2023年重庆市某中学校中考一模数学试题（解析版）

重庆育才中学教育集团初2023届初三（下）第一次诊断性作业数学

试卷

一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代

号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所

对应的方框涂黑.

1.-2023的相反数是（）

11

A______B.------C.-2023D.2023

20232023

【答案】D

【解析】

【分析】根据相反数的定义选择即可.

【详解】解：-2023的相反数是2023.

故选D.

【点睛】本题考查求一个数的相反数.掌握只有符号不同的两个数互为相反数和0的相反数为0是解题关

键.

2.体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（）

甚

【解析】

【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这

个图形就叫做轴对称图形根据轴对称图形进行逐一判断即可.

【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意;

B、不是轴对称图形，不符合题意;

C、是轴对称图形，符合题意;

D、不是轴对称图形，不符合题意；

故选C.

【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，熟知轴对称图形的定义是解题的关键.

3.x取下列各数时，使得有意义的是（）

A.0B.2C.3D.5

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可.

【详解】解：•••♦』要有意义，

：.x-4>Q,即x24,

...四个选项中只有D选项中的5符合题意，

故选:D.

【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零是解

题的关键.

4.如图，△ABC与，OE尸位似，点。是它们的位似中心，其中相似比为1:2,则ABC与,.OEF的面

积之比是（）

D

A.1:2B.1:4C.1:3D.1:9

【答案】B

【解析】

【分析】根据相似图形的性质，面积比等于相似比的平方即可求解.

【详解】解：•••△A6C与.OEE位似，点。是它们的位似中心，其中相似比为1:2,

.ABC与zDEF的面积之比是1:4,

故选:B.

【点睛】本题考查了相似图形的性质，面积比等于相似比的平方，熟练掌握相似图形的性质是解题的关

键.

5.一次函数y=-|九+3的图象不经过的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】根据一次函数与系数的关系即可求解.

22

【详解】解：一次函数y=—§x+3中，k=--<0,b=3>0

图象在一、二、四象限，不经过第三象限，

故选：C.

【点睛】本题考查了一次函数与系数的关系：由于），=履+6与y轴交于（0,力，当b>0时，（0,切在y轴

的正半轴上，直线与）'轴交于正半轴；当〃<（）时，（0，㈤在y轴的负半轴，直线与轴交于负半轴.当

左>0,b>0=>=履+6的图象在一、二、三象限；出〉0,。<0=丫=履+6的图象在一、三、四象

限；k<0,6>0oy=丘+〃的图象在一、二、四象限；k<0,匕<0oy=丘+〃的图象在二、三、四

象限.

6.估计0x（2&+J7）的值应在（）

A.9和10之间B.8和9之间C.7和8之间D.6和7之间

【答案】C

【解析】

【分析】首先进行二次根式的混合运算，再进行无理数的估算，即可求解.

【详解】解：V2X（2V2+V7）

=2x2+714

=4+714

9<14<16,

3<V14<4>

,-.7<4+714<8>

故选：C.

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握和运用无理数的估算是解决本题的关

键.

7.下列命题中，错误的是()

A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形B.两条对角线互相垂直的四边形是平行四边形

C.三个角是直角的四边形是矩形D.四边相等的四边形是菱形

【答案】B

【解析】

【分析】根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理进行判断即可；

【详解】解：A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确，故不符合题意；

B.两条对角线互相垂直的四边形是平行四边形，错误，故符合题意；

C.三个角是直角的四边形是矩形，正确，故不符合题意；

D.四边相等的四边形是菱形，正确，故不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题主要考查平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定，掌握相关定理是正确解题的关键.

8.如图是小贝散步过程中所走的路程s(单位：m)与步行时间f(单位：min)的函数图象.下列说法

错误的是()

A.小贝在散步过程中停留了5minB.小贝在第25min〜50min时间段匀速步行

8()

C.小贝匀速步行的速度是一m/minD.小贝在散步过程中步行的平均速度是40m/min

3

【答案】C

【解析】

【分析】根据图象提供的信息逐项求解即可.

