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文档简介
绝密★考试结束前
【2023届新高考考前模拟冲刺卷】模拟冲刺仿真卷02(新高考通用)
数学
(考试时间:120分钟试卷满分:150分)
2023年高考临近,在原有江苏省、广东省、湖南省、湖北省、山东省等10个省市纳入新
高考范围基础上,浙江省高考数学今年从新高考自主命题卷调整为新高考全国卷,安徽省、
山西省、吉林省、黑龙江省、云南省,5省高考数学今年从老高考全国卷调整为新高考全国卷,
针对新高考出题的最新动态和命题趋势,特推出《2023届新高考考前模拟冲刺卷》以供大家
参考!
一、2023高考四大趋势
❶落实立德树人,鲜明体现时代主题
❷高考由“考知识”向“考能力”转变
❸聚焦“关键能力”和“思维品质”的考察
。高考由“以纲定考”到“考教衔接”转变
数学:出题方式发生重大变化,数学考试出题将加入复杂情景,重点强调数学思维方法考察,比以往
的数学难度更大。
二、2023年新高考数学命题方向
<|新高考数学卷以情境作为依托,呈现出新气象,营造出“理念新、内容新、结构新”的新氛围。
国高考卷预期会继续强化情境类试题的命制,侧重知识的应用性:情境类试题可以分为:课程学习情境、
探索创新情境、生活实践情境。
跟意板块知识均有可能命制压轴题,不固化试题的位置;
❹!、题的最后两题不再是函数唱主角,数列、三角、立体几何、新定义等内容将登场
教材有而新教材删减的内容,原则上不会考查,新高考主干知识的试题量明显增加。
三、2022年新高考卷试题整体分析
今年数学新高考I卷,难度堪称十几年来的最高,今年数学新高考I卷试题难度大,主要体现在基础
性题型偏少,难题量比往年增加,总体计算量比往年增加较大。今年新高考I卷题型难中易比例大概4:3:3,
体现出综合性、创新性的考查。在考查学科素养方面,突出理性思维和数学运算的考查。在试题的设置上,
体现了数学思维的灵活性以及数学思想方法的应用,增加了综合性、探究性和创造性试题内容,突出数学
学科在高考中的选拔性功能。今年数学新高考I卷高考很好的贯彻了深化考试内容改革.试题设置上,给
人第一感觉就是中规中矩,考题中没有出怪题、偏题,但真正在两个小时内要完成考卷,考出理想分数却
是非常不容易,其中,除了考题总体计算量偏大外,更加体现了命题者在问题设置、考查的角度上非常有
考究。试题从考查的知识点来看,都是高中数学的主干知识,但题目的问法更加灵活,这就意味着我们更
加需要重视学生对数学知识的理解和思维能力的培养。
四、2023年高考备考建议
❶重视教考衔接
❷研究高考命题方向
❸夯实基础,落实“四基”
。加强学生运算素养的培养
❺重视学生思维的训练
2022年新高考数学卷,很好地落实了“立德树人,服务选才,引导教学”的核心功能,坚持高考的核心
价值,突出学科特色,重视数学本质,体现新课改理念.试卷的灵活性难度有所提高,计算量也相对偏大,
对学生的心理素质要求较高。此外,试卷命题符合高考评价体系要求,很好地发挥了高考的选拔功能,对
中学数学教学改革发挥了积极的导向作用。我们教师要指导学生从整体上架构起高中知识体系,系统学习
各章节知识,打通各个章节的联系,综合学习和运用所学知识,才能在考试时游刃有余。2023年新高考数
学备考中,大家一起加油,为学生决战高考保驾护航。
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回
第I卷(选择题)
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的)
1.已知集合〃={乂€2|04%<4},%={1,2,3,4,5},则McN=()
A.{0,1,2,3}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{152}
【答案】C
【分析】直接根据交集的定义即可得解.
【详解】因为M={xeZ|04x<4}={0,l,2,3},
所以MN={1,2,3}.
故选:C.
2.若复数z=l-i,则|z?-2z|=()
A.0B.2C.4D.6
【答案】B
【分析】根据复数的乘方运算以及减法运算求出Z2-2Z,然后利用模长公式即可求出结果.
