线性代数第三章

线性代数练习册第三章答案A卷一、填空题1、如果齐次线性方程组QUOTE有非零解，则解：由克莱姆法则可得解得QUOTE2、设线性方程组QUOTE有解，则a=-1解：QUOTE方程组有解3、线性方程组无解，则0解：A=方程组无解 4、若向量组线性相关,则k=_1_______解：QUOTE线性相关=QUOTE1QUOTE2QUOTE(2-2k)=0QUOTEk=1 5、已知向量组与向量组=，=，=等价，则的秩3？解：，6、向量β=，在基下的坐标为。解：设即= 二、单项选择题1、设A是m×n矩阵，则线性方程组AX=b有唯一解的充要条件是（C）.(A)R(A)=n(B)R(A)=m(C)R(A)=R(Ab)=n(D)m=n解：∵A为m×n矩阵，Ax=b，有唯一解∴秩()=秩(A)=n∴R(A)=R(Ab)=n，故选C2、设方程组,有无穷多解，则λ=（A）.(A)1(B)0(C)-1(D)非零常数解：∵方程组有无穷解∴可以直接看第三个方程(λ-1)x3=(λ+1)(λ-1)当λ=1时，0x3=0，x3有无穷解，故选A3、设A是m×n矩阵，则方程组AX=0只有零解的充要条件是A的（A）.(A)列向量组线性无关(B)列向量组线性相关(C)行向量组线性无关(D)行向量组线性相关解：充分性：∵A是m×n矩阵，Ax=0有零解∴0∴A的列向量组线性无关必要性：∵A的列向量组线性无关∴0∴Ax=0只有零解，故选A4、向量组(s>1)线性相关的充要条件是其中(C).(A)含有零向量(B)有两个向量的对应分量成比例(C)至少有一个向量是其余向量的线性组合(D)每一个向量是其余向量的线性组合解：充分性：(s>1)线性相关=0(不全为0)假设0，则=-(+k2++)∴至少有一个向量是其余向量的线性组合必要性(s>1)至少有一个向量是其余向量的线性组合设=0，则不全为0线性相关，故选C5、向量空间为实数，则向量空间的维数是12346、设为齐次线性方程组的解，为非齐次线性方程组的解，则为的解为的解为的解为的解解：为的解又为的解三、计算题1、取何值时线性方程组有解？在有解的情况下求出一般解。解方程组有解同解方程组为：取2、当取何值时，线性方程组无解？有唯一解？有无穷多解？在方程组有解时，求出它的解。解：当即且时，由克莱姆法则此方程有唯一解解得：当时，此方程无解当时，方程组有无穷解同解方程组为令3.求向量在基，=，=下的坐标，并将用此基线性表示解： 基坐标为-+4、设向量组=，=，=，=，求向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大线性无关组表示解：，，为极大无关组，=3++05、求线性方程组的通解。解：令=R=R=3<5方程组有无穷多解为自由变量，同解方程组为令得特解。相应导出组方程的同解方程组为令。，方程组的通解为X=（）。6.设线性方程组=b有三个向量，，，又R(A)=3，若+=，=，求该方程组的通解，解：，，为AX=b的三个解向量AX=b的另一个解==，-=-是AX=0的一个非零解通解为+，k 四、证明题1、设A是n阶方阵，已知线性方程组Ax=0有非零解，证明线性方程组A2x=0也有非零解证：线性方程组有非零解又线性方程组也有非零解得证2.设是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，证明也是该方程组的一个基础解系。证：设即()+)+()=0的基础解系线性无关为极大线性无关组得证3、设非齐次线性方程组Ax=b有解，证明它有唯一解的充要条件是它的导出组Ax=0只有零解证：充分性:有唯一解，由克莱姆法则得有唯一零解必要性:导出组只有零解得证4、设γ0为非齐次线性方程组Ax=b的一个解，η1，η2…ηγ，是其导出组Ax=0的一个基础解系，证明γ0，η1，η2…ηγ线性无关。证：设,,…使 …,…是Ax=0的一个基础解系式左乘，得又,…是Ax=0的一个基础解系,…线性无关证得线性无关5、设，……，证明：向量组与等价解由题设知向量组、·····可由向量组、·····线性表示，显然，=，=-，······=-，即向量组、·····可由、·····线性表示所以，向量组·····与向量组、·····等价6、已知向量组（I），（）,(=3\*ROMANIII),如果各向量组的秩分别为R(I)=3,R(=3\*ROMANIII)=4,证明，向量组的秩为4.