【详解】由图象可知：

小贝在散步过程中停留了25-20=5(min),故A选项正确，不符合题意；

小贝在第25min〜5()min时间段匀速步行，故B选项正确，不符合题意；

小贝匀速步行的速度为(2000—1200)+(50-25)=32m/min,故C选项错误，符合题意；

小贝在散步过程中步行的平均速度为2000+5()=4()m/min,故D选项正确，不符合题意.

故选：c

【点睛】本题考查了函数的图象，正确的识别图象、数形结合是解题的关键.

9.在中，/C=90°,点0是斜边AB边上一点，以。为圆心，Q4为半径作圆，恰好与

边相切于点。，连接AO.若AD=BD,。的半径为3,则CO的长度为（）

C

A

Qan

A.-B.e2C.3D.2百

42

【答案】B

【解析】

【分析】设ZB=a，根据等边对等角，三角形的外角的性质，得出a=30。，根据含30度角的直角三角形

的性质，勾股定理求得。民。8,然后根据切线的性质以及己知条件得出0。〃AC,根据平行线分线段成

比例即可求解.

【详解】解：如图所示，连接。

AD=BD,

ZB=ZDAB,

设/8=a

OA=OD,

：.ZDOB=2ZDAO=2a

•••Rt/XABC中，NC=90。，。恰好与边BC相切于点O,

ZODB=90°,则N5+NOO6=3a=90°

OD//AC,a=30。

/.。。的半径为3,

OB=20D=6,DB=43D0=373，

OD//AC,

.CDAO31

CD=-DB=辿

22

故选：B.

【点睛】本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等边对等角，

勾股定理及平行线分线段成比例定理，熟练掌握以上知识是解题的关键.

10.已知多项式M=2%2_3X-2，多项式N=x2-at+3.

①若M=0,则代数式尸的值为生.

X2-3X-13

②当”=一3,X"时，代数式M—N的最小值为一14；

③当。=0时，若M-N=0,则关于x的方程有两个实数根；

7

④当4=3时，若阿一2N+2|+阿一2N+15|=13,则x的取值范围是—]<x<2.

以上结论正确的个数是()

A,0个B.1个C.2个D.3个

【答案】B

【解析】

【分析】①把M=0代入解方程即可求解；②把“=-3代入，再配方求最小值即可；③把。=0代入解方程

即可求解；④根据绝对值的意义求解即可.

【详解】解：①若M=0,则M=2/—3x—2=0,解得x=2,或彳=一,，

2

「③的值为一生;故①错误；

x2-3x-l3

②当ci———3时，M—N—(2A?2—3x—2)—(尤2+3x+3)

—厂一6x—5

=(x—3『一14,.•.当x=3时，代数式M—N的最小值为一14；故②错误；

③由题意得，MN=(2f—3x—2)(f+3)=0,

/.2/-3X—2=0或F+3=0,

解2丁_3彳-2=0得x=2,或》=一二；

2

解/+3=0,即/=一3<0,没有实数解，

关于x的方程有两个实数根，故③正确；

④当”=3时，

\M-2N+2\+\M-2N+\5\

=1(2/—3%—2)—2(x2—3x+3)+21+1(2/—3x—2)-2(/-3x+3)+151

=13x-6|+|3x+7|=13

3x+7>07

•••仁，八，解得一一4x«2；故④错误；

3x-6<03

综上，只有③正确；

故选：B.

【点睛】本题考查了配方法的应用，解一元二次方程、解不等式组、绝对值的意义，理解绝对值的性质和

一元二次方程的解法是解题的关键.

二、填空题(本大题8个小题，每小题4分，共32分)请将每小题的答案直接填在答题卡中

对应的横线上.

11.已知反比例函数丁=幺的图象经过点(2,6),则％=.

x

【答案】12

【解析】

【分析】由反比例函数的图象经过点(2,6),可得出6x2=%,解之即可得出女值.

【详解】解：•••反比例函数丁=人的图象经过点(2,6),

x

6x2=&,

.♦.女=12.

故答案为：12.

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，牢记双曲线上任意一点的坐标都满足函数关系式

y=A是解题的关键.

12.如图，直线AB,CD被直线CE所截，ABCD,Nl=130°,则/C的度数为

【答案】500##50度

【解析】

【分析】根据平行线的性质，即可求解.

【详解】解：AB//CD,

Zl+ZC=180°,

Zl=130°,

ZC=180°-Zl=180°-130°=50°.