【详解】由题意可得:z2=(l—i)2=-2i,则22-22=(1-。2-2(1-1)=-2一2+方=一2,所以归一22卜卜2|=2.
故选:B.
3.已知抛物线丁=2内(/?>0),0为坐标原点,以。为圆心的圆交抛物线于A、8两点,交准线于M、N
两点,若|AB|=4夜,|MN|=2石,则抛物线方程为()
A.y2=2xB.y2=4x
C.j2=8xD./=10x
【答案】C
【分析】设圆。的半径为,根据已知条件可得出关于2的方程,求出正数。的值,即可得出抛物线的方程.
【详解】设圆0的半径为,抛物线的准线方程为》=-4,由勾股定理可得r=、忙+5,
2V4
因为|旗|=4&,将),=土20代入抛物线方程得2Px=8,可得x
P?<16。
不妨设点则r=|OA|=J,+8,所以,—+5=—+8
4P2解得。=4,
p>0
因此,抛物线的方程为y?=8x.
故选:C.
4.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作,其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆
锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为4及兀,圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上,则该球的体积为
()
832
A.—JiB.—7iC.164D.324
33
【答案】B
【分析】设球半径为R,圆锥的底面半径为「,母线为/,由直角圆锥的侧面积为4及兀可求出/-2,
/=0r=2及,再求出圆锥的高即可知,+(2—R)2=R2,解得R=2,即可求出球的体积.
【详解】设球半径为R,圆锥的底面半径为「,若个直角圆锥的侧面积为4垃兀,
设母线为/,贝打2+/2=4/=/=及r,
所以直角圆锥的侧面积为:-x2^r-/=-x2^r->/2r=4>72^,
22
可得:r=2,/=J5r=2^/5,圆锥的图BC\=\]F-/=J8-4=2,
由,+(2-R)2=R2,解得:R=2,
所以球。的体积等于界/?3=仔、8=子,
故选:B
【答案】B
【分析】结合图象,先判断奇偶性,然后根据x趋近0时判断排除得选项.
【详解】解:〃x)="Lsin2x的定义域为(—8,0)U(0,+w),
e-1
./(r)=1^-sin[2(-x)]=芸.sin2x=/(x),\/⑴是偶函数,排除A,C.
又x>0且无限接近0时,—>0Ksin2x>0,••・止匕时/(x)>0,排除D,
ex
故选:B.
6.香农定理是所有通信制式最基本的原理,它可以用香农公式C=81og[l+5)来表示,其中C是信道支
持的最大速度或者叫信道容量,8是信道的带宽(Hz),S是平均信号功率(W),N是平均噪声功率(W).
已知平均信号功率为1000W,平均噪声功率为10W,在不改变平均噪声功率和信道带宽的前提下,要使信
道容量增加到原来的2倍,则平均信号功率需要增加到原来的()
A.1.2倍B.12倍C.102倍D.1002倍
【答案】C
(分析】根据题意解对数方程创鸣(1=2Blog2101即可得解.
【详解】由题意可得S=100W,N=10W,则在信道容量未增加时,信道容量为
C,=filog2^l+^=Blog,101,当信道容量增加到原来的2倍时,6=81呜(1+志)=25则
2
log2101=log^l+^\即l+*10F,解得s,=102000,则平均信号功率需要增加到原来的102倍.
故选:C.
7.已知等差数列{q}的首项%=1,且(%+炉+3(%+1)=2,(能一厅+3。-1)=2.若勿=a„(%+2)(31',
且对任意的〃wN*,均有〃e3,句,则。-。的最小值为().
35
A.1B.—C.2D.一
22
【答案】C
【分析】先根据已知条件得到的+1=%-1,可得到等数列{%}的公差d,进而得到数列{4}的通项,再得
到2,并利用作差法得到数列他,}的增减性,即可得到打的范围,根据题意即可得到6-。的最小值.
【详解】(%-炉+3(%-1)=2,(g+1)3+3(%+1)=2,
二电+1,%-1是方程x3+3x=2的两根.
