=2x-z表示直线在y轴上的截距最大即可得解.【详解】x，y满足约束条件x-y-1≥0x+y-3≤02y+1≥0，画出可行域如图所示.目标函数z=2x-y，即平移直线y=2x-z，截距最大时即为所求.2y+1=0x-y-1=0点A（12，z在点A处有最小值：z＝2×1故答案为：32【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析【解析】

（1）法一：，，得，则，由此可得答案；法二：由题意，令，易知是偶函数，且时为增函数，由此可得出答案；（2）由（1）知，，即，结合“1”的代换，利用基本不等式即可证明结论．【详解】解：（1）法一：（当且仅当时取等号），又（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），由題意得，则，解得，故的取值范围是；法二：因为对于任意恒有成立，即，令，易知是偶函数，且时为增函数，所以，即，则，解得，故的取值范围是；（2）由（1）知，，即，∴，故不等式成立．【点睛】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，考查基本不等式的应用，属于中档题．18、（1）分布列见解析；（2）406.【解析】

（1）计算个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为，得到分布列.（2）计算，代入数据计算比较大小得到答案.【详解】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为，则.所以个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为.依题意可知，，所以的分布列为：（2）方案②中.结合（1）知每个人的平均化验次数为：时，，此时1000人需要化验的总次数为690次，时，，此时1000人需要化验的总次数为604次，时，，此时1000人需要化验的次数总为594次，即时化验次数最多，时次数居中，时化验次数最少，而采用方案①则需化验1000次，故在这三种分组情况下，相比方案①，当时化验次数最多可以平均减少次.【点睛】本题考查了分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.19、（1）；（2）.【解析】

（1）令，求出的范围，再由指数函数的单调性，即可求出结论；（2）对分类讨论，分别求出以及的最小值或范围，与的最小值建立方程关系，求出的值，进而求出的取值关系.【详解】（1）当时，，令，∵∴，而是增函数，∴，∴函数的值域是.（2）当时，则在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，在上单调递增，最小值为，而的最小值为，所以这种情况不可能.当时，则在上单调递减且没有最小值，在上单调递增最小值为，所以的最小值为，解得（满足题意），所以，解得.所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查复合函数的值域与分段函数的最值，熟练掌握二次函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.20、（1）；（2）m－n－1＝0【解析】试题分析：（1）利用M与短轴端点构成等腰直角三角形，可求得b的值，进而得到椭圆方程；（2）设出过M的直线l的方程，将l与椭圆C联立，得到两交点坐标关系，然后将k1＋k3表示为直线l斜率的关系式，化简后得k1＋k3＝2，于是可得m，n的关系式.试题解析：（1）由题意，c＝，b＝1，所以a＝故椭圆C的方程为（2）①当直线l的斜率不存在时，方程为x＝1，代入椭圆得，y＝±不妨设A（1，），B（1，－）因为k1＋k3＝＝2又k1＋k3＝2k2，所以k2＝1所以m，n的关系式为＝1，即m－n－1＝0②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k（x－1）将y＝k（x－1）代入，整理得：（3k2＋1）x2－6k2x＋3k2－3＝0设A（x1，y1），B（x2，y2），则又y1＝k