故答案为：50°.

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握和运用平行线的性质是解决本题的关键.

/1、T

13.计算：；―已+tan600+（万—3）°=.

、3）

【答案】石-2##-2+6

【解析】

【分析】首先根据负整数指数累及零指数幕的运算法则，特殊角的三角函数值，进行运算，再进行实数的加

减运算，即可求解.

【详解】解:

=-3+73+1

V3-2

故答案为：-73—2-

【点睛】本题考查了负整数指数基及零指数基的运算法则，特殊角的三角函数值，熟练掌握和运用各运算

法则是解决本题的关键.

14.在一个不透明的盒子里装有大小和形状相同的3个红球和2个黄球，先从盒中摸出一个球不放回，再

摸出一个球，则两次摸到的球颜色不一样的概率为.

3

【答案】-

【解析】

【分析】列表展示所有20种等可能的结果数，再找出两次摸到的球中颜色不一样的结果数，然后根据概

率公式计算.

【详解】解：列表如下：

红1红2红3黄1黄2

红1红1红2红1红3红1黄1红1黄2

红2红2红1红2红3红2黄1红2黄2

红3红3红1红3红2红3黄1红3黄2

黄1黄1红1黄1红2黄1红3黄1黄2

黄2黄2红1黄2红2黄2红3黄2黄1

共有20种等可能的结果数，其中两次摸到的球颜色不一样的结果数为12,

123

所以两次摸到的球中颜色不一样的概率为一=二.

205

3

故答案为：—.

【点睛】本题考查了利用列表法展示所有可能的结果求出"，再从中选出符合事件A或B的结果数目相，

然后利用概率公式求出事件A或3的概率，掌握求概率的方法是解题的关键.

15.如图，点N是矩形A8CD的边上的中点，以点N为圆心、3c为直径，在矩形ABCD的内部作

出半圆N,以点8为圆心、3A为半径在矩形A8C。内部作出四分之一圆08,0N与B相交于点

M,连接MN,已知BC=8cm,图中阴影部分的面积cm2.

【答案】8兀+8##8+8兀

【解析】

【分析】连接根据题意得出阴影部分面积S扇形AB“+SB,”N+S扇形M"，根据已知条件进行计算

即可求解.

【详解】解：如图所示，连接

是半圆N的直径，

ZBMC=90°,

•：MN1BC,BC=8cm,

BM=CM

：.BM=CM,

NM6C=45。，

/.△BMC是等腰直角三角形,

BN=NC=MN=4,

•••BM=4也，

•••四边形ABC。是矩形，

ZABC=90°,

ZABM=45°

阴影部分面积S扇形"M+SBMN+S扇形NMC

45。兀x(4⑹2

90°7tx42

+—x4x4+

360°2360。

=4兀+8+4兀

-8it+8

故答案为：8TI+8.

【点睛】本题考查了求扇形面积，矩形的性质，勾股定理，根据题意得出阴影部分面积为

S扇形A&M+S.BMN+S扇形飒。

是解题的关键.

16.如图，在边长为5的正方形A6CD中，点E,尸分别是AC,AO上的两点，BE±EF,AF=2,则

AE的长为.

F

AD

【答案】返

2

【解析】

【分析】由于所以过E作的垂线交3c于N,交A0于M,证明，MEFMNBE,设

AM=ME=x,利用MN=5列出方程，再运用勾股定理即可求解.

【详解】解：过E作的垂线交于N,交AD于M,如图，

A3CO是正方形，

NABC=NBAD=4BNM=90°,AB=BC=CD=AD=5,

四边形为矩形，

:.MN=BC=5,AM=BN,

,/BELEF,

：.NFEB=NENB=90°,

：.4EBN+/NEB=NNEB+NFEM,

NEBN=NFEM,

•.•四边形ABC。是正方形，AC为对角线，

NCAD=45°,

ZMEA=NMAE=45°,

：.ME=MA=NB,

在AMEF与，一NBE中,

NMEF=NNBE

<ME=NB

NEMF=4BNE

/.-MEF^-.^SE(ASA),

MF=NE,

设AM=ME=x,则MF=NE=x—2,

MN=ME+EN=5,

：.尤+(x-2)=5,

7

••X=—f

2

7

AM=ME=~,

2

在RtzMME,AM2+ME2=AE2,

【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，利用构造一线三

直角的全等模型，是解决此题的突破口.

a、x

x+—>a——

33无解，且关于y的分式方程＜+:竺=-1

17.若关于x的一元一次不等式组〈的解为正整

123y-1

—x+—<—i-y

11535

数，则所有满足条件的整数。的值之和是.

