【数学】湖北省孝感某中学2020-2021学年高二（下）调研试卷（2月份）（解析版）

湖北省孝感高级中学2020-2021学年

高二（下）调研试卷（2月份）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.（5分）已知复数z满足iz=l-i,则|z|=（）

A.1B.V2C.2D.4

2.（5分）将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现1次反面朝上”的概率记为p,

现采用随机模拟的方法估计p的值：用计算机产生了20组随机数，其中出现“0”表示

反面朝上，出现“1”表示正面朝上，结果如下，若出现“恰有1次反面朝上”的频率记

为/，则p,/分别为（）

111001011010000111111111101010

000101011010001011100101001011

A.3,3B.3,7r33D.反，L

8Io8204"10420

c、2021_,,2,,2021

（5分）若（1-2x)—a()+a\x+a2X+…+。2021工，则4]+〃2+〃3+…+〃2021=(

A.2B.-1C.2D.-2

4.（5分）下列命题中正确的是（）

A.命题Fx（）20,xoVsiaro"的否定是"VxVO,x2sinx”

B.已知Z与E为非零向量，则是与E的夹角为锐角”的充要条件

C."x<0”是“不等式上<1成立”的必要不充分条件

x

D.己知例：x>3,N：x>\,则M是N的充分不必要条件

5.（5分）有5名同学从左到右站成一排照相，其中中间位置只能排甲或乙，最右边不能排

甲，则不同的排法共有（）

A.42种B.48种C.60种D.72种

6.（5分）如图，以垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A,8的任意一点，

AEJ_PC垂足为E,点尸是P8上一点，则下列判断中不正确的是（)

B.AELEF

C.ACVPBD.平面AEF_L平面P8C

7.（5分）已知正三棱柱ABC-A\B\C\的底面边长为若此三棱柱外接球的表面积为5m

则异面直线AG与B4所成角的余弦值为（）

A.AB.区C.-AD.-

814814

22

8.（5分）设椭圆C三一且_=1（4Q0）的两个焦点分别为Q,6,若在x轴上方的

2,2

ab

C上存在两个不同的点M,N满足NQMF2=NF1NF2=Z2L，则椭圆c离心率的取值范

3

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.（5分）下列说法错误的有（）

A.随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值

B.在同一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生

C.任意事件4发生的概率P（A）满足0<P（A）<1

D.若事件A发生的概率趋近于0,则事件A是不可能事件

10.（5分）在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名生的参赛成绩进行统计，可得到如图

所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,

[80,90）,[90,100J,60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表

值，则下列说法中正确的是（）

组距

0.030

0.020b.........~Hi-

0.015卜…「

0.010-------------H——

0005kr-|IIIII

o40506070809000r成绩

A.成绩在［70,80）的考生人数最多

B.不及格的考生人数为500

C.考生竞赛成绩的众数为75分

D.考生竞赛成绩的中位数约为75分

11.（5分）首项为正数，公差不为。的等差数列｛斯｝,其前〃项和为S”现有下列4个命

题，其中正确的有（）

A.若Sio=O，则$2+S8=0

B.若S4=Si2，则使Si>0的最大的〃为15

C.若&5>0,516<0,则｛8｝中S8最大

D.若S7Vs8，则S8<S9

22

12.（5分）已知AI、A2是椭圆C：手比-=1长轴上的两个顶点，点P是椭圆上异于4、

A2的任意一点，点。与点P关于x轴对称，则下列四个命题中正确的是（）

A.直线以I与必2的斜率之积为定值一支

3

B.西•成〈0

C.△雨洪2的外接圆半径的最大值为二返

6

D.直线布］与QA2的交点M在双曲线（_（=1上

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）2020年新冠肺炎疫情期间，为停课不停上教课学习效果，组织了一次网上测试.并

利用分层抽样的方法从高中3个年级的学生中随机抽取了150人的测试成绩，其中高一、

高二年级各抽取了40人,50人，若高三年级有学生1200人，则该高中共有学生____人.

14.（5分）在（x+1）（"+1）§的展开式中，，的系数为A,则。=.

15.（5分）河北疫情爆发后，某医院抽调3名医生，5名护士支援河北的三家医院，规定每

家医院民生一名，护士至少一名，则不同的安排方案有种.

16.（5分）己知曲线M上任意一点尸到点尸（0,2）的距离比到x轴的距离大2,直线/：

y=fcr+2与曲线M交于A,C两点，与圆M-4），+3=0交于8,C两点（A,B在

第一象限），则|AC|+4|BC|的最小值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）己知△48C中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，有“+。2=/+庆.

（1）求角A的大小；

（2）若等差数列｛斯｝中，ai=2cosA,恁=9,设数列［---｝的前〃项和为S”，求证：

1<S<1.

