内江师范学院数值分析实验三

编制张莉审定牟廉明数学与信息科学学院2013年9月一、学生在做实验之前必须要准备实验，主要包括预习与本次实验相关的理论知识，熟练与本次实验相关的软件操作，收集整理相关的实验参考资料，要求学生在做实验时能带上充足的参考资料；若准备不充分，则学生不得参加二、要求学生要认真做实验，主要是指不得迟到、早退和旷课，在做实验过程中要严格遵守实验室规章制度，认真完成实验内容，极积主动地向实验教的难度系数为1、0.8、0.7、0.6,也可根据实际完成情况制定相应地的难度系四、学生可以根据自己对各个实验涉及到的知识点掌握的程度自由选取五、学生要认真工整地书写实验报告，实验报告的内容要紧扣实验的要求1 实验目的：1.掌握数值积分的基本思想和基本步骤。2.理解各类数值积分方法的优缺点，并能自行编程求解。3.比较各类数值积分的代数精度，体会复化、变步长及其加速的思想和实现步骤。实验准备：1.在开始本实验之前，请回顾教科书的相关内容；2.需要一台准备安装WindowsXPProfessional操作系统和装有数学软件的计算机。实验内容及要求A题计算积分B题用Romberg法求函数积分,精度为0.5e-6。C题用复化梯形公式计算积分并分析剖分区间数对误差的影响，取n=2,4,8,16,32,64,128,256,512,积分精确值说明：实验过程应包括对问题的简要分析、求解方法、求解步骤、程序及其必要的图表等内容。实验过程：2A题的实验过程1、实验中问题的重述2、实验分析为(-o,0)和(0,),则有：3、实验求解过程4、实验求解结果B题的实验过程1、实验中问题的重述32、实验求解程序%a,b表示积分区间的端点%quad是用Romberg加速算法求R(1,1)=h*(feval(f,a)+fevaR(J+I,k+1)=R(J+1,k)+(R(J+1,k)-R(J,k主程序3、实验求解结果用Romberg加速算法求得的积分值Romberg表1、实验中问题的重述用复化梯形公式计算积分C题的实验过程并分析剖分区间数对误差的影响，取4n=2,4,8,16,32,64,128,256,52、实验分析积分精确值I=π=3.141592653…。在许多实际问题中，常常需要计算定积分的值。根据微积分学基本定理，若被积函数f(x)在区间[a,b]上连续，只要能找到f(x)的一个原函数F(x),便可利用牛顿-莱布尼兹公式但是在实际使用中，往往遇到如下困难，而不能使用牛顿-莱布尼兹公式。a)找不到用初等函数表示的原函数b)虽然找到了原函数，但因表达式过于复杂而不便计算c)f(x)是由测量或计算得到的表格函数由于以上种种困难，有必要研究积分的数值计算问题。为插值型求积公式。最简单的插值型求积公式是梯形公式和Simpson公式，。当求积结点提供较多，可以分段使用少结点的梯形公式和Simpson公式，并称为复化梯形公式、复化Simpson公式。如步长未知，可以通过误差限的控制用区间逐次分半的策略自动选取步长的方法称自适应算法。梯形递推公式给出了区间分半前后的递推关系。由梯形递推公式求得梯形序列，相邻序列值作线性组合得Simpson序列，Simpson序列作线性组合得柯特斯序列.柯特斯序列作线性组合的龙贝格序列。若|R₂-R₁<ε,则输出R2:否则…依此类推。如此加工数据的过程叫龙贝格算法。3、实验结果利用龙贝格算法，得到当分别取n=2,4,8,16.32,64,128,256,512表1误差结果表时，产生的误差见下表：井28n误差n误差1、实验分析为了计算设将积分区间划分为n等份，则一共有n+1个等分点则可1从0到n-1累加求和，即可导出如下递推算式：5为二分前的步长，而然后，根据上式推导公式：有最后，利用复化梯形公式求积分。3、实验结果利用复化梯形公式求出积分为：%%牛顿一柯特斯法6%a,b表示积分区间的端点%quad是用Romberg加速算法求%R为Romberg表R(1,1)=h*(feval(f,a)+fevaR(J+1,k+1)=R(J+1,k)+(R(J+1,k)-R(J,k)主程序：C题的求解程序%n:点的个数T=((b-a)/(2*n-2))*(Y(1)tt=Complexification7T=((b-a)/(2*n-2))*(Y(1)%%主程序(D)