【答案】9

【解析】

【分析】先解不等式组，根据不等式组无解，得出a〉-2,解分式方程，根据分式方程的解为正整数，得

出a=2,3,4,7,求其和，即可求解.

x+—>a--(T)

【详解】解：〈33

-x+-<-®

1535

解不等式①得：

解不等式②得：x<-l

•••不等式组无解

.♦心>-1

2

解得：a>-2,

解分式方程7+1一=-1

y-11-y

解得：y=-^-

a—1

・・•"1或0

，。w1或aw7

・・•分式方程的解为正整数，

6>0,且。-1=1,2,3,6

a-\

解得：a>1,a=2,3,4,7

：a*7

<2=2,3,4

2+3+4=9,

故答案为：9.

【点睛】本题考查含参数的分式方程和含参数的不等式组，掌握由解集倒推参数范围是解本题关键.

18.若一个四位数的千位与百位之差等于2,十位与个位之差等于4,称这个四位数是“差2倍数”，若四

位数的千位与百位之差等于3,十位与个位之差等于6,称这个四位数是“差3倍数”，若数p,令分别为

“差2倍数”和“差3倍数”，它们的个位数字均为3,p,q的各数位数字之和分别记为G(p)和

G⑷‘"6号,若G(£M)+3为整数,此时需的最大值为——•

【答案】|

【解析】

【分析】根据定义和已知条件分别设P=1000(m+2)+100m+73,4=1000(〃+3)+100〃+93,再根据

F(p,q)-51G(p)

定义进行计算，由〜、。=55---------为整数，以及甘*的最大值，得出符合条件的取值为

G(p)-G(q)+3m-nG(q)

机-〃=1或加一77=3,进而解题.

【详解】解：；数p,4分别为“差2倍数”和“差3倍数”，它们的个位数字均为3,

故数P的十位数是3+4=7,数4的十位数是3+6=9,

设数小4的百位数分别加、n,则数P的千位数是(加+2),数17的千位数是(〃+3),而且0W〃?S7,

0<»<6,

G(〃)=(/”+2)+机+7+3=2m+12,G(q)=(〃+3)+〃+9+3=2〃+15,

G(p)-G⑷+3=(2机+12)-(2〃+15)+3=2(m-n),

G(p)_2m+12

G⑷-2〃+15，

...p=1000(m+2)+100m+73,4=1000(〃+3)+100〃+93,

尸==一102,

.F(p,q)110(。-〃)-1025551

•・G(〃)一G(q)+32(m—n)m—n

F(P⑷

为整数,

G(p)—G(q)+3

G(p)

•••加一〃为51的约数，而要使才心的最大值则有

G⑷

，加一〃二1或机一〃=3,

G(p)2/71+122n+14,1

当吁〃=1时，即m=〃+l,西=五市=五工百=】一万二行

G(p)26

此时，当〃=6,m=7时，的最大值为丁,

G(q)27

G(p)2〃?+122〃+18,3

当时〃=3时，即〃，=〃+3,西=

G(p)6

此时，当〃=0,机=3时，的最大值为？，

G⑷5

G（p）6

综上所述：当“=0,机=3时，甘W的最大值为一，

G（q）5

故答案为：-

【点睛】本题考查新定义运算，数的整除、分式的化简，整式的加减运算等，有一定难度，解题的关键是

通过―尸也/_

3G(P)-G⑷+3为整数推出〃2-〃为51的约数.

三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，20-26题各10分，共78分）解答时每小题必

须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在

答题卡中对应的位置上.

19.计算：

(1)(x+y)--x(2y-元);

2a2—2

(2)

cr—2cl+1

【答案】（1）2x2+y2

【解析】

【分析】（1）根据完全平方公式，单项式乘以多项式进行计算即可求解；

（2）根据分式为加减进行计算，同时将除法转化为乘法，根据分式的混合运算进行化简即可求解.

