概率知识点及概率统计常见题型及方法总结

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结十一、概率１．随机事件的概率，其中当时称为必然事件；当时称为不可能事件P(A)=0；2.等可能事件的概率（古典概率）：P(A)=。理解这里m、ｎ的意义。如（1）将数字1、2、3、4填入编号为1、2、3、4的四个方格中，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的概率是______（答：）；（2）设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率：①从中任取2件都是次品；②从中任取5件恰有2件次品；③从中有放回地任取3件至少有2件次品；④从中依次取5件恰有2件次品。（答：①；②；③；④）3、互斥事件：（A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生）。计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)。如（1）有A、B两个口袋，A袋中有4个白球和2个黑球，B袋中有3个白球和4个黑球，从A、B袋中各取两个球交换后，求A袋中仍装有4个白球的概率。（答：）；（2）甲、乙两个人轮流射击，先命中者为胜，最多各打5发，已知他们的命中率分别为0.3和0.4，甲先射，则甲获胜的概率是（0.425=0.013，结果保留两位小数）______（答：0.51）；（3）有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n个人正在使用电话或等待使用的概率为P（n），且P（n）与时刻t无关，统计得到，那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率P（0）的值是 （答：）4、对立事件：（A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生）。计算公式是：P（A）+P(B)＝１；P()=1－P(A)；5、独立事件：（事件A、B的发生相互独立，互不影响）P(A•B)＝P(A)•P(B)。提醒：（1）如果事件A、B独立，那么事件A与、与及事件与也都是独立事件；（2）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1－P（AB）＝1－P(A)P(B)；（3）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个发生的概率是1－P（）＝1－P()P()。如（1）设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是______（答：）；（2）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得0分，假设这位同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学得300分的概率为_____________;这名同学至少得300分的概率为_____________（答：0.228；0.564）；（3）袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是________（答：）；（4）一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关，那么，连过前二关的概率是________（答：）；（5）有甲、乙两口袋，甲袋中有六张卡片，其中一张写有0，两张写有1，三张写有2；乙袋中有七张卡片，四张写有0，一张写有1，两张写有2，从甲袋中取一张卡片，乙袋中取两张卡片。设取出的三张卡片的数字乘积的可能值为且，其相应的概率记为，则的值为_____________（答：）；（6）平面上有两个质点A、B分别位于（0，0）、（2，2）点，在某一时刻同时开始每隔1秒钟向上下左右四个方向中的任何一个方向移动1个单位，已知质点A向左、右移动的概率都是，向上、下移动的概率分别是和p，质点B向四个方向中的任何一个方向移动的概率都是q。①求p和q的值；②试判断最少需要几秒钟，A、B能同时到达D（1，2）点？并求出在最短时间内同时到达的概率.（答：①；②3秒；）6、独立事件重复试验：事件A在n次独立重复试验中恰好发生了次的概率(是二项展开式的第k+1项)，其中为在一次独立重复试验中事件A发生的概率。