空间向量及其运算（习题课）导学案 高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

学科数学年级高二时间年月日课题1.1.1空间向量及其运算（习题课）课型新授课课时第1课时主备教师学习目标1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.掌握空间向量的线性运算.3.掌握空间向量的数量积及其性质.4.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.一、知识填空1、空间向量的概念空间向量空间中既有又有的量称为空间向量（简称为向量）模或长度向量的大小也称为（或长度）表示方法几何表示可用有向线段直观表示．字母表示如图，a的起点是A，终点是B，可用eq\o(AB,\s\up12(→))或表示．零向量始点和终点相同的向量；零向量的方向是.单位向量模等于的向量．相等向量大小、方向的向量．相反向量大小相等、方向的向量．平行向量方向或者的两个非零向量．记作：，两个向量平行也称为两个向量.向量共面空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过之后，都能在，则称这些向量共面．空间向量的线性运算名称代数形式几何形式运算律加法eq\o(AC,\s\up12(→))＝＝a＋b交换律：a＋b＝；结合律：(a＋b)＋c＝减法eq\o(DB,\s\up12(→))＝＝a－b数乘当λ>0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up12(→))＝eq\o(PQ,\s\up12(→))；当λ<0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up12(→))＝eq\o(MN,\s\up12(→))；当λ＝0时，λa＝0结合律：λ(μa)＝；分配律：(λ＋μ)a＝，λ(a＋b)＝3．空间向量的夹角定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角记法〈a，b〉范围〈a，b〉∈．当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，4．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则叫做a，b的数量积，记作a·b.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝交换律a·b＝分配律a·(b＋c)＝(3)数量积的性质两个向量数量积的性质①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔②若a与b同向，则a·b＝若反向，则a·b＝特别地，a·a＝或|a|＝③若θ为a，b的夹角，则cosθ＝④|a·b|≤|a|·|b|二、典例探究一、选择题1.下列命题中，假命题是()A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C.只有零向量的模等于0D.共线的单位向量都相等2.在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc.其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.33.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是()A.a＝bB.a＋b为实数0C.a与b方向相同D.|a|＝34．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，向量表达式eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))化简后的结果是()A.eq\o(BD1,\s\up6(→)) B.eq\o(D1B,\s\up6(→)) C.eq\o(B1D,\s\up6(→)) D.eq\o(DB1,\s\up6(→))5.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，则x的值为()A．1 B．0 C．3 D.eq\f(1,3)二、填空题6.设e1，e2是平面内不共线的向量，已知eq\o(AB,\s\up14(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up14(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up14(→))＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则k＝____.7.已知a、b是异面直线，且a⊥b，e1、e2分别为取自直线a、b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为___.8.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是______9.如图所示，空间四边形OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则eq\o(MN,\s\up6(→))=_____________10.已知|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为_________三、解答题11..BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a