【小问1详解】

解：（x+y）2-x（2y-x）

-x1+2xy+y2-2xy+x2

2x2+y2；

【小问2详解】

a-1+上2/一2

解:

a-1ci~-2a+1

(a-1)2+4a(q-1)2

a—I2(a~-1

一(a+l)[("I))

ci—\2(a—l)(a+l)

tz+1

【点睛】本题考查了整式的化简，分式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则以及分式的运算法则是解题

的关键.

20.如图，四边形A8CD是菱形，连接AC,AD=AC,点E在线段AC上，连接BE,BE的延长线

交AD于点F.

(1)用尺规完成以下基本作图：在N8AC内部作NC4G,使得NC4G=NABE,AG交BE边于点

M,交BC于点、N,交。C的延长线于点G.(保留作图痕迹)

(2)在(1)所作的图中，求证：AF^CG.完成下列填空.

证明：四边形A8CD是菱形；

AAB^AD^CB=CD,AB//DC,ZBAC=ZDAC；

AD=AC；

:.AABC与均为等边三角形；

AB=,ZD=NACO=60。；

NBAF==120°；

,A尸8与「.CGA中，

ZBAF=ZACG

<AB=CA

ZABF=ZCAG

.-.^AFB^CGA(ASA)；

【答案】(1)见解析(2)ADC；AC；ZACG；AF=CG

【解析】

【分析】(1)根据题意作NC4G=/ABE,AG交BE边于点M,交BC于点、N,交。C的延长线于点

G；

（2）根据菱形的性质，结合条件AO=AC得出，ABC与，AOC均为等边三角形；进而证明

AFB^CGA（ASA）；根据全等三角形的性质即可求解.

【小问1详解】

解：如图所示，

【小问2详解】

证明：四边形ABCD是菱形；

AB=AD=CB=CD,AB//DC,£BAC=ZDAC；

AO=AC；

ABC与.AOC均为等边三角形；

AAB=AC,/D=/ACD=60。；

NBAF=ZACG=120°；

在，AFB与aCGA中，

ZBAF=ZACG

<AB=CA

NABF=ZCAG

AFB^CGA（ASA）;

AF=CG.

故答案为：二ADC；AC；ZACG；AF=CG.

【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与

判定，熟练掌握以上知识是解题的关键.

21.九龙坡区以创建全国文明城区和全国未成年人思想道德建设工作先进城区（简称“双创”）为抓手，坚

持立德树人，以文化人，协同育人，形成青少年健康成长的良好环境，学校德育处为了解学生对“双创”

的了解情况，从七、八年级各选取了20名同学，开展了“双创”知识竞赛，并对竞赛成绩进行了整理、描

述和分析（成绩得分用x表示，其中A：95<x<100,B：90<x<95,C：85Vx<90,D：

8()4x<85,得分在90分及以上为优秀)，下面给出了部分信息:

七年级20名同学在B组的分数为：91,92,93,94；

八年级20名同学在B组的分数为：90,93,93,93,94,94,94,94,94.

七年级选取的学生竞赛成绩条形统计图八年级选取的学生竞赛成绩扇形统计图

七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表

年级平均数中位数众数优秀率

七年级91a95m

八年级9193b65%

(1)填空：a=,b=,m=；

(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“双创”知识竞赛中，哪个年级学生对“双创”的了

解情况更好？请说明理由；(写出一条理由即可)

(3)该校七年级有850名学生，八年级有900名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数.

【答案】(1)92.5,94,60%

(2)八年级学生对“双创”的了解情况更好，理由见解析；

(3)估计两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为1095人

【解析】

【分析】(1)根据中位数的定义，求得第10和第11个数字的中位数求得”的值，根据分数在90分以上的

人数除以总人数求得加，根据众数的定义求b的值；

(2)根据众数以及优秀率进行计算即可求解；

(3)根据样本估计总体，用850和900分别乘以七、八年级的优秀率即可求解.

【小问1详解】

解：•.•共有20个数据,

...中位数是第10个数据和第11个数据的平均数，

92+93

中位数是~—=92.5,

2

八年级20名同学在B组的分数中，94出现了5次，出现次数最多，

."=94,

4+8

七年级的优秀率为m=——xlOO%=60%,

20

故答案为：92.5,94,60%.