如（1）小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是_______（答：）；（2）冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等，则甲种饮料饮用完毕时乙种饮料还剩下3瓶的概率为__________（答：）提醒：（1）探求一个事件发生的概率，关键是分清事件的性质。在求解过程中常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理，把所求的事件：转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率，但要注意公式的使用条件。（2）事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件；（3）概率问题的解题规范：①先设事件A=“…”，B=“…”；②列式计算；③作答。常见大题：全概率公式和贝叶斯公式问题B看做“结果”，有多个“原因或者条件”可以导致B这个“结果”发生，考虑结果B发生的概率，或者求在B发生的条件下，源于某个原因的概率问题全概率公式：贝叶斯公式：一（12分）今有四个口袋，它们是甲、乙、丙、丁，每个口袋中都装有只红球和只白球。先从甲口袋中任取一只球放入乙口袋，再从乙口袋中任取一只球放入丙口袋，然后再从丙口袋中任取一只球放入丁口袋，最后从丁口袋中任取一球，问取到红球的概率为多少？解表示从第个口袋放入第个口袋红球，表示从第个口袋中任取一个球为红球，2分则，2分2分依次类推2分二（10分）袋中装有只正品硬币，只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投掷次，已知每次都出现国徽，问这只硬币是次品的概率为多少？、解记={取到次品}，={取到正品}，={将硬币投掷次每次都出现国徽}则，，―—５分三、（10分）一批产品共100件，其中有4件次品，其余皆为正品。现在每次从中任取一件产品进行检验，检验后放回，连续检验3次，如果发现有次品，则认为这批产品不合格。在检验时，一件正品被误判为次品的概率为0.05，而一件次品被误判为正品的概率为0.01。（1）求任取一件产品被检验为正品的概率；（2）求这批产品被检验为合格品的概率。解设表示“任取一件产品被检验为正品”，表示“任取一件产品是正品”，则，，，（1）由全概率公式得（2）这批产品被检验为合格品的概率为四、在电报通讯中不断发出信号‘0’和‘1’，统计资料表明，发出‘0’和‘1’的概率分别为0.6和0.4，由于存在干扰，发出‘0’时，分别以概率0.7和0.1接收到‘0’和‘1’，以0.2的概率收为模糊信号‘’；发出‘1’时，分别以概率0.85和0.05收到‘1’和‘0’，以概率0.1收到模糊信号‘’。（1）求收到模糊信号‘’的概率；（2）当收到模糊信号‘’时，以译成哪个信号为好？为什么？解设=“发出信号”，=“收到信号”。由题意知，，，。（1）由全概率公式得4分。2分（2）由贝叶斯公式得，3分3分随机变量函数的分布及其边缘密度及其独立性的判断记住如下知识点：常见分布律和概率密度：一般正态分布的计算转化为标准正态分布去做：连续随机变量X:二维随机变量的分布函数：联合密度：掌握如下解决随机变量函数分布的解题方法：对于二维随机变量函数的概率密度，注意：除了求随机变量Z=X+Y的密度函数用公式：注意：先写出联合密度:，根据联合密度写出

或者，在平面x0z或者y0z上画出被积函数不为零的区域，然后穿线通过区域确定x的上下限。他的函数Z=g(X,Y)的概率密度，只能使用分布函数法其步骤如下：第一步求联合密度:，根据联合密度写出或者第二步求z的分布函数：难点是画出二重积分的积分区域，然后把二重积分化为二次积分定上下限，画图：先画出被积函数也就是联合密度非零的区域，再确定区域与密度非零区域的重合区域就是二重积分的积分区域，穿线定积分限：然后左右穿或者上下穿个积分区域定内限，求出分布函数第三步求密度函数：分析：一、设总体服从上的均匀分布，是来自总体的一个样本，最大顺序统计量，1．求随机变量的概率密度；解：，其分布函数为而的分布函数为，二、（10分）设二维随机变量的概率密度为（1）求常数的值；（2）求与的协方差。解（1）由，得（2）三（16分）设二维随机变量的概率密度为求边缘密度函数，；求边缘分布函数，；判断与是否相互独立；求。(1)，当≤0时，=0,于是=0当＞0时，=，所以的边缘概率密度为=的边缘概率密度当≤0时，=0当＞0时=4分（2）4分（3）独立4分（3）4分四（１０分）设随机变量的概率密度为求随机变量的分布函数。当时，当时，所以的分布函数为中心极限定理的问题：用正态分布近似计算共两类：一类是二项分布的近似计算问题，即,这个公式给出了n较大时二项分布的概率计算方法。另一类是除二项分布之外的其他分布的独立变量连加和的计算问题，设独立同分布，近似有连加和服从正态分布：一、(14分)设粮仓内老鼠的数目是一个服从泊松分布的随机变量，且仓内无鼠的概率为。