易知函数/(x)=丁+3x是R上单调递增的奇函数,
.•方程d+3x=2有且仅有一个根,
故4+1="4-1,即4-a2=2,
•••等差数列{q}的公差d=L
又4=1,
;•〃="("+2)(;),
・'七一%="("+2)(;)-(〃-1)(〃+呜)
[n(n+2)-2(n-l)
=6)[”(〃+2)-2(”-1)-(〃+1)]=
-n~+2〃+2)
易知当〃=2时,一/+2〃+2>0,
:.b2>b}t
当〃>2时,一??+2〃+2<0,
/.b2>b3>b4
HL3,_,15,335
叩4=5,为=o2,b3=—A:,尻=々,
乙oZJZ.
目当及f4W时,2-0,
•・也e(0,2],
(0,2]c[a,fe].
若匕-a最小,则a=0,b=2,
=2.
故选:C.
【点睛】本题要考查方程的根、函数的性质、等差数列的通项、数列的增减性,考查考生的逻辑思维能力
及分析问题,解决本题的关键是得到%+1=%-L
ar-lnx,x>0
8.己知函数/(》)=若,(x)有两个极值点占,三,记过点A(±Ja)),8(弓,/(弓))的直线的
ax+ln(-x),x<0
斜率为左,若0<A42e,则实数。的取值范围为()
A.(3,eB.1,2C.(e,2e]D.(2,2+g
【答案】A
【分析】当x>0时.,求导,根据AM有两个极值点可得a>0,由奇函数的定义可得f(x)为奇函数,不妨
设%=-演>0,则有々=g,所以B、,l+lna),A,/,-(l+lna)).由直线的斜率公式左的表达式,可得
Z=a(l+ln4),a>,,令〃(a)=a(l+ln4),a>[,利用导数可得〃(a)在[L+s]上单调递增,又由
/2^=O,/2(e)=2e,根据单调性可得实数。的取值范围.
【详解】当x>0时,函数/(x)=ar—lnx的导数为尸(力=〃-5=竺9,
由函数/(x)由两个极值点得a>0.
当0<x<,时,,f(x)<0,f(x)单调递减;
a
当x>:时,/^x)>0,单调递增.
故当x>0时,函数“X)的极小值点为x
当x<0时,,则-x>0,则/(-x)=a(-x)-ln(-x)=-[ax+ln(-x)]=-/(x),
同理当x>0时,也有〃-x)=-〃x),
故/(x)为奇函数.
不妨设&=-百>0,
则有%=:,所以B、,l+lna}可得+
由直线的斜率公式可得k=八七)-)(4="a+Ea),a>0,
X2~X\
又《>0,l+lna>0,所以
e
]SLh(<a)=a[\+Ina),a>—,得”(a)=2+lna=l+(l+lna)>0,
所以h(a)在g+81上单调递增,又由/6)=0,/z(e)=2e,
由0vA:v2e,得力仁卜力⑷4力⑻,所以
故选:A.
【点睛】对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,求解曲线在某点处的切
线方程;(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数;(3)利用导数求函数的最值(极
值),解决函数的恒成立与有解问题,同时注意数形结合思想的应用.
二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多
项符合题目要求。全部选对得5分,有选错得()分,部分选对得2分)
9.已知等腰三角形ABC的面积为6,NA3C=120。,点E,尸分别在线段AC,A8上,点。满足
AD=sin20AI3+cos20AC,其中呵0目,若DEJ.AC,DF//AC,贝lj()
A.£)在线段8C上B.DF-BE>0
C.pF+2CE|=2百D.尸有最大值
【答案】ACD
【分析】对已知条件,进行变形,即可得出A选项正确;找出。尸,8E的夹角或与夹角相等的角,看是否
为锐角即可;易知。F+2CE=CA,只嬖在..A3C中,根据条件,求出AC的长即可,
【详解】由A£j=sin244启+cos24口可得,sin20-BD=cos20-DC,
乂则£>C=tan2/BD,即B。,OC共线且方向相同,所以。在线段BC上,即A正确;
如图,设座:,O尸交于G点,显然有NEGF=NBGD>NGDE,乂,DF,BE^=NEGF,则。尸.跖<0,
B项不正确;
过点£作m_14?,垂足为”,由题意知,CE=HA,DF=EH-则£>F+2CE=EH+CE+H4=CA,
2
在.ABC中,WSVABC=^-BA-BCsinZABC=^-BA=y/3,所以3A=BC=2.