证：设使得+++=0向量组的秩为3线性无关又的秩为4线性相关可以由线性表示且表示法唯一设=+++++=0又向量组的秩为4线性无关-线性无关。秩为4。线性代数练习册第三章答案B卷一、填空题1.齐次线性程的系数矩阵记为，若存在三阶矩阵B0使，则，.解：，由题意得设令，，则2、设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n-1，则线性方程组的通解为_____.解：通解设，，A为n阶矩阵仅有一个自由未知量，取为自由未知量令矩阵A的各行元素之和均为零3、设其中，，则矩阵A的秩R(A)=______.解：，4、若线性方程组有解，则常数应满足条件______.解：方程组有解5.设齐次线性方程组为则它的基础解系所含向量的个数为解：的系数矩阵的秩为1其基础解系所含向量个数为选择题1.设是阶矩阵，如果，则（C）（A）是任意一个行(列)向量都是其余各行(列)向量的线性组合（B）的各行向量中至少有一个为零向量（C）的各行(列)向量组中必有一个行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合（D）的行(列)向量组中必有两个行(列)向量对应元素成比例解析：，,矩阵线性相关根据定理3-5可知，向量组中至少有一个向量是其余向量的线性组合，选C元线性方程组的增广矩阵的秩小于，那么（D）有无穷多组解（B）有唯一解（C）无解（D）不确定解析：=1\*GB3①当时，有无穷多组解，选项A有可能对=2\*GB3②当时，方程组无解，选项C有可能对的解不确定，选D设向量可由向量组线性表示，但不能由=1\*ROMANI线性表示，记向量组=2\*ROMANII，则（B）（A）不能由=1\*ROMANI线性表示，也不能由=2\*ROMANII线性表示（B）不能由=1\*ROMANI线性表示，但可由=2\*ROMANII线性表示（C）可由=1\*ROMANI线性表示，也可由=2\*ROMANII线性表示（D）可由=1\*ROMANI线性表示，但不可由=2\*ROMANII线性表示解析：向量可由向量组线性表示，可设使得，假设，则有，这与不能由相矛盾，，有不能由线性表示，但可由线性表示，即选B设元齐次线性方程组的通解为,则矩阵的秩为（B）（A）（B）（C）（D）以上都不对解析：由题可知，基础解系所含向量个数为1，选B5.设矩阵的伴随矩阵，若是非齐次线性方程组的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系(A).(A)仅含一个非零解向量(B)含有两个线性无关的解向量(C)含有三个线性无关的解向量(D)不存在解析：证毕，，又有互不相等的解，有无穷多解，故由矩阵及其伴随矩阵的秩的关系得，.的基础解系仅含有一个非零解向量。三、求向量组的极大无关组解：为极大无关组解：为向量组的极大无关组四，求下列方程组的通解，用基础解系表示.(1)解：，秩（A）=3<5，所以方程有无穷解同解方程组为：，分别令，得，，所以通解为=+，（，R）解：方程组有无穷多解为自由未知量同解方程组取自由未知量得特解相应导出组的同解方程组取自由未知量基础解系为通解为五．已知，，是互不相同的数，n维向量=（1，，，）(i=1,2,s),求向量组的秩。解:当s=n时，互不相等0（范德蒙行列式）线性无关R=n当s>n时，向量的个数大于维数线性相关，又线性无关是极大无关组R=n当s<n时，为n个两两不相等的向量线性无关线性无关R=s六、设是线性方程组AX=b的解，是其到出组的一个基础解系，令，，，证明，，线性无关。解：,是其出组的基础解系=0=0=0，，线性无关设使成立即即（+线性无关线性无关。七、已知向量组=，=，=与=，=，=有相同的秩，且可由线性表示，求a，b的值。解：A==R(A)=2的秩也为2，b-=0b=又可以由表示= =0b=5a=15，，,：(1)a,b取何值时，能由唯一线性表示(2)a,b取何值时，不能由唯一线性表示(3)a,b取何值时,能由唯一线性表示,且表示法唯一，并写出此时表达式。解