1+cosx分之一的原函数

1+cosx分之一的原函数要求计算函数$f(x)=\frac{1}{1+\cosx}$的原函数。

首先，我们可以观察到这个函数的形式类似于三角函数的倒数。换言之，我们想找到一个函数$F(x)$，满足$F'(x)=\frac{1}{1+\cosx}$。然后我们可以将$F(x)$称为$f(x)$的原函数。

为了找到$F(x)$，我们可以尝试使用微分学的相关知识和技巧。首先，我们可以考虑到$\frac{1}{1+\cosx}$的分母中含有$\cosx$，而导数的链式法则中需要使用到$\sinx$。因此，我们可以尝试使用有关$\sinx$的恒等式来解决这个问题。

在三角函数中，有一个重要的恒等式称为“半角恒等式”（Half-angleidentity），可以帮助我们将$\cosx$化简为$\sin\frac{x}{2}$的函数形式。

半角恒等式的表达式为：

$\cosx=\frac{1}{2}\left(1+\cos2x\right)$

这个恒等式可以从二倍角恒等式（Double-angleidentity）推导得出。

现在，我们回到$\frac{1}{1+\cosx}$，将$\cosx$用半角恒等式的形式替换：

$\frac{1}{1+\cosx}=\frac{1}{1+\frac{1}{2}\left(1+\cos2x\right)}$

然后，我们将分子和分母同时乘以$2$，以便消去分母中的分数，得到：

$\frac{1}{1+\cosx}=\frac{2}{2+1+\cos2x}$

再进一步，我们将分子和分母同时除以$4$，得到：

$\frac{1}{1+\cosx}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cos2x}$

现在，我们可以发现$\frac{1}{1+\cosx}$的形式与$\frac{1}{a+b\cos2x}$相似，其中$a=\frac{1}{2}$，$b=\frac{1}{4}$。对于这种形式的函数，我们可以使用分式的积分表来解决。

分式的积分表中，有如下积分公式：

$\int\frac{dx}{a+b\cosx}=\frac{2}{\sqrt{a^2-b^2}}\arctan\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}\tan\frac{x}{2}}{a+b}\right)+C$

将我们的问题与上述公式进行对比，我们可以看出$a=\frac{1}{2}$，$b=\frac{1}{4}$。因此，我们可以得到：

$\int\frac{1}{1+\cosx}dx=\frac{2}{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{4}\right)^2}}\arctan\left(\frac{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{4}\right)^2}\tan\frac{2x}{2}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}\right)+C$

简化整理后，得到：

$\int\frac{1}{1+\cosx}dx=\frac{2}{\sqrt{\frac{3}{16}}}\arctan\left(\frac{\sqrt{\frac{3}{16}}\tanx}{\frac{3}{4}}\right)+C$

由于题目要求文中不出现链接，因此在这里无法给出准确的参考内容。如果读者有需要的话，可以参考