根据余弦定理可得,AC2=BA1+BC2-2BA-BC-cosZABC=4+4-2x4x^-^=12,
所以,AC=2jL贝川。尸+2词=|。卜2百,C项正确;
如图,过8点作3K,AC于C点.设OE=/IBK(O<X<1),
uinnuun2uiruuu、uuuuu
则可知8尸=(1-2)8A,且。E=48K=5(zBA+8C),BF=(\-^BA.
QE.BF=《(R4+BC)(1T)BA=(BA。+8A.BC)
21
=/i(l—2)=H—,
4
当2=g时,有最大值为:,所以D项正确.
故选:ACD.
10.如图,正方体ABCD-。的棱长为2,M为棱RG的中点,N为棱CG上的点,且CN=a(O<a<2),
2
A.当。=一时,AM〃平面8DV
3
B.当a=l时,点C到平面BEW的距离为逅
3
C.当a=l时,三棱键A-5CN外接球的表面积为9万
D.对任意aw(0,2),直线AM与期V都是异面直线
【答案】BCD
【分析】建立空间直角坐标系,对于A,直接求解平面的法向量,判断A”与法向量是否垂直即可,
对于B,直接求解平面BDN的法向量,利用距离公式求解,对于C,连接AC交5D于O,过。作平面ABC
的垂线,则外接球球心在此垂线上,然后利用勾股定理可求出球的半径,从而可求出表面积,对于D,利
用异面直线的定义判断即可.
【详解】如图,建立空间直角坐标系,
22
对于A,8(2,2,0),N(0,2q),4(2,0,0),M(0,l,2),JljlJDB=(2,2,0),DN=(0,2,-),AM=(-2,1,2),设平面BON
的法向量为〃=(x,y,z),
n-DB=2x+2y=0
则《2,令x=l,则―
〃•DN=2y+—z=0
所以AM-〃=-2-1+6。0,所以AM与〃不垂直,所以AM与平面瓦W不平行,所以A错误,
对于B,N(0,2,1),ON=(0,2,1),03=(2,2,0),设平面&)N的法向量为“=(不加马),则
m-DB=2网+2/=0
令再=1,则根=(1,—1,2),
m•DN=2y+马=0
CM〃?瓜
所以点C到平面BDN的距离为d=匚―=—2=三,所以B正确,
\m\763
对于C,连接AC交8。于。,过。作平面A8C的垂线,则外接球球心。'在此垂线匕设三棱锥A-8CW外
接球的半径为R,
则R2=OC2+OO'2=OC2+/1CN]=2+,=2,所以三棱锥4-8。%外接球的表面积为4兀/?2=4兀*3=9兀,
[2)444
所以C正确,
对于D,对任意ae(O,2),因为A,8,何在平面ABCR内,点N在平面A8CQ外,且直线BN与平面ABCR
交于点B,直线A"不经过点B,
所以直线AM与3N都是异面直线,所以D正确,
故选:BCD
11.一个不透明的口袋中有8个大小相同的球,其中红球5个,白球1个,黑球2个,则下列选项正确的
有()
A.从该口袋中任取3个球,设取出的红球个数为则数学期望E(g)=?
O
B.每次从该口袋中任取一个球,记录下颜色后放回口袋,先后取了3次,设取出的黑球次数为",则数学
3
期望£(〃)=:
4
Q
C.从该口袋中任取3个球,设取出的球的颜色有X种,则数学期望E(x)=]
D.每次从该口袋中任取一个球,不放回,拿出红球即停,设拿出的黑球的个数为匕则数学期望4丫)=;
【答案】ABD
【分析】根据给定条件结合随机变量分布列、期望公式,逐项分析、计算判断作答.
