大学物理-第二版-中科大版

大学物理学习题答案习题一答案习题一简要答复以下问题：位移和路程有何区别？在什么情况下二者的量值相等？在什么情况下二者的量值不相等？(2)平均速度和平均速率有何区别？在什么情况下二者的量值相等？(3)瞬时速度和平均速度的关系和区别是什么？瞬时速率和平均速率的关系和区别又是什么？质点的位矢方向不变，它是否一定做直线运动？质点做直线运动，其位矢的方向是否一定保持不变？和有区别吗？和有区别吗？和各代表什么运动？设质点的运动方程为：，，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出，然后根据及而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即及你认为两种方法哪一种正确？两者区别何在？(7)如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么，该质点的速度和位矢与时间的关系是否也是线性的？“物体做曲线运动时，速度方向一定在运动轨道的切线方向，法向分速度恒为零，因此其法向加速度也一定为零.〞这种说法正确吗？(9)任意平面曲线运动的加速度的方向总指向曲线凹进那一侧，为什么？(10)质点沿圆周运动，且速率随时间均匀增大，、、三者的大小是否随时间改变？(11)一个人在以恒定速度运动的火车上竖直向上抛出一石子，此石子能否落回他的手中？如果石子抛出后，火车以恒定加速度前进，结果又如何？1.2一质点沿轴运动，坐标与时间的变化关系为，式中分别以、为单位，试计算：(1)在最初内的位移、平均速度和末的瞬时速度；(2)末到末的平均加速度；(3)末的瞬时加速度。解：最初内的位移为为：最初内的平均速度为：时刻的瞬时速度为：末的瞬时速度为：(2)末到末的平均加速度为：(3)末的瞬时加速度为：。1.3质点作直线运动，初速度为零，初始加速度为，质点出发后，每经过时间，加速度均匀增加。求经过时间后，质点的速度和位移。解:由题意知，加速度和时间的关系为利用，并取积分得，再利用，并取积分[设时]得，1.4一质点从位矢为的位置以初速度开始运动，其加速度与时间的关系为.所有的长度以米计，时间以秒计.求：〔1〕经过多长时间质点到达轴；〔2〕到达轴时的位置。解：当，即时，到达轴。时到达轴的位矢为：即质点到达轴时的位置为。1.5一质点沿轴运动，其加速度与坐标的关系为，式中为常数，设时刻的质点坐标为、速度为，求质点的速度与坐标的关系。解：按题意由此有，即，两边取积分，得由此给出，1.6一质点的运动方程为，式中，分别以、为单位。试求：(1)质点的速度与加速度；(2)质点的轨迹方程。解：(1)速度和加速度分别为：，(2)令，与所给条件比拟可知，，所以轨迹方程为：。1.7质点作直线运动，其速度为，求质点在时间内的路程。解:在求解此题中要注意：在时间内，速度有时大于零，有时小于零，因而运动出现往返。如果计算积分，那么求出的是位移而不是路程。求路程应当计算积分。令，解得。由此可知：s时，，；s时，；而s时，，。因而质点在时间内的路程为。1.8在离船的高度为的岸边，一人以恒定的速率收绳，求当船头与岸的水平距离为时，船的速度和加速度。解:建立坐标系如题1.8图所示，船沿轴方向作直线运动，欲求速度，应先建立运动方程，由图题1.8，可得出习题1.8图两边求微分，那么有船速为按题意(负号表示绳随时间缩短)，所以船速为(前面根号下的里面是加号)负号说明船速与轴正向反向，船速与有关，说明船作变速运动。将上式对时间求导，可得船的加速度为负号说明船的加速度与轴正方向相反，与船速方向相同，加速度与有关，说明船作变加速运动。1.9一质点沿半径为的圆周运动，其角坐标(以弧度计)可用下式表示其中的单位是秒()试问：(1)在时，它的法向加速度和切向加速度各是多少？(2)当等于多少时其总加速度与半径成角？解：(1)利用，，，得到法向加速度和切向加速度的表达式，在时，法向加速度和切向加速度为：，(2)要使总加速度与半径成角，必须有，即解得，此时1.10甲乙两船，甲以的速度向东行驶，乙以的速度向南行驶。问坐在乙船上的人看来，甲船的速度如何？坐在甲船上的人看来乙船的速度又如何？解：以地球为参照系，设、分别代表正东和正北方向，那么甲乙两船速度分别为，根据伽利略变换，当以乙船为参照物时，甲船速度为，即在乙船上看，甲船速度为，方向为东偏北同理，在甲船上看，乙船速度为，方向为西偏南。1.11有一水平飞行的飞机，速率为，在飞机上安置一门大炮，炮弹以水平速度向前射击。略去空气阻力，(1)以地球为参照系，求炮弹的轨迹方程；(2)以飞机为参照系，求炮弹的轨迹方程；(3)以炮弹为参照系，飞机的轨迹如何？解：(1)以地球为参照系时，炮弹的初速度为，而，消去时间参数，得到轨迹方程为：〔假设以竖直向下为y轴正方向，那么负号去掉，下同〕(2)以飞机为参照系时，炮弹的初速度为，同上可得轨迹方程为(3)以炮弹为参照系，只需在(2)的求解过程中用代替，代替，可得.1.12如题1.12图，一条船平行于平直的海岸线航行，离岸的距离为，速率为，一艘速率为的海上警卫快艇从一港口出去拦截这条船。试证明：如果快艇在尽可能最迟的时刻出发，那么快艇出发时这条船到海岸线的垂线与港口的距离为；快艇截住这条船所需的时间为。港口习题1.12图证明：在如下图的坐标系中，船与快艇的运动方程分别为和拦截条件为：即所以，取最大值的条件为：，由此得到，相应地。