一次函数、一次方程、一次不等式

例1．（06衡阳）市政公司为绿化一段沿江风光带，计划购买甲、乙两种树苗共500株，甲种树苗每株50元，乙种树苗每株80元．有关统计表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为90％和95％．(1)若购买树苗共用了28000元，求甲、乙两种树苗各多少株?(2)若购买树苗的钱不超过34000元，应如何选购树苗?(3)若希望这批树苗的成活率不低于92％，且购买树苗的费用最低，应如何选购树苗?评析：本题以市政公司为绿化一段沿江风光带为背景的方案设计问题．第（1）小题利用“购买树苗共用了28000元”为等量关系列一元一次方程，求得（1）的解；第（2）小题利用“不超过”转化为不等号，列一次不等式求解；一次函数在自变量取值是全体实数时，没有最大值、最小值，但当自变量取值范围受到限制时，运用一次函数的增减性在端点处取得最大或最小值，第（3）小题要确定购买树苗的费用最低的方案，建立费用y元关于某种树苗株数x的函数关系式，确定x的取值范围，利用一次函数的增减性得到费用最低时，选购树苗的方案．解：(1)设购甲种树苗x株，则乙种树苗为(500－x)株．依题意得S0x+80(500—x)=28000解之得：x=400∴500-x=500-400=100所以，购买甲种树苗400株，乙种树苗100株(2)由题意得50x+80(500-x)≤34000解之得x≥200所以，购买甲种树苗不小于200株(3)由题意可得90%x+95％(500—x)≥92％·500∴x≤300设购买两种树苗的费用之和为y元，则y=50x+80(500-x)=40000-30x函数y=40000－3x的值随x的增大而减小x=300时y最小值=40000-30╳300=31000所以，费用最低的购买方案为：甲种树300株，乙种树200株．例2．（06长沙）我市某乡两村盛产柑桔，村有柑桔200吨，村有柑桔300吨．现将这些柑桔运到两个冷藏仓库，已知仓库可储存240吨，仓库可储存260吨；从村运往两处的费用分别为每吨20元和25元，从村运往两处的费用分别为每吨15元和18元．设从村运往仓库的柑桔重量为吨，两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为元和元．（1）请填写下表，并求出与之间的函数关系式；解：收收地运地总计吨200吨300吨总计240吨260吨500吨（2）试讨论两村中，哪个村的运费较少；（3）考虑到村的经济承受能力，村的柑桔运费不得超过4830元．在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值．分析：本题是以柑桔从产地到仓库为背景的调运问题，涉及的数据多，调运情况复杂，题目中的第（1）小题设置了一个表格，为下面解题铺设好了台阶，降低了试题的难度，只要读懂题意，不难完成（1）的解答．将第（1）小题的之间建立方程或不等式即可完成第（2）小题的解答．第（3）小题将总运费表示为调运数量的一次函数，利用自变量取值的限制，得出调运的方案和最低的调运费用．收地收地运地总计吨吨200吨吨吨300吨总计240吨260吨500吨，．（2）当时，；当时，；当时，．当时，即两村运费相等；当时，即村运费较少；当时，即村费用较少．（3）由得设两村运费之和为，．即：．又时，随增大而减小，当时，有最小值，（元）．答：当村调往仓库的柑桔重量为50吨，调往仓库为150吨，村调往仓库为190吨，调往仓库110吨的时候，两村的运费之和最小，最小费用为9580元．例3.（06锦州）小刚家装修，准备安装照明灯.他和爸爸到市场进行调查，了解到某种优质品牌的一盏40瓦白炽灯的售价为1.5元，一盏8瓦节能灯的售价为22.38元，这两种功率的灯发光效果相当.假定电价为0.45元/度，设照明时间为x(小时)，使用一盏白炽灯和一盏节能灯的费用分别为y1(元)和y2(元)[耗电量(度)=功率(千瓦)×用电时间(小时)，费用=电费+灯的售价].(1)分别求出y1、y2与照明时间x之间的函数表达式；(2)你认为选择哪种照明灯合算？(3)若一盏白炽灯的使用寿命为2000小时，一盏节能灯的使用寿命为6000小时，如果不考虑其他因素，以6000小时计算，使用哪种照明灯省钱？省多少钱？解题：本题以家庭装修为背景，从数学的角度来分析、确定白炽灯和节能灯费用情况、选择哪种照明灯更合算、节省了多少钱等等问题，体现了数学与生活的密切关系和数学知识的应用价值．解：(1)根据题意，得，即；，即.(2)由y1=y2，得0.018x+1.5=0.0036x+22.38，解得x=1450；由y1＞y2，得0.018x+1.5＞0.0036x+22.38，解得x＞1450；由y1＜y2，得0.018x+1.5＜0.0036x+22.38，解得x＜1450.∴当照明时间为1450小时时，选择两种灯的费用相同；当照明时间超过1450小时时，选择节能灯合算；当照明时间少于1450小时时，选择白炽灯合算.(3)由(2)知当x＞1450小时时，使用节能灯省钱.当x=2000时，y1=0.018