C31C)C215
【详解】对于A,。的可能值:0,1,2,3,^=0)=-^-=—,P^=l)=-^=—
C;56C;56f
P©=2)=萼=会,尸《=3)=,=工,则Ee)=0x[+lx^|+2x|^+3x£=?,A正确;
Cg56C856565656568
21
对于B,〃的可能值:0,1,2,3,取球一次取到黑球的概率为工=:,因取球一次有取到黑球和没取到黑
84
球两个结果,
13
因此,7B(3,-),W=-,B正确;
44
对于C,X的可能值:1,2,3,P(X=l)=|j-=^,尸(X=3)=笔C=段,
C85oC856
P(X=2)=1-P(X=1)-P(X=3)=—,则E(X)=lx3+2x羽+3x3=2,C不正确;
56565656
对于D,V的可能值:0,I,2,P(Y=0)=—+-x—=—,P(Y=1)=—x—+—x—x—+—x—x—=—,
88778787687621
…215121.2112111
P(Y=2)=—x—x—+—x—x—xl+—x—x—xlH--x—x—x1=—,
87687687687621
则E(y)=0x3+lx』+2x-L=l,D正确.
721213
故选:ABD
【点睛】方法点睛:判断随机变量是否服从二项分布:
一是要看在一次试验中是否只有两种试验结果,且两种试验结果发生的概率分别为。,1-P;
二是看是否为“次独立重复试验,且随机变量是否为某事件在这“次独立重复试验中发生的次数
12.已知函数/(工)=m(&2+1+*/+3,函数g(x)满足g(-x)+g(x)=6.则()
A./(lg7)+《lgg)=6
B.函数g(x)的图象关于点(3,0)对称
C.若实数。、力满足/(〃)+〃。)>6,则〃+6>0
D.若函数/(x)与g(x)图象的交点为(町匕)、(如无)、(』,%),则玉+»+与+丫2+』+必=6
【答案】AC
【分析】计算得出/(-力+/(力=6,可判断A选项;利用函数对称性的定义可判断B选项;分析函数/(x)
的单调性,可判断C选项;利用函数的对称性可判断D选项.
【详解】对于A选项,对任意的xeR,Vx2+1+x>|^+x>0,
所以,函数/("="4^+q+/+3的定义域为R,
/(-x)+/(x)=[ln(J)+1一,+(一Jr),+3+ln(Jx2+i+犬)+/+3
=In(X2+1—x2)+6=6,
所以,/(lg7)+/^lg^=/(lg7)+/(-lg7)=6,A对;
对于B选项,因为函数g(x)满足g(-x)+g(x)=6,故函数g(x)的图象关于点(0,3)对称,B错;
对于C选项,对于函数〃(x)=ln("TT+x),该函数的定义域为R,
/z(-x)+/?(x)=In^Vx2+1-xj+In+1+xj=In(x2+1-x2)=0,即h(-x)--h^x),
所以,函数〃(x)为奇函数,
当xNO时,内层函数"=J771+x为增函数,外层函数y=ln“为增函数,
所以,函数/?(x)在[0,+»)上为增函数,故函数〃(x)在(T»,0]上也为增函数,
因为函数〃(X)在R上连续,故函数/i(x)在R上为增函数,
又因为函数y=V+3在R上为增函数,故函数/(X)在R上为增函数,
因为实数。、b满足〃。)+〃6)>6,则>6—/®=〃—3,可得a>-b,即a+匕>0,C对;
对于D选项,由上可知,函数/(x)与g(x)图象都关于点(0,3)对称,
由于函数“X)与g(x)图象的交点为(々,/)、(/,4)、(W,%),
不妨设%<々<七,若々工0,则函数f(x)与g(x)图象的交点个数必为偶数,不合乎题意,
所以,x2=0,则、2=3,由函数的对称性可知,点(外,/)、(电,%)关于点(°,3)对称,
则%+毛=0,%+%=6,故%+%+%+%+$+%=9,D错.
故选:AC.
【点睛】结论点睛:判断函数的对称性,可利用以下结论来转化:
①函数/(x)的图象关于点(。力)对称,则〃x)+〃为一》)=如
②函数“X)的图象关于直线x=。对称,则〃x)=/(2a-x).