因此的最大值为取最大值时对应的出发时间最迟。快艇截住这条船所需的时间为。习题二答案习题二2.1简要答复以下问题：(1)有人说：牛顿第一定律只是牛顿第二定律在合外力等于零情况下的一个特例，因而它是多余的.你的看法如何？(2)物体的运动方向与合外力方向是否一定相同？(3)物体受到了几个力的作用，是否一定产生加速度？(4)物体运动的速率不变，所受合外力是否一定为零？(5)物体速度很大，所受到的合外力是否也很大？(6)为什么重力势能有正负，弹性势能只有正值，而引力势能只有负值？(7)合外力对物体所做的功等于物体动能的增量，而其中某一分力做的功，能否大于物体动能的增量？(8)质点的动量和动能是否与惯性系的选取有关？功是否与惯性系有关？质点的动量定理与动能定理是否与惯性系有关？请举例说明.(9)判断以下说法是否正确，并说明理由：(a)不受外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒.(b)内力都是保守力的系统，当它所受的合外力为零时，其机械能守恒.(c)只有保守内力作用而没有外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒.(10)在弹性碰撞中，有哪些量保持不变，在非弹性碰撞中，又有哪些量保持不变？(11)放焰火时，一朵五彩缤纷的焰火质心运动轨迹如何？为什么在空中焰火总是以球形逐渐扩大？(忽略空气阻力)2.2质量为质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力〔为常数〕作用，时质点的速度为，证明：〔1〕时刻的速度为；〔2〕由0到的时间内经过的距离为；〔3〕停止运动前经过的距离为。证明：(1)由别离变量得，积分得，，(2)(3)质点停止运动时速度为零，即，故有。2.3一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设时，物体的速度为零，物体在力(N)(t以s为单位)的作用下运动了3s，求它的速度和加速度.解.根据质点动量定理,,根据牛顿第二定律，(m/s2)2.4一颗子弹由枪口射出时速率为ms-1，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为N〔a,b为常数〕，其中t以秒为单位：〔1〕假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；〔2〕求子弹所受的冲量；〔3〕求子弹的质量。解：(1)由题意，子弹到枪口时，有,得(2)子弹所受的冲量，将代入，得(3)由动量定理可求得子弹的质量2.5一质量为的质点在xoy平面上运动，其位置矢量为，求质点的动量及到时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量。解：质点的动量为将和分别代入上式，得，动量的增量，亦即质点所受外力的冲量为2.6作用在质量为10kg的物体上的力为，式中的单位是。〔1〕求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量；〔2〕为了使这力的冲量为200Ns，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度的物体，答复这两个问题。解：(1)假设物体原来静止，那么[]，沿x轴正向，假设物体原来具有初速度，那么于是同理，这说明，只要力函数不变，作用时间相同，那么不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理．(2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即令，解得。2.7一小船质量为100kg，船头到船尾共长3.6m。现有一质量为50kg的人从船尾走到船头时，船头将移动多少距离？假定水的阻力不计。习题2.7图解：由动量守恒又，，如图，船的长度所以即船头相对岸边移动2.8质量的质点,从静止出发沿轴作直线运动，受力(N)，试求开始内该力作的功。解而所以2.9一地下蓄水池，面积为，水深度为，假定水的上外表低于地面的高度是，问欲将这池水全部抽到地面，需作功多少?习题2.9图解:建坐标如习题2.9图，图中表示水面到地面的距离，表示水深。水的密度为，对于坐标为、厚度为的一层水，其质量，将此层水抽到地面需作功将蓄水池中的水全部抽到地面需作功(J)2.9一炮弹质量为，以速度飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为，且一块的质量为另一块质量的倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其速率分别为，。证明：设一块的质量为，那么另一块的质量为。利用，有，①又设的速度为，的速度为，那么有②[动量守恒]③联立①、③解得，④联立④、②解得，于是有将其代入④式，有又因为爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，当时只能取。2.10一质量为的子弹射入置于光滑水平面上质量为并与劲度系数为的轻弹簧连着的木块后使弹簧最大压缩了，求子弹射入前的速度.