32

18.（12分）在二项式（4+2）”的展开式中，前三项的系数和为73.

x

（1）求正整数〃的值；

（2）求出展开式中所有x的有理项.

19.（12分）（1）有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在

每一层离开电梯是等可能的，求2个人在不同层离开的概率.

（2）柜子里有3双不同的鞋，随机地取出2只，求事件“取出的鞋一只是左脚的，一只

是右脚的，但他们不成对”的概率.

20.（12分）2020年12月1日23时11分，我国探月工程嫦娥五号探测器降落在月球表面

预选着陆区.在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定的环

月轨道，并于12月17日1：59分精准返回着陆.期间，历经23天、往返路程超过76

万公里.嫦娥五号任务的圆满完成，实现了我国航天史上的多项重大突破.

为了进一步培养中学生对航空航天的兴趣和爱好，某校航空航天社团在本校高一年级进

行了纳新工作.前五天的报名情况如表：

时间（第X天）12345

报名人数y（人）36101318

数据分析表明，报名人数与报名时间具有线性相关关系y=bx+a，据此请你解决以下问

题:

（1）求y关于x的线性回归方程，并预测第8天的报名人数（结果四舍五入取整数）;

（2）为了更好地完成遴选任务，由专家和社团现有的部分成员组成评审组，已知现有社

团成员6人，其中女生2名，男生4名，现欲从中任选2人作为面试评委，求选出的2

人中恰有一个男生和一个女生的概率.

nn

》（x「x）（y「y）£x4y.-nxy

i=li=l

参考公式：b

nn_>=y-br

X（x「-x）2922a

>.xrnx

i=li=l

21.（12分）如图，四棱锥P-ABC。中，侧面抬。为等边三角形且垂直于底面ABC。，AD

=2BC=2,/8AO=/ABC=90°.

（1）证明：PCLBC；

（2）若直线PC与平面附。所成角为30°,求二面角B-PC-。的余弦值.

222

22.（12分）已知椭圆C：三逐『l（a>b>0）的离心率与双曲线X2-匚=1的离心率互

a2b23

为倒数，A,8分别为椭圆的左、右顶点，且|A8|=4.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知过左顶点A的直线/与椭圆C另交于点。，与y轴交于点E,在平面内是否存

在一定点P，使得而•而1=0恒成立？若存在，求出该点的坐标，并求△AOP面积的最大

值；若不存在，说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.【解答】解：I•复数z满足反=1-i,|i|»|z|=|l-ib

则|z|=|l-4=血，

故选：B.

C1

2.【解答】解：事件“恰出现1次反面朝上”的概率记为p,则p=才="|,

“恰有1次反面朝上”的频数为7,所以厂工，

20

故选：B.

3.【解答］解：由(1-2x)一冈=。0+。11+〃2工~+…+。2021/°21，

令X=0得1=。0；令X=1得-1=。()+。1+。2+…+。2021，

.•・。］+。2+…+。2021=-2・

故选：D.

4.【解答】解:A.由命题“电20,M)Vsiar"的否定是"VxNO,xNsinx”,因此不正确；

B.若Z与E为非零向量，则嗯兀>0"=之与E的夹角为锐角或为0,所以吗,E>0”

是“二与E的夹角为锐角”的必要不充分条件，因此不正确；

C.不等式工<1成立ox<0,或x>l,因此“XVO”是“不等式上<1成立”的充分不

xx

必要条件，因此不正确；

D.M-.x>3,N：x>\,则A/nM反之不成立，因此M是N的充分不必要条件，正确.

故选：D.

5.【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：

①甲在中间位置，将剩下4人全排列，安排到两边位置，有A44=24种情况，

②乙在中间位置，甲不能在最右边，甲有3种情况，将剩下3人全排列，安排到其他位

置，此时有3A3，=18种情况，

故有24+18=42种不同的排法；

故选：A.

6.【解答］解：在A中，为圆上异于A,B的任意一点,

C.BCVAC,

,：PA1BC,PAQAC=A,

：.BC_L平面PAC,

故A正确；

在B中，：8C_L平面B4C,AEu平面以C,

C.BCLAE,

'.'AE1.PC,PCnBC=C,

；.AE_L平面PBC,

「EFu平面PBC,

J.AELEF,

故B正确；

在C中.,.若AC_LPB,

则AC_L平面PBC,

则ACLPC,与4cLR1矛盾，

故AC与PB不垂直，

故C错误；

在D中，：AE_L平面P8C,AEcffiAEF,

平面AEF_L平面PBC,

故D正确.

故选：C.

