求不定积分的方法及技巧小汇总~

求不定积分的方法及技巧小汇总~1•利用基本公式。(这就不多说了〜)2•第一类换元法。(凑微分)设f(u)具有原函数F®)。贝UJf[甲(x)]叩'(x)dx=Jfg(x)]d*(x)=Fg(x)]+C其中申(x)可微。用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2：例1：Jln(x+1)-lnxdxx(x+1)【解】(ln(【解】(ln(x+1)-lnx)'=1x(x+1)TOC\o"1-5"\h\zJln(x+1_ln^dx=-J(ln(x+1)-lnx)d(ln(x+1)-lnx)=-—(ln(x+1)-lnx)2+Cx(x+1) 21+lnx,例2：J dx(xlnx)2【解】(xlnx)'=1+lnx1+lnx dxlnx 1小J dx=J =- +Cx(x+1)2 (xlnx)2 xlnx3•第二类换元法：设x=p(t)是单调、可导的函数，并且0(t)丰0又设/叩(t)]0(t)具有原函数，则有换元公式Jf(x)dx=Jfg(t)2'(t)dt第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：xa2-x2：x=asint；x=acostIix2+a2：x=atant；x=acott；x=asht£x2-a2：x=asect；x=acsct；x=acht

(4)nax+b：ax+b=tax+bax+bn: =tcx+dcx+d当被积函数含有x-max2+bx+c,有时倒代换x=1也奏效。t4•分部积分法.公式：J^dv=yv一J^dv分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取卩、v时，通常基于以下两点考虑：（1） 降低多项式部分的系数（2） 简化被积函数的类型举两个例子吧〜！例3：Jx3"arcc°sxdx1—x2Jx3arccosx1—Jx3arccosx1—x2CoS3tdx=J t(-sint)dt=J-1cos3tdt=sintJt(sin2t-1)dsint=Jtd(3sin31-sint)=sin31-sint)dt=31sinsin31-sint)dt=TOC\o"1-5"\h\z1 J1tsin3一tsint+J(_sin21一1)dcost=3 31 . .2 1 厂tsm3—tsint一cost一cos31+C=3 3 91 2 1一一x3一x一_(x2+2)\1—x2arccosx+C9 3 3例4:Jarcsin2xdx【解】Jarcsin2xdx=xsin2x-Jx2arcsinx =dx1—x2xarcsinx+J2arcsinxd、1-x2=xarcsinx+2、；1-x2arcsinx-J11-x2 2——dx=1—x2xarcsinx+2J1-x2arcsinx-2x+C

上面的例3,降低了多项式系数；例4,简化了被积函数的类型。有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。在Jmv二卩v-Jmv中，卩、V的选取有下面简单的规律：卩=P(x)，V=eax,sinax,cosaxm卩=Inx,arctanx,arcsinx，V=P(x)m卩=eax，v=cosPx,sinPx⑶会出现循环，注意卩，V选取的函数不能改变。将以上规律化成一个图就是：(lnxarcsinx)Pm(x)(aAx sinx)MV但是，当卩=Inx，V=arcsinx时，是无法求解的。对于(3)情况，有两个通用公式：eaxI=Jeaxsinbx-dx= (asinbx-bcosbx)+Ca2+b2eaxI=Jeaxcosbx-dx= (acosbx+bsinbx)+Ca2+b2(分部积分法用处多多〜在本册杂志的《涉及lnx的不定积分》中，常可以看到分部积分)5•几种特殊类型函数的积分。(1)有理函数的积分有理函数竺先化为多项式和真分式£竺之和，再把冬*凹分解为若干Q(x) Q(x)Q(x)个部分分式之和。(对各部分分式的处理可能会比较复杂。dx出现I=Jn (a2+x2)n时，记得用递推公式：I= 6+x4-46+x4-4x2-2=x6+x4 4x2+2x3(x2+1)2 x3(x2+1)2 x3(x2+1)2I)n 2a2(n-1)(x2+a2)n-1 2a2(n-1)n-1例5：Jx6+x4—4x2例5：Jdx【解】x 4x2+2x2+【解】x 4x2+2x2+1 x3(x2+1)2dx=2ln(x2+1)+C4x2+2

x4x2+2

x3(x2+1)2dx=4x2+2

x4(x2+1)2xdx=2x2+1x4(x2+1)2J2卩+1 dy=J(卩+1)2―卩2d―卩2(y+1)2 卩2(y+1)2L1 1 、丿—1 1厂_ 1 厂J( — )dp= _+C=— +C卩2 (卩+1)2卩+1卩 x2(x2+1)故不定积分求得。(2)三角函数有理式的积分2tan.2smx=—-x1+tan2-万能公式：Q万能公式：Q. x1一tan2—2cosx=—Tx1+tan2—2JP(Sinx,C0Sx)dx可用变换t=tanx化为有理函数的积分，但由于计算较烦,Q(sinx,cosx) 2应尽量避免。对于只含有tanx(或cotx)的分式，必化成sinx或COsx。再用待定系数cosxsinxAacosx+bsinx)+B(acos'x+b血x)来做。(注：没举例题并不代表不重要〜)acosx+bsinx简单无理函数的