习题2.10图解：子弹射入木块到相对静止的过程是一个完全非弹性碰撞，时间极短，木块获得了速度，尚未位移，因而弹簧尚未压缩.此时木块和子弹有共同的速度，由动量守恒，此后，弹簧开始压缩，直到最大压缩，由机械能守恒，由两式消去，解出得2.11质量的物体从静止开始，在竖直平面内沿着固定的四分之一圆周从滑到。在处时，物体速度的大小为。圆的半径为，求物体从滑到的过程中摩擦力所作的功：(1)用功的定义求；(2)用动能定理求；(3)用功能原理求。习题2.11图解方法一：当物体滑到与水平成任意角的位置时，物体在切线方向的牛顿方程为即注意摩擦力与位移反向，且，因此摩擦力的功为方法二：选为研究对象，合外力的功为考虑到，因而由于动能增量为，因而按动能定理有，。方法三：选物体、地球组成的系统为研究对象，以点为重力势能零点。初始在点时，、终了在点时，，由功能原理知：经比拟可知，用功能原理求最简捷。2.12墙壁上固定一弹簧，弹簧另一端连接一个物体，弹簧的劲度系数为，物体与桌面间的摩擦因素为，假设以恒力将物体自平衡点向右拉动，试求到达最远时，系统的势能。习题2.12图解：物体水平受力如图，其中，。物体到达最远时，。设此时物体的位移为,由动能定理有即解出系统的势能为2.13一双原子分子的势能函数为式中为二原子间的距离，试证明：⑴为分子势能极小时的原子间距；⑵分子势能的极小值为；⑶当时，原子间距离为；证明：〔1〕当、时，势能有极小值。由得所以，即为分子势能取极值时的原子间距。另一方面，当时，，所以时，取最小值。〔2〕当时，〔3〕令，得到，，2.14质量为7.2×10-23kg，速度为6.0×107m/s的粒子A，与另一个质量为其一半而静止的粒子B相碰，假定这碰撞是弹性碰撞，碰撞后粒子A的速率为5×107m/s，求：⑴粒子B的速率及偏转角；⑵粒子A的偏转角。习题2.14图解：两粒子的碰撞满足动量守恒写成分量式有碰撞是弹性碰撞，动能不变：利用，，，，可解得，，。2.15平板中央开一小孔，质量为的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为的重物。小球作匀速圆周运动，当半径为时重物到达平衡。今在的下方再挂一质量为的物体，如题2-15图。试问这时小球作匀速圆周运动的角速度和半径为多少？习题2.15图解：在只挂重物时，小球作圆周运动的向心力为，即①挂上后，那么有②重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒．即③联立①、②、③得2.16哈雷慧星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。它离太阳最近距离为时的速率是，它离太阳最远时的速率是，这时它离太阳的距离r2是多少？〔太阳位于椭圆的一个焦点。〕解：哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有

∴2.17查阅文献，对变质量力学问题进行分析和探讨，写成小论文。参考文献：[1]石照坤，变质量问题的教学之浅见，大学物理，1991年第10卷第10期。[2]任学藻、廖旭，变质量柔绳问题研究，大学物理，2006年第25卷第2期。2.18通过查阅文献，形成对惯性系的进一步认识，写成小论文。参考文献：[1]高炳坤、李复，“惯性系〞考，大学物理，2002年第21卷第4期。[2]高炳坤、李复，“惯性系〞考(续)，大学物理，2002年第21卷第5期。习题三答案习题三3.1简要答复以下问题：地球由西向东自转，它的自转角速度矢量指向什么方向？作图说明.(2)刚体的转动惯量与那些因素有关？“一个确定的刚体有确定的转动惯量〞这句话对吗？(3)平行于轴的力对轴的力矩一定为零，垂直于轴的力对轴的力矩一定不为零.这种说法正确吗？(4)如果刚体转动的角速度很大，那么作用于其上的力是否一定很大？作用于其上的力矩是否一定很大？(5)两大小相同、质量相同的轮子，一个轮子的质量均匀分布，另一个轮子的质量主要集中在轮子边缘，两轮绕通过轮心且垂直于轮面的轴转动。问：(a)如果作用在它们上面的外力矩相同，哪个轮子转动的角速度较大？(b)如果它们的角加速度相同，哪个轮子受到的力矩大？(c)如果它们的角动量相等，哪个轮子转得快？(6)为什么质点系动能的改变不仅与外力有关，而且也与内力有关，而刚体绕定轴转动动能只与外力矩有关，而与内力矩无关？(7)以下物理量中，哪些与参考点的选择有关，哪些与参考点的选择无关：(a)位矢；(b)位移；(c)速度；(d)动量；(e)角动量；(f)力；(g)力矩.(8)做匀速圆周运动的质点，对于圆周上某一定点，它的角动量是否守恒？对于通过圆心并与圆平面垂直的轴上任一点，它的角动量是否守恒？对于哪一个定点，它的角动量守恒？(9)一人坐在角速度为的转台上，手持一个旋转着的飞轮，其转轴垂直于地面，角速度为。如果突然使飞轮的转轴倒转，将发生什么情况？设转台和人的转动惯量为，飞轮的转动惯量为。3.2质量为长为的均质杆，可以绕过端且与杆垂直的水平轴转动。开始时，用手支住端，使杆与地面水平放置，问在突然撒手的瞬时，(1)绕点的力矩和角加速度各是多少？(2)杆的质心加速度是多少？习题3.1图解：(1)绕B点的力矩由重力产生，设杆的线密度为，，那么绕B点的力矩为杆绕B点的转动惯量为角加速度为(2)杆的质心加速度为3.3如下图，两物体1和2的质量分别为与，滑轮的转动惯量为，半径为。