7•【解答】解：•.•正三棱柱ABC-A\B\C\的底面边长为此三棱柱外接球的表面积为5K,

.••此外接球半径R=、叵=返

丫4兀2

取3C中点£>,连结AQ,设△A8C重心为G,三棱柱外接球球心为0,

取A4中点E,连结0E,A。，

则4。=/?=返，OE=4G=

2

C.AA\=2A\E=2

以A为原点，在平面A8C内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AAi为z轴，建立空

间直角坐标系，

则A(0,0,0),Ai(0,0,1),B(3,返，0),C|(0,5/3,1),

22

AC；=(0,1)'(-考""

设异面直线ACi与BA1所成角为。，

.•..1

lAC^BAj_7工

则COS0=

1记卜西1y.y8

.•.异面直线AG与BAi所成角的余弦值为」.

8

故选：A.

8.【解答】解：如图，当点M在上顶点A时，NQMa最大，

要使在x轴上方的C上存在两个不同的点M,N满足/QMF2=/FIN&=2上,

3

只需竺，即乙4尸2Q<三

36

22

=>3Z?2<C2=>3(a2-c)<c,

=>3〃2<4c2,

则椭圆C离心率的取值范围是：(返，I),

2

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，有选错的得()分，部分选对的得3分.

9.【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，A正确，

对于B,基本事件是互斥的，在同一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生，B正

确，

对于C,任意事件A发生的概率P(A)满足0<P(A)<1,C错误，

对于D,不可能事件的概率为0,D错误，

故选：CD.

10.【解答】解：由频率分布直方图可知，成绩在［70,80］的频率最大，

因此成绩分布在此的考生人数最多，所以A正确；

成绩在［40,60］的频率为0.005X10+0.015X10=0.2,

所以不及格的人数为2000X0.2=400(人)，所以B错误；

成绩在［70,80］的频率最大，所以众数为75,即C正确；

成绩在［40,70］的频率和为0.4,

所以中位数为70+10X2」、73.33,即D错误.

0.3

故选：AC.

11•【解答】解：根据题意，依次分析4个式子:

(a[+aI。)X10

对于A,若5io=O,则Sio==0,则ai+aio=O,即2ai+9d=0,则出+品

2

=(2。1+“)+(8ai+28d)

=10ai+29dK0,A不正确;

对于B,若54=512，则S|2-S4—0,即怒+。6+...+。1|+。12=4(。8+49)=0，由于。|〉

0,则“8>0，«9<0,则有S15

15(a[+a]5)16(a[+a[6)

>0,Si6==0,故使S“>0的最大的”为15,B正确;

22

15(a[+a15)16(a[+ai6)

对于C,若Si5>0,Si6<0,则S]5=，=15a8>0，S16=

22

(a^+ag)X16

<0,则有偿

2

>0,。9<0,则｛&｝中$8最大；c正确;

对于D,若S7Vs8，即a8=S8-S7>0,而S9-S8="9，不能确定其符号，D错误;

故选：BC.

12.【解答】解：设p(x0,y0),

22

VAi>A2是椭圆C：工一+^-=1长轴上的两个顶点.二小(-2,0)A2(2,0)

2

21_X_n2-

yyy14-4,故A不正确.

则kPAkPB=。：—。■—。=---=---

2

x0+2X0-2XQ2-4XQ-44

22=2

由透(-2-冲，-yo)(2-即，-y0)=x0+y0-4jx0-l<0-故B

正确.

PA2=PA\=sinZB4|A=^.»由正弦定理:

当P在短轴顶点时，442=4,2

V7

V7

-=2R

sin/PA]A

2

可得△力1A2的外接圆半径的最大值R=1返；故C正确.

6

点Q与点P关于x轴对称，设Q（即，-y0）,直线PA\与的方程分别为:

y=：O（x+2）…①

2+X。

y

y=90（X-2）……②

2-x0

22

2y0（X-4）

①②两式相乘：可得------.

3x0

由X2p2

x。3

2222

带入双曲线,_1_=1，即直线网1与。4的交点M在双曲线?-《-=1上;故D正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.【解答］解：由已知得高三年级抽取的学生数为150-40-50=60,

设该高中的学生总数为〃，则6。J50,解得〃=3000.

1200n

.•.该高中共有学生3000人.

故答案为：3000.

14.【解答】解：:（x+1）（办+1）5的展开式中，7的系数为c&.a+c2・J=15,

UU

求得a—1,或a—-—,

2

故答案为：1或-3.

2

15•【解答】解：根据题意，分2步进行分析：

①将3名医生安排到三家医院，有43?=6种安排方法，

②将5名护士分为3组，安排到三家医院，

若分为3、1、1的三组，有CSSX&'MGO种分法，

若分为2、2、1的三组,XA33=90种分法,

则护士有60+90=150种安排方法，

则有6X150=900种不同的安排方案,

故选：A.