（1）写出随机变量的分布律；（2）试用中心极限定理计算，在200个同类粮仓内老鼠总数超过350只的概率。解（1）；5分（2）表示任意老鼠个数，由中心极限定理3分3分3分二、（１０分）某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的数。（1）写出的概率分布；（2）求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值。[解]（1），，（2），根据棣莫佛—拉普拉斯中心极限定理三（10分）某银行的柜台替每一位顾客的服务时间（单位：分钟）服从参数的指数分布，且各位顾客的服务时间是相互独立的，试用中心极限定理计算，对100位顾客的总服务时间不超过240分钟的概率。解设分别表示每一位顾客的服务时间，则它们相互独立相同分布，且-------------------------------5分点估计的问题：矩估计和似然估计似然函数的构造：例题分析：一、设总体的概率密度为是未知参数,是来自的样本，1．求的矩估计量；矩估计法:，令,=>求的最大似然估计量；判断，是否为无偏估计解：最大似然估计法：设为样本的观察值，则似然函数为，按似然估计的思想，当似然函数关于是增函数，故。的最大似然估计量为。二（10分）设为样本，总体的概率密度为求参数的最大似然估计量；问它是否为的无偏估计量解设是相应的样本值，则似然函数为=令为无偏估计量三、设是总体的样本,的概率密度为其中.求和的最大似然估计量。设是的样本值,则似然函数,当（）时,,令显然,第二个等式是矛盾等式,所以由上述似然方程求不出和.由于,这表明是的严格递增函数,注意到（）,因此当时最大.于是和的最大似然估计值,,于是和的最大似然估计量为,.四、（10分）设总体X的概率密度为其中是未知参数。设为总体的样本。（1）求参数的最大似然估计量；（2）判断是否为的无偏估计量。解（1）设是的观测值,则似然函数为，。令，得，解得的最大似然估计量为（2）由于，是的无偏估计量。五（10分）设电池的寿命服从指数分布，其概率密度为其中为未知参数，今随机抽取5只，测得寿命如下：1150，1190，1310，1380，1420求电池的平均寿命的最大似然估计值。解似然函数，3分3分令得2分2分六、设总体X的概率密度为其中是未知参数.设为总体的样本.求参数的矩估计量和最大似然估计量.解矩估计且，令，则从而的矩估计量最大似然估计设是的样本观测值,则似然函数为.取对数得，令，得，解得,所以,的最大似然估计量为.七、．设总体的分布律为，，其中为未知参数。现抽得一个样本：，，，求参数的矩估计值和极大似然估计值。解，由，即，得参数的矩估计值为统计量的分布判断问题：主要利用性质：独立正态分布的线性组合还是正态分布三大分布的定义：例题分析：一、设是正态总体的样本，1．试问服从什么分布（指明自由度）？且独立，2．假定，求的分布。,,,又和相互独立，故＝二．设是来自正态总体的样本，分别记为的样本均值和样本方差，求的分布。解，，且与相互独立，所以，由于，且与相互独立，因此由分布的定义得三、，.(1)证明都是的无偏估计量；（2）判断中哪一个估计量更有效.利用卡方分布：四设是来自正态总体的样本，记，，，求统计量的分布？设为X的样本，求统计量的分布.六、．设总体，是X的样本，统计量，（）服从分布，求参数的值和的分布的自由度。解由，得且相互独立，即，且相互独立。于是且相互独立。所以当时，该分布的自由度为2。假设检验和区间估计的题目类型：记住正态总体的抽样分布定理，弄懂上分位数的含义，在密度曲线图上用分位数给出各个分布的大概率区域和小概率区域能够从图上用分位数标出各种分布的双侧小概率区域和单侧小概率区域，，。1（10分）某工厂生产铜线，根据长期积累的数据知，铜线的折断力服从正态分布，方差为。今从某天生产的铜线中随机抽取根，测得折断力如下：，问该天生产的铜线折断力与以往比较，其波动性有无显著变化？检验假设，统计量，则当为真时，，拒绝域为或。现在，，由于，即该天生产的铜线折断力与以往比较，其波动性无显著变化。2（8分）在某砖厂生产的一批砖中,随机地抽取6块,测量其抗断强度(单位MPa)分别为3.3663.1063.2643.2873.1223.205设砖的抗断强度服从正态分布,问能否认为这批砖的平均抗断强度是3.250MPa？（显著性水平）、解3分检验统计量，拒绝域3分算得2分接受3（10分）某化工厂一天中生产的化学制品产量（单位：吨）服从正态分布，今测得5天的产量分别为785，805，790，790，802。问是否可以认为日产量的均值显著小于800？（取）解假设检验统计量-----------------------5分拒绝域，接受--4.是来自正态总体的样本，其中参数和均未知，对于参