⑴如物体2与桌面间的摩擦系数为，求系统的加速度及绳中的张力与(设绳子与滑轮间无相对滑动)；⑵如物体2与桌面间为光滑接触，求系统的加速度及绳中的张力与。习题3.2图解：⑴先做受力分析，物体1受到重力和绳的张力，对于滑轮，受到张力和，对于物体2，在水平方向上受到摩擦力和张力，分别列出方程[][]通过上面三个方程，可分别解出三个未知量，，⑵在⑴的解答中，取即得，，。3.4电动机带动一个转动惯量为I=50kg·m2的系统作定轴转动。在0.5s内由静止开始最后到达120r/min的转速。假定在这一过程中转速是均匀增加的，求电动机对转动系统施加的力矩。解：由于转速是均匀增加的，所以角加速度为从而力矩为3.5一飞轮直径为0.30m，质量为5.00kg，边缘绕有绳子，现用恒力拉绳子的一端，使其由静止均匀的加速，经0.50s转速到达10r/s。假定飞轮可看作实心圆柱体，求：⑴飞轮的角加速度及在这段时间内转过的转数；⑵拉力及拉力所作的功；⑶从拉动后t=10s时飞轮的角速度及轮边缘上一点的速度和加速度。解：⑴飞轮的角加速度为转过的圈数为⑵飞轮的转动惯量为，所以，拉力的大小为拉力做功为⑶从拉动后t=10s时，轮角速度为轮边缘上一点的速度为轮边缘上一点的加速度为。3.6飞轮的质量为60kg，直径为0.50m，转速为1000r/min，现要求在5s内使其制动，求制动力F。假定闸瓦与飞轮之间的摩擦系数μ=0.4，飞轮的质量全局部布在轮的外周上。尺寸如下图。习题3.6图解：设在飞轮接触点上所需要的压力为，那么摩擦力为，摩擦力的力矩为，在制动过程中，摩擦力的力矩不变，而角动量由变化到0，所以由有解得。由杆的平衡条件得。3.7弹簧、定滑轮和物体的连接如图3.7所示，弹簧的劲度系数为2.0Nm-1；定滑轮的转动惯量是0.5kgm2，半径为0.30m，问当6.0kg质量的物体落下0.40m时，它的速率为多大？假设开始时物体静止而弹簧无伸长。习题3.7图解：当物体落下0.40m时，物体减少的势能转化为弹簧的势能、物体的动能和滑轮的动能，即，将，，，，代入，得3.8在自由旋转的水平圆盘上，站一质量为的人。圆盘的半径为，转动惯量为，角速度为。如果这人由盘边走到盘心，求角速度的变化及此系统动能的变化。解：系统的角动量在整个过程中保持不变。人在盘边时，角动量为人走到盘心时角动量为因此人在盘边和在盘心时，系统动能分别为，系统动能增加3.9在半径为，质量为的静止水平圆盘上，站一质量为的人。圆盘可无摩擦地绕通过圆盘中心的竖直轴转动。当这人开始沿着与圆盘同心，半径为[]的圆周匀速地走动时，设他相对于圆盘的速度为，问圆盘将以多大的角速度旋转？解：整个体系的角动量保持为零，设人匀速地走动时圆盘的角速度为，那么解得3.10如题3.10图示，转台绕中心竖直轴以角速度作匀速转动。转台对该轴的转动惯量=5×10-5kg·m2。现有砂粒以1g/s的速度落到转台，并粘在台面形成一半径=0.1m的圆。试求砂粒落到转台，使转台角速度变为所花的时间。习题3.10图解：要使转台角速度变为，由于砂粒落下时不能改变体系角动量，所以必须要使体系的转动惯量加倍才行，即。将和代入得所以3.11一脉冲星质量为1.5×1030kg，半径为20km。自旋转速为2.1r/s，并且以1.0×10-15r/s的变化率减慢。问它的转动动能以多大的变化率减小？如果这一变化率保持不变，这个脉冲星经过多长时间就会停止自旋？设脉冲星可看作匀质球体。解：脉冲星的转动惯量为转动动能为转动动能的变化率为由，，得停止自旋所需要的时间为3.12两滑冰运发动，质量分别为MA=60kg，MB=70kg，它们的速率VA=7m/s，VB=6m/s，在相距1.5m的两平行线上相向而行，当两者最接近时，便拉起手来，开始绕质心作圆周运动并保持两者间的距离为1.5m。求该瞬时：⑴系统的总角动量；⑵系统的角速度；⑶两人拉手前、后的总动能。这一过程中能量是否守恒，为什么？解：⑴设两滑冰运发动拉手后，两人相距为，两人与质心距离分别为和，那么，两人拉手前系统总角动量为⑵设两人拉手后系统的角速度为，由于两人拉手后系统角动量不变所以，⑶两人拉手前总动能为：拉手后，由于整个体系的动量保持为零，所以体系动能为所以体系动能保持守恒。可以算出，当且仅当时，体系能量守恒，否那么能量会减小，且3.13一长=0.40m的均匀木棒，质量M=1.00kg，可绕水平轴O在竖直平面内转动，开始时棒自然地竖直悬垂。现有质量m=8g的子弹以v=200m/s的速率从A点与O点的距离为，如图。求：⑴棒开始运动时的角速度；⑵棒的最大偏转角。习题3.13图解：系统绕杆的悬挂点的角动量为子弹射入后，整个系统的转动惯量为所以⑵子弹射入后，且杆仍然垂直时，系统的动能为当杆转至最大偏转角时，系统动能为零，势能的增加量为由机械能守恒，得3.14通过查阅文献，探讨计算刚体转动惯量的简化方法，写成小论文。参考文献：周海英、陈浩、张晓伟，巧算一类刚体的转动惯量，大学物理，2005年第24卷第2期。通过上网搜寻，查找对称陀螺规那么进动在生活、生产中的应用事例，并进行分类。习题四参考解答4.1惯性系相对惯性系以速度运动。当它们的坐标原点与重合时，。在惯性系中一质点作匀速率圆周运动，轨道方程为，，试证：在惯性系中的观测者观测到该质点作椭圆运动，椭圆的中心以速度运动。提示：在惯性系中的观测者观测到该质点的轨道方程为。