【小问2详解】

八年级学生对“双创”的了解情况更好.

理由：①八年级学生成绩的中位数93大于七年级学生成绩的中位数92.5；

②八年级学生成绩的优秀率65%大于七年级学生成绩的优秀率60%；

【小问3详解】

850x60%+900x65%=1095（人），

答：估计两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为1095人.

【点睛】本题考查了利用统计图获取信息的能力，求中位数，众数，样本估计总体；利用统计图获取信息

时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题

22.山火烧不尽，春风吹又生，今年三月，校团委组织师生开展“汇聚青年力量•重建绿色山林”缙云山植

树活动，购入了第一批树苗，经了解，购买甲、乙两种树苗共250棵，两种树苗的单价分别为20元和30

元，共用去资金6000元.

（1）求第一批购入甲、乙两种树苗的数量；

（2）恰逢植树节在周末，有更多的师生参加到植树活动中来，校团委购入第二批树苗时发现甲树苗供不

应求单价有所上涨，校团委决定，购入甲树苗时，若甲树苗单价每上涨2元，购入数量就比第一批甲树苗

的数量减少10棵（最后数量不超过第一批甲树苗的80%）,购入乙树苗单价与第一批相同，数量是第一

批乙树苗的80%,最终花费的总资金比第一批减少了8%,求第二批购买树苗的总数量.

【答案】（1）甲种树苗的数量为150棵，乙种树苗的数量为100棵

（2）第二批购买树苗的总数量为200棵

【解析】

【分析】（1）设甲种树苗的数量为x棵，乙种树苗的数量为）'棵，根据题意列出二元一次方程组，解方程

即可求解；

（2）设甲树苗单价上涨。元，则甲树苗单价为（25+4）元，根据题意列出一元二次方程，解方程，进而分

别求得甲、乙的数量即可求解.

【小问1详解】

解：设甲种树苗的数量为X棵，乙种树苗的数量为y棵，根据题意得,

x+y-250

20x+30y=6000

fx=150

解得：1sc

y=100

答：甲种树苗的数量为150棵，乙种树苗的数量为100棵

【小问2详解】

解：设甲树苗单价上涨。元，则甲树苗单价为（25+。）元，

依题意（20+a）［150—（））+30x100x80%=6000x（1—8%）

解得：a=4或a=6

•••最后数量不超过第一批甲树苗的80%

即150-5aW150x80%

解得：a>6,

a—6>

求第二批购买树苗的总数量为150-5x6+100x80%=120+80=200（棵）

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出方程（组）是解题的关

键.

23.在一次数学建模活动课上，吴老师制作了一张简易的海域安全监测平面图，在图中标明了三个监测点

的位置坐标。（0,0），4（0,10）,8（20,0）,由三个监测点确定的圆形区域是安全警戒区域.

（1）某天海面上出现可疑船只C,在监测点A测得C位于南偏东45°,同时在监测点O测得C位于南偏

东60。，求监测点。到C船的距离.（结果精确到0.1,参考数据：血。1.414,V3«1.732，

有=2.236，布仪2.449）

（2）当可疑船只C由（1）中位置向正北方向航行时，是否会闯入安全警戒区域？请通过计算作答.

【答案】（1）27.3

（2）不会

【解析】

【分析】（1）过点C作CQ，y轴于点。，由题意可知/C4O=45°,ZCOD=60°,即可得AO=CD,

设OO=x,则C£>=10+x,再利用解直角三角形，即可求得。。与CO的长，据此即可求解；

（2）过点C作正北方向线，过圆的圆心。'作轴于点E,交正北方向线于点凡交圆。'于点M,

根据矩形的判定与性质即可求得EF=CD=27.3,再根据相似三角形的判定与性质，即可求得EO'长，根

据勾股定理即可求得直径A6的长，即可求得EM的长，再与EF进行比较，即可解答.

