求解高阶行列式的一些常用方法1

求解高阶行列式的一些常用方法蒋娅摘要:高阶行列式的求解是高等代数和线性代数中行列式部分的重要内容，也是行列式中的难点。纵观近几年的考研试题，高阶行列式多以计算题的形式出现，其综合性较强，难度较大。因此，在解题过程中要进行周密的分析，根据行列式中行或列元素的特点来选择相应的方法。本文主要结合自己在教学过程中遇到的一些实例，介绍了求解高阶行列式的一些常用方法和技巧。这些方法对行列式的进一步研究有一定的借鉴指导意义。关键词:高阶行列式；定义法；三角形法；递推法高阶行列式的求解是高等代数和线性代数中行列式部分的重要内容，也是行列式中的难点。纵观近几年的考研试题，高阶行列式多以计算题的形式出现，其综合性较强，难度较大。因此，在解题过程中要进行周密的分析，根据行列式中行或列元素的特点来选择相应的方法。计算行列式的方法很多，常用方法有：定义法、三角形法、递推法、归纳法、加边法、析因子法等。定义法Xy0...000Xy0...000Xy...00000...Xyy00...0X例1计算n阶行列式D=na1122nn解：由行列式的定义知此行列式除项a...a和aa...aa外其余乘积项都12 23n—1,nn1是零，故D=(—1)r(12...n)X.X....X+(—1)r(23...nl)y.y...y=Xn+(—1)n—1yn。n降阶化三角形法xy0XDxy0XD按第一列展开x 0000X0+y(—1)n+10y000000y0Xy二Xn+（—1）n+1yn注1：定义法就是利用n阶行列式的定义求行列式的方法。降阶化行列式法就是把原行列式通过按行（列）展开以降低阶数，从而转化为特殊的上（下）三角形行列式来求解的方法。递推法例2计算2n阶行列式D=2nanan-1bnbn-1ab11cd11cn-1cndn-1dn解：ab 00abn-1n-1n-1n-1abab1111D按第1行展开aed+b(-1)1+2ned2n n11n11ededn-1n-1n-1n-10de0nnababn-1n-1n-1n-1abab=ad11—be(-1)2n-1+111nnednned11ededn-1n-1n-1n-1=(ad一be)Dnnnn 2(n-1)于是D=(ad一be于是D=(ad一be)D2n nnnn2(n-1)(adnn-bc)(anndn-1n-1-bcn-1n-1)D2(n-2)=(adnn=(adnn-bc)(a dnn n-1n-1-bc )...(adn-1n-1 22-bc)(ad-bc)221111aan-1拉普拉斯定理法bn-1D按第1,2n行展开2nanenbn(—1)(1+2n)+(1+2n)dab11eddn-1=(ad—bc)Dnnnn 2(n—1)以下同递推法。注2：递推法即是由原行列式D出发得出其与较低阶的行列式之间的关系式（即递nn2推公式），最后得出D与D2n2差分法a+ba0...00ba+ba...000ba+b...00000...a+ba000...ba+b例3计算n阶行列式D=n解：由D=(由D=(a+b)D一abDn n-12n-2p=a+b,q=-ab由特征方程九2—p九—q=0得两特征根为：尢=a,尢=b。12若a主b，贝yD=c九n+c九n=can+cbn。112212I a+b=ca+cb由D=a+b,D=a2+ab+b2,有彳 1 21 2 Ia2+ab+b2=ca2+cb22a b an+1—bn+1解方程组得：c1=a—b‘c2=a—b。故所求Dn==can+cnan。同样12若a=b，即特征方程有相等实根，这时Dn=c1Xn+c2nXn代入D,D可确定常数c=c=1，从而D==can+cnan。同样121 2 1 2 n所以有：D所以有：D=<n(n+1)an,a=ban+1—bn+1a-ba-b注3：差分法就是把关系D=pD—1+qD—2看着一差分方程，求出特征方程n n—1 n—2九2九2—p九—q=0的两个根则D=cXn+cXn(X丰X)或n 11 2 2 1 2D=cD=c九n+cn九n(九=X),n 11 2 2 1 2再从由D1,D2得到的方程组中定出常数C1,c2。■ x—1x-10...001x —10x-1...00…...............1按第1列展开x000...x-1x —1aaa...ax+ak+1kk-12♦ aa a...ax+akk-1k-221-1Dk+16数学归纳法-1例4计算n阶行列式Dn-1an-1an6数学归纳法-1例4计算n阶行列式Dn-1an-1an-2x+a1解：当时n二2,D2=-1x+a1猜想：D=xn+axn-i+a1xn-22x+a。n-1 n设n二k时,D=xkk+axk-11+axk-2+...+a2x+a，则当n二k+1时,k-1-1+ak+1(-1)+ak+1(-1)k+1+1=xD+a=x(xk+axk-1k k+1+axk-22+...+ax+a)+ak-1 k k+1—xk+1+axk+a12xk-1+...+ax+ak k+1猜想的正确性。第二步的关键是首先要得到Dn关于Dn-1和D的递推关系式。n-27加边法（升阶法）x一aaa...ax-aa...例5计算n阶行列式Dn=aax-a...。aaa...x一a解：注4：利用数学归纳法来计算行列式,分两步进行,第一步发现和猜想,D=xn+axn-i+axn-2+...+ax+a。n 1 2 n-1 n因此,第二步证明

因此,第二步证明100...01-1-1…-1ax-aa♦♦♦ax-100...01-1-1…-1ax-aa♦♦♦ax-2a0…0aax-a♦♦♦=a0x-2a…0aaa・・・x-aa00...x-2an+1D=nn+1从第2行开始各行都减第1列得到）=(x-2a)n-1ax-2aax-2a-1...=(x-2a)n4na1+ x-2a

ax-2aax-2aax-2ana=(x—2a)n(1+x-2a)=[x+(n-2)a](x-2a)n-1ax-2a显然，当x=2a时上式成立且D=0n注5：加边法就是将要计算的n阶行列式适当地添加一行一列（或m行m列）个新的n+l（或n+m）阶行列式，保持行列式的值不变，但要所得的n+l（或n+m）阶行列式较易计算。8析因子法得到一例6计算n+1阶行列式D=n+1xaaa112n-1axaa112n-1aax...a112n-1♦♦♦...............aaax1123aaa...a1123n解：观察行列式的特点’当兀取q,a2，吧时,行列式都有两行相同，因而此时的行列式的值为零，可将行列式看着关于x的多项式，且此多项式有因式x-a,x-a,...x-a，故可设：TOC\o"1-5"\h\z1 2 nD=c(x-a)(x-a)...(x-a)

n+1 1 2 nD中x的最高次项为xn，系数为1,故c=1，即行列式n+1D=c(x-a)(x-a)...(x-a)

n+1 1 2 n注6：如果行列式D中有一些元素是变数x(或某个参变数)的多项式，那么就可以用析因子法将行列式D当作一个多项式f(x)，然后对行列式施行某些变换，求出f(x)的互素的一次因式，使得f(x)与这些因式的乘积g(x)只相差一个常数因子c,根据