证明：根据洛仑兹坐标变换关系代入原方程中，得到化简得所以，在K系中质点做椭圆运动，椭圆中心以速度运动。一观测者测得运动着的米尺长，问此米尺以多大的速度接近观测者？解：由相对论长度缩短关系得到如题图4.3所示，在系的平面内放置一固有长度为的细杆，该细杆与轴的夹角为。设系相对于系沿轴正向以速率运动，试求在系中测得的细杆的长度和细杆与轴的夹角。，题图4.3解：细杆在系中的两个坐标上的投影分别为细杆在系中的两个坐标上的投影分别为在系中细杆的长度为与X轴正向夹角为一飞船以的速率相对于地面[假设地面惯性系]匀速飞行。假设飞船上的钟走了的时间，用地面上的钟测量是经过了多少时间？解：根据相对论中时间延长关系代入数据，可得介子束的速度为[为真空中的光速]，其固有平均寿命为，在实验室中看来，介子在一个平均寿命期内飞过多大距离？解：根据相对论中时间延长关系代入数据，可得因此4.6惯性系相对另一惯性系沿轴作匀速直线运动，在惯性系中观测到两个事件同时发生轴上，且其间距是，在系观测到这两个事件的空间间距是，求系中测得的这两个事件的时间间隔。解：由相对论的同时性的两个等价关系(1)(2)联立两式得到代入(2)式中得到4.7论证以下结论：在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同的地点，在有相对运动的其他惯性系中，这两个事件一定不同时发生。证明：令在某个惯性系中两事件满足，那么在有相对运动的另一个惯性系中(相对运动速度为),两事件的时间间隔是由于，且所以，即两事件一定不同时发生。试证明：(1)如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的，那么对一切惯性系来说这两个事件的时间间隔，只有在此惯性系中最短；(2)如果两个事件在某惯性系中是同时发生的，那么对一切惯性系来说这两个事件的空间间隔，只有在此惯性系中最短。证明(1)设两事件在某惯性系中于同一地点发生，即，时间间隔为，那么在另一个相对运动速度为的惯性系中，两事件的时间间隔为所以，在原惯性系中时间间隔最短。证明(2)设两事件在某惯性系中于同时发生，即，时间间隔为，那么在另一个相对运动速度为的惯性系中，两事件的时间间隔为所以，在原惯性系中空间间隔最短。假设电子和电子均以[为真空中的光速]的速度相对于实验室向右和向左飞行，问两者的相对速度是多少？[答案：]一光源在系的原点发出一光线。光线在平面内且与轴的夹角为。设系相对于系沿轴正向以速率运动。试求在系中的观测者观测到此光线与轴的夹角。解：光线的速度在系中两个速度坐标上的投影分别为由速度变换关系，那么在系中速度的两个投影分别为，所以，在系中的观测者观测到此光线与轴的夹角如果一观测者测出电子的质量为[为电子的静止质量]，问电子的速度是多大？解：由相对论质量关系而且得到如果将电子由静止加速到[为真空中的光速]的速度，需要对它作多少功？速度从加速到，又要作多少功？解(1)由相对论动能定理：因为，代入得到(2)将，代入原式在什么速度下粒子的动量是其非相对论动量的两倍？在什么速度下粒子的动能等于它的静止能量？解(1)由相对论动量公式而且联立两式(2)由相对论动能公式而且联立两式静止质量为的电子具有倍于它的静能的总能量，试求它的动量和速率。[提示：电子的静能为]解：由总能量公式而且(1)其中(2)联立(1)、(2)两式将(1)式代入动量公式一个质量为的静止粒子，衰变为两个静止质量为和的粒子，求这两个粒子的动能。[提示：利用能量守恒和动量守恒关系]解：令两粒子的动能分别为与由相对论能量守恒得到(1)由相对论动量和能量的关系得到由相对论动量守恒得到(2)联立(1)、(2)两式解得，习题五参考解答5.1简答以下问题：什么是简谐振动？分别从运动学和动力学两方面作出解释。一个质点在一个使它返回平衡位置的力的作用下，它是否一定作简谐振动？在什么情况下，简谐振动的速度和加速度是同号的？在什么情况下是异号的？加速度为正值时，振动质点一定是加快地运动吗？反之，加速度为负值时，肯定是减慢地运动吗？同一弹簧振子，如果它在水平位置是作简谐振动，那么它在竖直悬挂情况下是否仍作简谐振动？把它装在光滑斜面上，它是否仍将作简谐振动？如果某简谐振动振动的运动学方程是，那么这一振动的周期是多少？在地球上，我们认为单摆(在小角幅下)的运动是简谐振动，如果把它拿到月球上，那么，振动周期将怎样改变？什么是位相？一个单摆由最左位置开始摆向右方，在最左端位相是多少？经过中点、到达右端、再回中点、返回左端等各处的位相是多少？初位相是个什么物理量？初位相由什么确定？如何求初周相？试分别举例说明：(a)初始状态，如何确定初位相；(b)初位相，如何确定初始状态。5.2一质点作简谐振动cm。某时刻它在cm处，且向X轴负向运动，它要重新回到该位置至少需要经历的时间为(A);(B);(C);(D)。答案：(B)YX如图：位相差5.3以频率作简谐振动的系统，其动能和势能随时间变化的频率为(A)；(B)；(C)；(D)。答案：(C)5.4劲度系数为的轻弹簧和质量为10g的小球组成的弹簧振子，第一次将小球拉离平衡位置4cm，由静止释放任其运动；第二次将小球拉离平衡位置2cm并给以2cm/s的初速度任其振动。这两次振动能量之比为(A)1:1;(B)4:1;(C)2:1;(D)。