【小问1详解】

解：如图：过点C作。轴于点。，

由题意可知NCA£>=45。，ZCOD=60°,

/.CAZ）是等腰直角三角形,

AD=CD，

A(0,10),

..Q=10,

设OD=x,则AO=CD=l()+x,

tanZ.COD----,

OD

tan60°=I"”=VJ,

x

解得尤=5（G+1）,

即00=5（6+1）,CD=1O+5（V3+1）=15+573,

cos4cOD=—

OC

OC=———=5更+5=10V3+10«10xl.732+10®27.3

cosZCOD1，

2

故监测点。到C船的距离为27.3；

【小问2详解】

解：如图：过点C作正北方向线，过圆的圆心0'作所_Ly轴于点E,交正北方向线于点F,交圆。'于

点M，

..•四边形DCFE是矩形，EF//OB,

EF=CD=27.3,

AEO'sAOB,

.EO'AO'\

•.,4(0,10),5(20,0),

:.0A=W,03=20,

AB=y/OA2+OB2=A/102+202=1075>E(X=goB=1x20=10,

O'M=-AB=5y[5,

2

EM=E0'+0'M=10+5后a10+5x2.236^21.2，

■.•21.2<27.3,

，EM<EF,

••・可疑船只不会闯入安全警戒区域.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，圆周角定理，直线与圆的位置关系，矩形的判定与性质，相似三角形

的判定与性质，解直角三角形，作出辅助线是解决本题的关键.

24.如图，AABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,A8=AC=2,点M是AC的中点.点P从点B出

发，沿BTA-何的路径向点M运动，点Q在射线BA上，连接"Q、PC、QC.当点尸到达点M时停

止运动.在点尸整个运动过程中，点。都满足设点的运动路程为

/CQ4/PC3.Px,S^MAQ=y,.

（1）直接写出弘与x的函数表达式，并补全表格中X的值，以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐

标系内描出相应的点，并在x的取值范围内画出y的函数图象:

（2）写出函数X的一条性质：

x（0<x<2）

在直角坐标系中已经画出以=”的函数图象，结合和乂的函数图象，请直接写出

（3）4—x（2<x<3）X

当乂<%时，X的取值范围.（结果取精确值）

【答案】（1）1,3,1；1,1；

3

（2）当0<xW2时，弘随x的增大而减小，当2<xW3时，乂不变（答案不唯一）

小V17-1.

（3）-----<x<3.

2

【解析】

PHy

【分析】（1）①当点尸在AC上运动时，求出tanZBCP=——=——，得到

CH4-x

AQ2X

tanACQB=tanZPCB=--=—=--,即可求解；②当点P在AM上时，则NC08=NPC8=45。，则

AQAQ4-x

y,=^AMAQ,即可求解；

（2）看表格数据即可得出结论；

（3）观察函数图象即可求解.

【小问1详解】

解：A8C是等腰直角三角形，

.•./6=45。，BC=y[2AB=2>/2>

点M是AC的中点，

AM=1.

①当点P在AC上运动时，此时0〈尤W2,

图1

则BH=PH=—BP=—x,

22

jy

贝ijC”=C8-AH=20,

2

PHcxx

则tan/3cp=——=——2=——

CH2G2j

2

•/Z.CQB=NPCB,

Ar2x

tan/CQB=tanZPCB=—=—=----

AQAQ4-x

8-2r

解得：AQ=J^,

X

11R-2r4

则yJAM.AQJXIX=

22xx

14

当％=一时，%=一一1=7,

2%

4

同理可得：当X=1时，乂=一一1=3,

x

3.45

工=不时，X=——1t=二，

2尢3

4

x=2时，y=-1=1；

x

②当点尸在4M上时，此时2Vx<3,

则/CQ3=NPC8=45。，

则AQ=AC=2,

则X=：.AM.AQ=gxlx2=l,

当x=一时，X=1,

2

当x=3时，y=1，

故答案为：7,3,1；1,1；

3

【小问2详解】

从表格看：当0<xW2时，,随X的增大而减小，当2<龙43时，X不变（答案不唯一），

故答案为：当0<%42时，乂随x的增大而减小，当2<xW3时，％不变（答案不唯一）；

【小问3详解】

画出X的函数图象如下（图象加粗的部分）：

4

联立凶=--1和y=x并整理得:

X

x~+x—4=0,

解得：尤=正二1(负值已舍去)，

2

从图象看，当X<>2时，X的取值范围为：当二<x<3.