第n卷(非选择题)
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.在100件产品中,有98件合格品,2件次品,从这100件产品中任意抽取3件,抽出的3件中至少有
一件是次品的抽法的种数为;
【答案】9604
【分析】补集法,考虑“没有次品'’的种数.
【详解】“没有次品''的抽法种数为:味,
至少有一件是次品的抽法的种数为:=9604.
故答案为:9604.
14.在平面直角坐标系xOy中,点4(-2,2),8(-1,1),若直线*+»-2%=0上存在点P使得弘=正出,
则实数m的取值范围是.
【答案】卜0,正]
【分析】利用两点距离公式由=得到*2+y2-4=0,再代入y=-x+2机整理得/_2皿+2疗-2=0,
进而由△2()求得加的取值范围.
【详解】根据题意,设次羽》),则y=-x+2w,
PA=&PB:.\P^=2\PB^,
(x+2)2+(y-2)2=2(x+1)2+2(y_1)2,整理得V+y?-4=0,
将y=-%+2/n代入,整理得Y-2尔+2/-2=0,
由于方程有解,故A20,即(-2〃?)2-4(2/一2"0,即疗-240
解得:-gniM近,即〃w[-点,&].
故答案为:卜0,忘]
15.若〃x)=cos(x-3在区间[-6可上单调递增,则实数。的最大值为.
【答案】
【分析】由xe[-a,a]求出的范围A,根据余弦函数单调性可知4引-万,0],列出不等式组求解出a
的范围即可求其最大值.
【详解】无《[一口同,贝拉一§£一。一§'。一§,
JT冗
由题可知,一。-耳,〃一]口一万叫,
冗、
-a----->-7i
则1{3na41,
万/八3
a---<0
3
则。的最大值为9.
故答案为:y.
16.若关于x的不等式底-a(x+3)-alnxNO恒成立,则实数。的取值范围是.
【答案】[0,e-1
【分析】设〃*)=次'一。(犬+3)—4111怎X>0由题可知〃61血*0,当4=0时,可得〃力=%^>0适合题意,
当。>0时,可求函数的最小值/(可皿而之。即得,当。<0时不合题意,即得.
【详解】设"x)=_re'-a(x+3)—alnx,x>0,由题可知/(x)而n*0,
当。=0时,〃x)=xe*>0,适合题意,所以。=0,
当a>0时,令/'(x())=。,则3正而=4,
此时x«O,Xo)时,尸(与)<0,/(x)单调递减,xe(x0,+a)),/(^)>0,单调递增,
•••/()而=/(%),又*>=%
/.lnx()+x()=ln<7,
/(x)min=/(一)=%e"-a(%+3)-aln^=a-a(3+lna)>0,KfJlna<-2,
解得OcaWe-?,
当a<0时,x—()时,xe'fO,—a(x+3+lnx)f9,故/(x)的值有正有负,不合题意;
综上,实数。的取值范围是[0,e<].
故答案为:[0,e-2].
【点睛】关键点点睛:本题考查不等式恒成立求参数的取值范围,设〃x)=xe'-a(x+3)-alnx,x>0由题
可知/(可而”20,当。>0时,,利用导数可求函数的最小值/(%),结合=a,可得lnxo+xo=lna,进
而通过解/(内)20,即得.
四、解答题(本题共6小题,其中17题10分,18、19、20、21、22题各12分,共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
,.sin-B
17.记_ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,“万=——4-
1+smAi+cos%
2
⑴若C哈7jr,求4
⑵若T,l,求"C的面积.
【答案】(1)A=:
⑵百+1
43
【分析】()利用二倍角公式和两角差的正切公式进行化简整理,得到(;8
1tan2-4-
角形中的角度关系和范围分析求解即可;
(2)根据已知条件求出8,即可由正弦定理求出a,c,再利用二角形面积公式求解即可.