答案：(C)，5.5一谐振系统周期为0.6s，振子质量为200g，振子经平衡位置时速度为12cm/s，那么再经0.2s后振子动能为(A)；(B)0;(C);(D)。答案：(D)，，，5.6一弹簧振子系统竖直挂在电梯内，当电梯静止时，振子谐振频率为。现使电梯以加速度向上作匀加速运动，那么其谐振频率将(A)不变；(B)变大；(C)变小；(D)变大变小都有可能答案：(A)，X5.7将一物体放在一个沿水平方向作周期为1s的简谐振动的平板上，物体与平板间的最大静摩擦系数为0.4。要使物体在平板上不致滑动，平板振动的振幅最大只能为(A)要由物体质量决定；(B);(C);(D)0.4cm答案：(C)最大静摩擦力为，最大加速度为由得5.8两分振动方程分别为和，那么它们合振动的表达式为(A);(B);(C);(D)。答案：(C)5.9质量为的小球与轻弹簧组成的系统，按的规律作简谐振动，式中以秒为单位，以米为单位。试求：(1)振动的圆频率、周期、振幅、初位相以及速度和加速度的最大值；(2)求时刻的位相。(3)利用Mathematica绘出位移、速度、加速度与时间的关系曲线。解(1)：,,,(2)5.10劲度系数为和的两根弹簧，与质量为的物体按题图5.10所示的两种方式连接试证明它们的振动均为谐振动。题图5.10证明：(1)当物体向右移动时，左端弹簧伸长，而右端弹簧缩短，它们对物体作用力方向相同，均与物体位移方向相反，所以因此物体将作简谐振动。(2)设两弹簧分别伸长与，那么弹簧对物体的作用力对两弹簧的连接点有:且解此两式：代入中：因此物体将作简谐振动。如题图5.11所示，质量为的物体放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角，弹簧的劲度系数为，滑轮的转动惯量为，半径为。先把物体托住，使弹簧维持原长，然后由静止释放，试证明物体作简谐振动。题图5.11证明：取未用手托系统静止时的位置为平衡位置，令此点位坐标原点，弹簧伸长，那么有：(1)当物体沿斜面向下位移为时，那么有：(2)(3)(4)(5)将(2)与(4)代入(3),并利用(5),可得利用(1)式，得到所以，物体作的是简谐振动。5.12一个沿轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为，周期为，其振动方程用余弦函数表出。如果时质点的状态分别是：(1)；(1)过平衡位置向轴正向运动；(3)过处向轴负向运动；(4)过处向轴正向运动。试用旋转矢量图方法确定相应的初位相，并写出振动方程。Y(3)(1)X(4)(2)解：令振动方程为：(1)，，(2)，，(3)，，(4)，，5.13一质量为的物体作谐振动，振幅为24cm，周期为4.0s，当时，位移为24cm。求：(1)时，物体所在的位置；(2)时，物体所受力的大小和方向；(3)由起始位置运动到处所需的最短时间；(4)在处物体的速度、动能、系统的势能和总能量。解：设物体的振动方程为由于，由于，因此将代入，得到(2)将代入，得到负号表示方向与轴方向相反。(3)将代入中，得到(4)，将代入得由因此有一轻弹簧，下端悬挂一质量为的砝码，砝码静止时，弹簧伸长。如果我们再把砝码竖直拉下，求放手后砝码的振动频率和振幅。解：取砝码静止时的位置为平衡位置，并令为坐标原点，向下为正方向，那么有当下拉位置时，砝码所受回复力为因此砝码作简谐振动将初始条件代入振幅公式：一轻弹簧的劲度系数为，其下端悬有一质量为的盘子。现有一质量为的物体从离盘底为高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动。假设以物体落到盘底时为计时零点、以物体落到盘子后的平衡位置为坐标原点、以向下为轴正向，求盘子的振动方程。解：令与系统处于平衡位置处为坐标原点，向下为正方向未下落时，满足:与平衡位置处:联立解得由动量守恒：且得到而且它们共同振动的周期将初始条件，，代入振幅及位相公式：由于，因此将已求出的、和代入中，即可得振动方程为5.16一个水平面上的弹簧振子(劲度系数为，所系物体质量为)，当它作振幅为、周期为、能量为的无阻尼振动时，有一质量为的粘土从高度处自由下落。当到达最大位移处时粘土正好落在上，并粘在一起，这时系统的振动周期、振幅和振动能量有何变化？如果粘土是在通过平衡位置时落在上，这些量又如何变化？解:原周期为，两种情况下周期都变为当到达最大位移处时粘土正好落在上时，此时物体水平速度为零动量守恒得到：且将初始条件，代入振幅公式(2)当粘土在通过平衡位置时落在上时，由水平方向动量守恒得到且将初始条件，，代入振幅公式：由5.17一单摆的摆长，摆球质量，当摆球处在平衡位置时，假设给小球一个水平向右的冲量，取打击时刻为计时起点，求振动的初位相和角振幅[设摆角向右为正]。解：由单摆的动力学方程，将初始条件，代入得到。由于其中，初始时刻5.18一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为，[式中以米计，以秒计]试分别用旋转矢量法和代数法求合振动的振幅和初位相，并写出合振动的方程。解：由题意，，，由于因此，合振动方程为有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为，位相与第一振动的位相差为，第一振动的振幅为，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的位相差。