5.5.2 简单的三角恒等变换（5大题型）精讲（原卷版）

简单的三角恒等变换重点：能用两角和与差公式、二倍角公式、积化和差、和差化积、半角公式进行简单的恒等变换，提升逻辑推理的核心素养；难点：能利用三角恒等变换对三角函数化简、求值，并能进行一些简单的应用。一、升（降）幂缩（扩）角公式利用余弦的二倍角公式变形可得：升幂公式：，降幂公式：，二、半角公式（只要求推导，不要求记忆）＝±，＝±，以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的．；以上两个公式称作半角正切的有理式表示．三、积化和差与和差化积公式1、积化和差2、和差化积四、辅助角公式对于形如的式子，可变形如下：=由于上式中和的平方和为1，故令，则==其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．五、万能公式；；六、三角函数化简“三看”原则七、三角恒等变换综合应用的解题思路（1）将化为的形式；（2）构造（3）和角公式逆用，得(其中φ为辅助角)；（4）利用研究三角函数的性质；（5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．题型一半角公式与万能公式的应用【例1】（2023下·高一课时练习）若，且为第一象限角，则（）A．B．C．D．【变式11】（2023·全国·统考高考真题）已知为锐角，，则（）．A．B．C．D．【变式12】（2023·江苏南京·高一宁海中学校联考期中）已知，且，则（）A．B．C．D．或【变式13】（2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知，则．题型二积化和差与和差化积的应用【例2】（2023·全国·高一课时练习）的值是（）A．B．C．D．1【变式21】（2022·全国·高一课时练习）（）A．+cos4xB．sin4xC．+cos4xD．+sin4x【变式22】（2023·全国·高一课时练习）若，，则的值为（）A．2B．C．－2D．【变式23】（2023·全国·高一课时练习）把下列各式化成积的形式：（1）；（2）；（3）；（4）．题型三辅助角公式及其应用【例3】（2023·甘肃酒泉·高一统考期末）求值：（）A．0B．C．2D．【变式31】（2023·全国·高一课时练习）函数的最小正周期是（）A．πB．C．2πD．【变式32】（2023·高一课时练习）函数，的最小值为．【变式33】（2023·全国·高一课时练习）求函数的单调递增区间．题型四三角恒等变换的化简问题【例4】（2023·河北石家庄·高一石家庄市第二十一中学校考期中）等于（）A．1B．2C．D．【变式41】（2023·陕西商洛·高一镇安中学校考期中）化简：．【变式42】（2023·江苏徐州·高一统考阶段练习）（1）化简：（2）化简：．【变式43】（2023·河北石家庄·高一石家庄市第十五中学校考阶段练习）计算.（1）求的值；（2）化简.题型五三角形中的三角恒等变换【例5】（2023·江西吉安·高一峡江中学校考期末）在△ABC中，若，则△ABC是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．直角三角形【变式51】（2023·全国·高一专题练习）在中，若，则此三角形为（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【变式52】（2023·重庆·高一重庆南开中学校考期中）在中，，则的形状为（）A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【变式53】（2023