[详解](1)因为得覆二—4A:=一x一、一S—T
l+2sincoscos2+sin-+2sincos
222222
2A.2AA.A.A
cos----sm-—cos-----sin—1-tan-/\
=—2——4=T—i=——^=tan7x]
(AA\2A.A,Ai42'
cos-+sin-cosy+siny1+tan-
sin-B2sin—Bcos—Bsin-Bo
―V=―4,4=_^_=tan%,
3A33A
I+cos-B2cos-Bcos-B
244
・3八
sm-B
cosA兀A
所以由----勺一得tan=tan-^
1+sinA424
14-COSB
2
因为OvA<兀,OvBv兀,A+6+C=TT,C=—,所以A+3=一①,
1212
A-rr47r7rA4
所以0<々<巴,0<-B<-,所以乙-々=±B,即2A+33=兀.②
2442424
联立①②得4=J.
4
(2)因为A=f,所以=0<3(个,0<』8〈",所以三=%,即B=J.
44284416846
sinC=sin(A+8)=sin[;+看].兀兀兀.兀y/2>/3y/215/64-5/2
=sin—cos—+cos—sin-=——x——H-----x—=-----------
464622224
b
由正弦定理三——=4,可得a=4sinA=2后,
sinAsinBsinC
c=4sinC=+°=瓜+6,
4
所以的面积S=gacsin8=;“c=;x20x("+垃)=6
+1.
18.已知数列{4}的前〃项和为S“,a,=|,且满足("-1)S〃+2M“+|=()
c
(1)设4=亍,证明:{4}是等比数列
(2)设%=许一,数列{%}的前"项和为空,证明:Tn<2
4'an+2
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)由题设可得(〃-1)S“+2〃(S向-S“)=0,整理变形得*=:xd,结合等比数列定义即可证
结论;
(2)根据%,S.的关系求%通项公式,进而可得c.=±,在〃22匕放缩%<7二,结合裂项求和证结
rrn(n-l)
论.
【详解】(1)由题设,(n-l)S„+2n(Sa+l-S„)=0,则2琏「(”+1电,
q1q1si
所以滞=5、常,即3声而
故{4}是首项与公比都为g的等比数列.
(2)由(1)}=g)",即S〃=小(;)",
当〃N2时,4=S“一S,I=n.(ly-(„-l).(1)"-'=(2-«).(1/),
显然4=;满足上式,
所以%=(2-〃)•(》",则4,=[(2-〃一2)•(J=n2•4+2,
111„,1111
则C〃=d〃+2“2=d〃+2“24TL2=>,又〃22时%=—<-----=----——,
4-an+24-71-4nnn(n-l)n-1n
所以(<1+(1_*_除..+」7」)=2」且心2,故(<2.
223n-\nn
19.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABC。是直角梯形,4)〃3C,AB_LA£>,PA3为等边三角形,0,E
(1)棱尸。上是否存在一点尸,使得E尸平面POC?若存在,求出一的值:若不存在,说明理由;
FD
⑵若AB=AD=2BC,当二面角尸-/W-D为120时,证明:直线PC与平面所成角的正弦值小于也.
4
PF
【答案】⑴==1时,EF/平面POC
(2)证明见解析
【分析】(1)根据题意,取PD的中点F,连接防,根据线面平行的判定定理即可证明;
(2)根据题意,连接证得他S平面POE,过点。作OQ_LOE,可得OQJ•平面ABC。,以。为
坐标原点,OB,OE,OQ所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,结合空间向量的坐标运算即可证
明.
【详解】(1)
E
BC
当点尸为PD的中点时,E尸)平面POC,此时娑=1
FD
如图,取尸。的中点F,连接EF.
因为£为8的中点,
所以E尸〃PC.
又尸Cu平面POC,EF0平面POC,
所以EF,平面POC.
如图,连接
由条件可知OE"BC〃AD.
又所以OE_LA8.
因为一R4B为等边三角形,。为AB的中点,
所以OP1A5.
故NPOE为二面角P—AB—D的平面角,
所以/POE=120.
又OE,OPu平面POE,OEcOP=O,
所以Ml平面POE.
乂ABu平面ABC。,所以平面ABC。/平面POE.
在平面POE内,过点。作OQLOE,交PE于点。,
则O。,平面ABC。,
所以08,。瓦。。两两垂直.