解：由分振动与合振动的三角形关系：代入数据由于得到5.20试借助旋转矢量图求出以下两组谐振动合成后所得合振动的振幅：解(1)：由题意：，，，由于(2)由题意：，，，由于5.21质量为的质点同时参与两个互相垂直的简谐振动：，，式中以米计，以秒计。求质点的运动轨道方程；(2)求质点在任一位置所受的作用力；(3)利用Mathematica，绘出合成振动的轨迹。解：(1)由于结合的表示式，得到轨道方程为：(2)5.22一质点同时参与两个互相垂直的简谐振动：，，求质点的运动轨道方程。解：由于由于所以代入得到：所求轨道方程为：某质点的位移可用两个简谐振动的迭加来表示：写出这质点的速度和加速度表示式；(2)这运动是否简谐振动？(3)画出其图线。解：(1)(2)由于与不成正比，所以不是简谐振动。(3)取，执行Mathematica命令立即得到的图线，如以下图。习题六参考解答6.1简要答复以下问题：(1)振动和波动有什么区别和联系？(2)平面简谐波的波动方程和简谐振动的振动方程有什么不同？又有什么联系？(3)振动曲线和波形曲线有什么不同？(4)平面简谐波波动方程中的表示什么？如果将波动方程改写为，又是什么意思？(5)波动方程中，坐标轴原点是否一定要选在波源处？时刻是否一定是波源开始振动的时刻？波动方程写成时，波源一定在坐标原点处吗？在什么前提下波动方程才能写成这种形式？如果波源在处或在处，那么对此波动方程的适用范围要作怎样的限制？(6)波源向着观察者运动和观察者向波源运动都会产生频率增高的多普勒效应，这两种情况有何区别？6.2下述说法中哪些是正确的？(A)波只能分为横波和纵波；(B)波动质点按波速向前运动；(C)波动中传播的只是运动状态和能量；(D)波经过不同媒质传播过程中波长不变。答案：(C)6.3对于机械横波，(A)波峰处质元的动能、势能均为零；(B)处于平衡位置的质元势能为零、动能为最大；(C)处于平衡位置的质元动能为零、势能为最大；(D)波谷处质元的动能为零、势能为最大。答案：(A)6.4对于驻波，以下说法中哪些是错误的?(A)相向传播的相干波一定能形成驻波；(B)两列振幅相同的相干波一定能形成驻波；(C)驻波不存在能量的传播；(D)驻波是一种稳定的振动分布。答案：(A)、(B)6.5人耳能区分同时传来的不同声音，这是由于(A)波的反射和折射；(B)波的干预；(C)波的独立传播特性；(D)波的强度不同。答案：(C)6.6波源在坐标系中〔3，0〕位置处，其振动方程是m，其中t以s计，波速为50m/s。设波源发生的波沿x轴负向传播，介质无吸收，那么此波方程为(A)m;(B)m;(C)m;(D)m。答案：(D)6.7两波同时在一弦线上传播，其波动方程分别是，，其中、以m计，t以s计。弦线上波节位置为(A)m,(B)m,(C);(D)参考答案：(A)6.8一弦线上的振动以厘米•克•秒制表示为，组成此振动的两波波速是(A);(B);(C);(D)∝答案：(D)6.9一点波源发出的波在无吸收媒质中传播，波前为半球面。该波强度I与离波源距离r间的关系是(A)∝;(B)∝;(C)∝;(D)∝。答案：(D)6.10当波源以速度向静止的观察者运动时，测得频率为，当观察者以速度向静止的波源运动时，测得频率为，以下哪个结论是正确的？(A);(B);(C);(D)要视波速大小决定上述关系。答案：(A)6.11声音1的声强比声音2的声强大1分贝，那么声音1的强度是声音2的强度的(A)1倍；(B)倍；(C)倍；(D)倍参考答案：(D)一平面简谐波沿轴正向传播，波速为，频率为，在处的质点在时刻的振动状态是：位移为；速度为，求此平面波的波动方程。解：令波动方程为其中，得到将初始条件：，，，代入或或由于所以一平面简谐波沿轴正向传播，振幅为，频率为，在处的质点在时刻的振动状态是：位移为，速度为，而处的质点在时刻的振动状态是：位移为；速度为，求此平面波的波动方程。解：令波动方程为由题意：,,代入得到：将初始条件：，，，代入且且(1)将初始条件：，，，代入且且(2)联立方程(1)、(2),解得，因此6.14波源在原点的一列平面简谐波的波动方程为，其中、、为正值恒量。试求：(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长；(2)写出传播方向上距离波源为处一点的振动方程；(3)任一时刻，在波的传播方向上相距为的两点的位相差。解(1)：由得到：振幅为,，，，(2)将代入(3)6.15沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为，式中，以米计，以秒计。求：(1)波的振幅、波速、频率和波长；(2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；(3)求处质点在时的位相，它是原点处质点在哪一时刻的位相？解(1)：由得到：，，，，，(2)(3),将，代入，在原点处6.16一平面波在介质中以速度沿轴负方向传播，如题图6.16所示。点的振动表达式是，式中以米计，以秒计。(1)以点为坐标原点写出波动方程；(2)以距点处的点为坐标原点写出波动方程。X题图6.16解(1)：(2)点振动方程为：波动方程为6.17一列平面余弦波沿轴正向传播，波速为，波长为，时的波形图形曲线如题图6.17所示。