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射影面积法（）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos）求出二面角的大小。如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，SA=AB=BC=1，AD=.求面SCD与面SAB所成的角的大小。图1图1SDCBA解法1：可用射影面积法来求，这里只要求出S△SCD与S△SAB即可，故所求的二面角θ应满足===。例2．（2008北京理）如图，在三棱锥中，，，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的大小；AACBP解：（Ⅰ）证略（Ⅱ），，．ACBEP又ACBEP又，即，且，平面．取中点．连结．，．是在平面内的射影，．∴△ACE是△ABE在平面ACP内的射影，于是可求得：，，则，设二面角的大小为，则∴二面角的大小为练习1：如图5，E为正方体ABCD－A1B1C1D1棱CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1锐角的余弦值.（答案：所求二面角的余弦值为cosθ=）.AA1D1B1C1EDBCA图5平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点间距离公式求二面角的平面角。解1：（三垂线定理法）取AC的中点E，连接BE，过E做EFPC,连接BF平面ABC，PA平面PAC平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC图1BE平面PAC图1由三垂线定理知BFPC为二面角A-PC-B的平面角设PA=1,E为AC的中点，BE=,EF=tan==argtan解2：（三垂线定理法）PCBAEFPCBAEFMAB=AC,PB=PC AEBC,PEBC BC平面PAE,BC平面PBC图2 平面PAE平面PBC, 平面PAE平面PBC=PE图2由三垂线定理知AMPC为二面角A-PC-B的平面角设PA=1，AM=,AF=sin=PCBAEPCBAE解3：（投影法）过B作BEAC于E,连结PE平面ABC，PA平面PAC图3平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC图3BE平面PAC是在平面PAC上的射影设PA=1,则PB=PC=,AB=1,由射影面积公式得，,4.在单位正方体中，求二面角的度数。三垂线法利用三垂线定理或逆定理构造出二面角的平面角，进而求解。解法一.作取的中点,连结.由三垂线逆定理知为所求二面角的平面角在中二．射影法利用斜面面积和射影面积的关系：（为斜面与射影所成二面角的平面角）直接求

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