商人过河资料

-PAGE5-数学建模题目：商人安全过河问题学院：数理与信息工程学院专业：数学与应用数学组员：指导老师：评分：摘要本文通过MATLAB编程来解决商人安全过河问题。运用编程来计算分析，动态规划思想的应用步骤。最后利用计算机编程进行求解，获得过河问题的完整求解过程；有效地求解类似多步决策问题。针对此问题，为了求解3个商人和3个随从的过河问题，用数学分析方法，建立多步决策数学模型，并且加以求解。首先通过图解法求解3个商人和3个随从的过河问题，引进状态、允许状态集合、状态转移等，通过多步决策将初始状态到最终状态来解决问题。总之，问题转化为多步决策模型通过计算机、图解法解决了问题过河需要经过11此来回。关键词：多步决策；计算机求解；状态转移律；图解法；MATLAB程序1问题重述三名商人各带一个随从过河，一只小船只能容纳两个人，随从们约定，只要在河的任何一岸，一旦随从人数多于商人人数就杀人越货，但是商人们知道了他们的约定，并且如何过河的大权掌握在商人们手中，商人们该采取怎样的策略才能安全过河呢？S个商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳K人，由他们自己划船。商人们窃听到随从们密谋，在河的任意一岸上，只要随从的人数比商人多，就杀掉商人。但是如何乘船渡河的决策权在商人手中，商人们如何安排渡河计划确保自身安全？2模型假设1.假设记第k次过河前A岸的商人数为XK，随从数为YK，k=1，2，⋯S=2.假设记第k次过河船上的商人数为UK，随从数为将二维向量DK=(UK3模型的建立与求解3.1问题一3.1.1问题分解在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河。由于船上人数限制，这需要多步决策过程，必须考虑每一步船上的人员。动态规划法正是求解多步决策的有效方法。它要求把解的问题一层一层地分解成一级一级、规模逐步缩小的子问题。直到可以直接求出其解的子问题为止。分解成所有子问题按层次关系构成一棵子问题树．树根是原问题。原问题的解依赖于子问题树中所有子问题的解。3.1.3模型求解：穷举法：计算机编程（见附录）先建立编程的基本过程，然后考虑模型，再编写程序。然后就可以得出结果了。开始开始变量赋值初始化判断是否完全过河选择一种可行方案，进行过河或返回，得到新的状态否判断是不是允许状态集合中的状态，并且还没在已经考虑的状态中是否还有其他状态否结束是是是主程序流程图图解法：状态s=(x,y)16个格点允许状态10个●点允许决策移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.xxy3322110S1sn+1d1d11总共需要11步可以得出经过11步的渡河就能达到安全渡河的目标及满足渡河的次数尽量少的条件。这11步的渡河方案就是上面程序运行结果中船上下面的一列。4模型的检验用2名商人和2名随从的过河问题的解决思路，检验3名商人和3名随从的过河问题。5模型的拓展和延伸通过三名商人和三名随从的过河问题的解决方案，可以进一步计算四名商人和四名随从的过河问题，通过计算机编程可以设计m名商人和n名随从的过河问题。6总结这是通过数学分析的方法解决实用问题，经过问题提出、问题假设、问题分析、模型建立、模型求解、模型检验的过程，解决商人过河问题。然后扩展延伸到n个商人的问题。学习数学建模以来，重新认识了学习数学的乐趣，也重新认识了数学，本以为数学是单调的，枯燥的，学习了之后，发现数学是普遍存在我们生活之中的。解决现实中的问题，很多都需要数学。沉浸在数学的世界里，发现学习是有趣的；相比于机械的认识各个组织器官，建立一个数学模型解决问题是十分有趣的。7参考文献[1]傅清祥．《数据结构与算法》．王晓东．北京：电子工业出版社1998．[2]姜启瑟．《数学建模》(第二版)．北京：高等教育出版社，2000．[3]运筹学教材编写组．《运筹学》(修订版)．北京：清华大学出版社。2001．附录：商仆过河的MATLAB程序及运行截屏:clear;clcn=3;%输入商人数目;nn=3;%输入仆人数目;nnn=2;%输入船的最大容量;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%决策生成jc=1;%决策向量存放在矩阵“d”中，jc为插入新元素的行标初始为1fori=0:nnnforj=0:nnnif(i+j<=nnn)&(i+j>0)%满足条件D={(u,v)|1<=u+v<=nnn,u,v=0,1,2}d(jc,1:3)=[i,j1];%生成一个决策向量后立刻将他扩充为三维（再末尾加“1”）d(jc+1,1:3)=[-i,-j,-1];%同时生成他的负向量jc=jc+2;%由于一气生成两个决策向量,jc指标需要往下移动两个单位endendj=0;end%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%状态数组生成kx=1;%状态数组存放在矩阵“A”中，生成方法同决策生成fori=n:-1:0forj=nn:-1:0if((i>=j)&((n-i)>=(nn-j)))|((i==0)|(i==n))%(i>=j)&((n-i)>=(nn-j)))|((i==0)|(i==n))为可以存在的状态的约束条件A(kx,1:3)=[i,j,1];%生成状态数组集合D`A(kx+1,1:3)=[i,j,0];kx=kx+2;endendj=nn;end;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%将状态数组生成抽象矩阵k=(1/2)*size(A,1);CX=zeros(2*k,2*k);a=size(d,1);fori=1:2*kforj=1:ac=A(i,:)+d(j,:);x=find((A