以0为坐标原点,OBQEQQ所在直线分别为羽y,
z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
设A8=AD=2BC=2a(a>0),则op=下1a,
(63
A(-a,0,0),B(a,0,0),C(aM,0),P0-—a,-a
22
7
,C、(2+n3
所以尸3=a,—a--a,AB=(2a,0,0),PC=a,——a,--a
(22JI22
设平面R钻的法向量为"=(无,%z),
n-AB=2ax=0x=0
则《G3,解得,令Z=l,得y=5则平面R4B的一个法向量为
n•PB=ax+——ay--az=0、y=Gz
22
〃=(0,G,l).
设直线PC与平面P48所成的角为凡
=,-<---
2d5+百4
故直线PC与平面R4B所成角的正弦值小于也.
4
20.2022年12月18日,第二十二届男足世界杯决赛在梅西率领的阿根廷队与姆巴佩率领的法国队之间展
开,法国队在上半场落后两球的情况下,下半场连进两球,2比2战平进入加时赛,加时赛两队各进一球(比
分3:3)再次战平,在随后的点球大战中,阿根廷队发挥出色,最终赢得了比赛的胜利,时隔36年再次成
功夺得世界杯冠军,梅西如愿以偿,成功捧起大力神杯.
(1)法国队与阿根廷队实力相当,在比赛前很难预测谁胜谁负.赛前有3人对比赛最终结果进行了预测,假
设每人预测正确的概率均为;,求预测正确的人数X的分布列和期望;
(2)足球的传接配合非常重要,传接球训练也是平常训练的重要项目,梅西和其他4名队友在某次传接球的
训练中,假设球从梅西脚下开始,等可能地随机传向另外4人中的1人,接球者接到球后再等可能地随机
传向另外4人中的1人,如此不停地传下去,假设传出的球都能接住,记第〃次传球之前球在梅西脚下的
概率为《,求匕.
【答案】(1)分布列见解析,期望为13
41
+-
⑵『5
【分析】(1)由题意X据此可得出分布列及期望;
(2)分析第n-1次传球之前球所处位置的概率,根据互斥事件得出第〃次传球前球在梅西脚下概率的递推
关系,构造等比数列求解.
【详解】(1)因为尸=;,XX可能的取值为0,1,2,3,
p(X=k)=C;,%=0,1,2,3,
故X的分布列为:
X0123
33£
P
8888
13
故风X)=3x==/
22
(2)第〃次传球之前球在梅西脚下的概率为《,易得[=1,鸟=0,
则当〃22时,第n-1次传球之前球在梅西脚下的概率为Ei,第n-1次传球之前球不在梅西脚下的概率为
故£=-0+(1-%),=-卜1+;,即勺
14
又因为6—二=二,
所以{《,-1}是以g为首项,公比为的等比数列,
所以匕44(4)
22
21.已知耳,鸟分别是椭圆C:=+「=l(a>b>0)的左、右焦点,A是C的右顶点,|AK|=2-6,P是椭圆
a"lr
C上一点,M,N分别为线段PR,P鸟的中点,。是坐标原点,四边形OMPN的周长为4.
(1)求椭圆C的标准方程
(2)若不过点A的直线/与椭圆C交于。,E两点,且=判断直线/是否过定点,若过定点,求出
定点坐标;若不过定点,请说明理由.
【答案】⑴标准方程为£+V=l.
4
⑵直线/过定点住0)
【分析】(1)由三角形的中位线性质可得四边形OMPN的周长即为2a,椭圆的右顶点到右焦点的距离为a
-c,b2^a2-c2联立即可得椭圆方程;
(2)分类讨论斜率存在与斜率不存在,当斜率存在时设出直线方程,="+机,联立直线与椭圆方程,由韦
达定理可得%+*2,*因,再由A/j.公=0可得后与力的关系式,将其代入直线方程可得定点,当斜率不存
在时,代入计算即可.
【详解】(1)M,N分别为线段PK,P6的中点,。是坐标原点,
BQM|=|PN|=J「用,|QN|=|PM|=今「用,
.,•四边形0MPN的周长为1PMi+|OM|+|PN|+|ON|=|即|+户用=2。=4,
6Z—2,
/.
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