【点睛】本题考查了反比例函数综合运用，涉及到解直角三角形，反比例函数的基本性质，三角形的面积等

知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题.

25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=g/+云+，与x轴交于A(T,O),8(4,0),与)，轴交于点

C,连接BC,。为抛物线的顶点.

备用图

(1)求该抛物线的解析式;

(2)点P为直线8c下方抛物线上的一动点，过尸作于点E,过户作PF_Lx轴于点凡交直

线于点G,求PE+PG的最大值，以及此时点尸的坐标；

(3)将抛物线y=gx2+-+c沿射线C8方向平移，平移后的图象经过点“(2,-1),点M为。的对应

点，平移后的抛物线与y轴交于点N,点。为平移后的抛物线对称轴上的一点，且点。在第一象限.在平

面直角坐标系中确定点R,使得以点M,N,Q,R为顶点的四边形为菱形，请写出所有符合条件的点R的

坐标，并写出求解点R的坐标的其中一种情况的过程.

1,3

【答案】(1)y=-f一二%—2

22

(2)PE+PG的最大值为九5+2,此时点F的坐标为(2,-3)

5

(3)(7,4)或(0,_与或伍7吗_17］见解析

I16J(28)

【解析】

【分析】(1)根据抛物线丁=(/+&+。与x轴交于点A(-1,0)、8(4,0)两点，即知抛物线的表达式为

113

'=/(尤+1)(%—4),即y=-x2--x-2；

(2)证明APEGBOC,根据相似三角形的性质得出PE=2且PG，设出尸点的坐标，利用二次函数

5

的性质求最值即可；

(3)先根据平移规律求出平移后的抛物线的解析式，以及点M,N的坐标，然后设出点。的坐标，根据菱

形的性质求出。的坐标，即可得点R的坐标.

【小问1详解】

•••抛物线y=+区+。与x轴交于4(-1,0),3(4,0),

抛物线的解析式为y=5(x+1)。-4),即y=5Y-/x一2；

【小问2详解】

123.

y=—x——x-2,

22

令x=0,则y=-2,

C(0,-2)

设直线的解析式为：y^kx+a,

把8(4,0),。(0,-2)代入y=Ax+a,得：

4攵+。=0

'a=-2'

k=-

解得，\2,

a=-2

直线BC的解析式为：y=g无一2；

•.•PFlx轴，

.•.PE〃y轴

ZPGE=NBCO，

PEIBC,

：.NPEG=ZBOC=90°,

PEGBOC,

PEPG

PEPG

..丁6+22

:.PE=^PG，

5

:.PE+PG=^-PG+PG

5

设尸(x,—x~—x~2,则G[X,—x—21,

122)I2)

PG=-x-2-\-x2--x-2\^--x2+2x^--(x-2]2+2,

2V22J22V7

...当x=2时，PG的最大值为2,

PE+PG的最大值为2叵PG+PG=递+2，此时点P的坐标为(2,-3)；

55

【小问3详解】

13

•.•将抛物线＞=2/一2尤一2沿射线CB方向平移，C(0,-2),B(4,0),

设抛物线y=-2向上平移机个单位，向右平移2m个单位，

...新抛物线了的解析式为y'=；(x—1—2加),

•••平移后的图象经过点，(2,-1),

-2----2m+m-----1,

2(2J8

解得，机=1或-1(不符合题意，舍去)

.•.新抛物线y的解析式为y'=g(x—g)-y,

.•.点点N的坐标为(0,4),

设

MN2=(1)+(4+*，MQ2=(〃+*)，NOZUE]+(4一〃)2,

、2/、2/、2

(+(4一“)2=闫+14+舅，

解得，n--或(舍去)

88

此时，MQ、NR为对角线,

.・.R7,4)；

g+("〃)2=(〃+*)，

②当MQ=NQ时,

31

解得，n=—

16

此时，MN、RQ为对角线,

③当MN=MQ时，(gj+(4+/j=(〃+*

解得，〃=7病-17或二17一7国（舍去）

88

此时，MR、NQ为对角线,

?),N(0,4),Q’77厢-17、

n(77765-17^

(28J

综上所述，点R的坐标为（7,4）或（0,-，1或’77而-17、

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了