16.【解答】解：♦..曲线M上任意一点P到点尸（0,2）的距离比到x轴的距离大2,

曲线M上任意一点P到点尸（0,2）的距离与到直线y=-2的距离相等,

则曲线M为抛物线，其方程为/=8y,焦点为尸（0,2）,

则直线y=kx+2过抛物线的焦点F,

当上=0时，\AF]^\DF]=4,则+1।

|AF||DF|2

当kWO时，如图，过A作AKLy轴于K,设抛物线的准线交y周于E,

则|EK]=\EF]+\FK\=-p+\AF\cofiZAFK=\AF\,得|AF|=----J----,

1-cosZAFK

则上£2丝还，同理可得U^J+c°s/AFK,

lAFlp|DF|p

.1121

'"lAFl'|DF|TV

化圆Mx2+y2-4y+3=0x2+(y-2)2=1,则圆N的圆心为凡半径为1,

\AC\+4\BD\=\AF]+\+4(|DF|+1)=|A/q+4|O/q+5

4DF

=2C\AF\+4\DF])X(-rJ^i-4n-A1-)+5=2(5+-L^-L+JJ)+5

lAFl|DF|iDFllAFl

R>25(+5+22W.fDlFM|3|AMF|))+55=23.

当且仅当|AF|=2|O匀时上式等号成立.

...|AC|+4|8£>|的最小值为23,

故答案为：23.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.【解答】解：（1）•.•/+C2=/+儿，

,b2^+c2-a2_1

cosA-

2bc2

XVA6（0,IT）,

.-K

••A=----•

3

TT

（2）由⑴知a]=2cosA=2cos~“=L

设等差数列｛斯｝的公差为d,

,.・。5=〃1+（5-1）d=9,

・"=2,

^=1+2（H-1）=2n-1,

..1_1二1z11s,

anard-l（2n-l）（2n+l）2（2n-l）（2n+l）

・「"、"

Tn7（l与1？11*112n1+l）7（111^）＜亍

显然」—为递减数列，

2n+l

故1一」为递增数列，

2n+l

故Sn4（1另1）的最小值为S1卷，

故卜％时

18•【解答】解：（1）展开式的通项公式为〃+i=Ck（右）""（2）&

nx

则前三项的系数和为1+2C：+4C：=73，

即1+2M+2/I（n-1）=73,

得2〃2=72,得/=36,得〃=6,

即正整数〃的值为6.

06-3k

（2）则通项公式为〃+i=Ck（4）（A）k=C^2kx2,

6x6

当Jt=o时生配=3,当上=1时殳生=3,当无=2时，生邈_=0,当k=3时殳也处=

22222

-3,当k=4时殳@-=-3,当k=5时@二组=-且，当k=6时殳迦=-6

22222

则所有X的有理项为八=/,73=60，75=240X-3,77=64X-6.

19.【解答】解：(1)试验发生包含的事件是两个人各有6种不同的方法，共有36种结果,

两个人在同一层下有6种结果，

两个人在同一层离开电梯的概率是a=1.

366

2个人在不同层离开的概率为P=

66

(2)可以先选出左脚的一只有c；种选法，然后从剩下的右脚中选出一只有c；种选法，

所以一共有种不同的取法，

所以事件“取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但他们不成对”的概率为:

C3C22

P干

20.【解答】解：(1)由题意，计算(1+2+3+4+5)=3,

5

y=—X(2+6+10+13+18)=10,

5

5____

工xy-5x・y

所以2_187-5X3X1037,,7

0-255-5X910

£x-5,x

i=li

a=y-b《=l°-3.7X3=-1.1,

所以y关于x的线性回归方程为y=3.7x-1.1,

计算x=8时，y=3.7X8-1.1=28.5七29,

即可预测第8天的报名人数约为29人；

(2)设社团成员6人中女生2名为A、B,男生4名为c、d、e、f,

现从中任选2人，基本事件为AB、Ac、Ad、Ae、A/、Be、Bd、Be、Bf、cd、ceycf、de、

df、球共15种，

选出的2人中恰有一个男生和一个女生的基本事件是Ac、Ad,Ae、Af,Be、Bd、Be、Bf

共8种，

故所求的概率值为P=@.

15

21.【解答】解：（1）取A。的中点为0,连接P0,C0,

,.•△布。为等边三角形，：.POLAD.

底面A8CO中，可得四边形A8C0为矩形，.•.C0_LA£>,

,：ponco=o,二人。，平面POC,

：PCu平面POC,ADLPC.

又AQ〃BC,所以PC_LBC…（6分）

（2）由面％£>_1面438,PO_LAO知，.\P01WABCD,OP,OD,0c两两垂直，

直线PC与平面以。所成角为30°,即NCPO=30°,由AQ=2,知POf/^，得。。=