(1)写出波动方程；(2)绘出时的波形图。0.04题图6.17解：〔1〕由题意：，，，，令波动方程为将时，，代入：由于因此〔2〕时的波形图6.18如题图6.18所示，时和时的波形曲线分别为图中曲线(a)和(b)，设波沿轴正向传播，试根据图中绘出的条件求：(1)波动方程；(2)P点的振动方程。(a)(b)P123456题图6.18解(1)由图可知：,设，由〔2〕将代入，得6.19一平面余弦波，沿直径为的圆柱形管传播，波的强度为，频率为，波速为，求：(1)波的平均能量密度和最大能量密度；(2)两个相邻的同相面之间的波段中波的能量。解(1)：由(2)6.20如题图6.20，和是两个同位相的波源，相距，同时以的频率发出波动，波速为。点位于与成角、与相距处，求两波通过点的位相差。题图6.20解：由三角形关系知:而且由，其中得到6.21如题图6.21所示，与为两相干波源，相距，且较位相超前，如果两波在连线方向上的强度相同[均为]且不随距离变化，求：(1)连线上外侧各点处合成波的强度；(2)连线上外侧各点处合成波的强度。题图6.21解：由题意，(1)在外侧时：即在外侧两振动反相合成波强度(2)在外侧时：即在外侧两振动同相所以，外侧各点波的强度是单一波源波的强度的4倍。6.22如题图6.22所示，设点发出的平面横波沿方向传播，它在点的振动方程为；点发出的平面横波沿方向传播，它在点的振动方程为，此题中以米计，以秒计。设、，波速，(1)求两波传到点时的位相差；〔2〕假设在点处相遇的两波的振动方向相同，求处合振动的振幅；〔3〕假设在点处相遇的两波的振动方向相互垂直，再求处合振动的振幅。题图6.22解(1)：由得到即在处两波同相位。由于两波同相位，且振动方向相同当，且两振动方向垂直时6.23如题图6.23所示，三个同频率、振动方向相同[垂直纸面]的平面简谐波，在传播过程中于点相遇。假设三个简谐波各自单独在、和的振动方程分别是，，，且，[为波长]，求点的振动方程[设传播过程中各波的振幅不变]。题图6.23解：在点的振动为：在点的振动为：在点的振动为：上面三式中利用了关系：因此，点处的合振动为6.24一驻波方程为，式中以米计，以秒计，求：(1)形成此驻波的两列分波的振幅和波速；(2)相邻两波节间的距离；(3)时，处的质点的振动速度。解(1)：，(2)，相邻波节间距为(3)由于将时，代入得到6.25两列波在一根很长的细绳上传播，它们的波动方程分别为：，，式中以米计，以秒计。(1)试证明绳子将作驻波式振动；(2)求出波节和波腹的位置；(3)求出波腹处的振幅；(4)求出处的振幅。解(1)：合振动为：满足驻波方程，故绳子做驻波式振动。(2)节点位置其中腹点位置其中(3)波腹处的振幅是(4)当时，波的振幅一右行横波[式中以米计，以秒计]，与一右行横波形成驻波，且在处形成驻波的波腹，求此左行横波的波动方程。解:令左行横波形的波动方程为：那么当时，，因此。6.27火车以的速度行使，其汽笛的频率为。一个人站在铁轨旁，当火车从他身边驶过时，他听到的汽笛声的频率变化是多大？设空气中声速为。[提示：频率变化当火车向站立者驶近时他听到的汽笛声的频率当火车驶离站立者时他听到的汽笛声的频率]解：当波源向着观察者运动时，观察者接受到的频率为当波源远离观察者运动时，观察者接受到的频率为频率变化为将，，代入6.28两列火车和分别以和的速度行使，火车的司机听到自己的汽笛声频率为[空气中声速为]，当、两车相向而行时，求火车的司机听到的火车的汽笛声频率；假设此时恰好有速度为的风沿车向车吹来，再求火车的司机听到的火车的汽笛声频率。[提示：当有风时，声速将改变]解：(1)当波源和观察者同时相对于介质运动时：，将，，，代入得到。(2)当时，。习题七7.1简答以下问题：(1)两绝热线能否相交？(2)任意系统经历的任意不可逆绝热过程的始末态〔平衡态〕，都可以用一个可逆绝热过程和一个可逆等温过程连接起来。请问：此可逆等温过程是吸热还是放热？(3)关于热力学第二定律，以下说法是否正确，如不正确请改正：(a)功可以全部转变为热量，但热量不能全部转变为功。(b)热量不能从低温物体传向高温物体。(4)以下过程是否可逆，为什么？(a)通过活塞〔它与器壁无摩擦〕，极其缓慢地压缩绝热容器中的空气；(b)用旋转的叶片使绝热容器中的水温上升〔焦耳热功当量实验〕。(5)一定量的理想气体，从p-V图上同一初态A开始，分别经历三种不同的过程过渡到不同的末态，但末态的温度相同，如题图7.1(6)所示，其中AC是绝热过程，问：(a)在过程中气体是吸热还是放热？为什么？(b)在过程中气体是吸热还是放热？为什么？等温线等温线题图7.1(6)7.2置于容器中的气体，如果气体内各处压强相等，或气体内各处温度相同，那么这两种情况下气体的状态()[(B)](A)一定都是平衡态。(B)不一定都是平衡态。(C)前者一定是平衡态，后者一定不是平衡态。(D)后者一定是平衡态，前者一定不是平衡态。7.3质量一定的理想气体，从相同状态出发，分别经历等温过程、等压过程和绝热过程，使其体积增加一倍。那么气体温度的改变〔绝对值〕[(D)](A)绝热过程中最大，等压过程中最小。(B)绝热过程中最大，等温过程中最小。(C)等压过程中最大，绝热过程中最小。(D)等压过程中最大，等温过程中最小。7.4理想气体向真空作绝热膨胀。[(B)](A)膨胀后，温度不变，压强减小。(B)膨胀后，温度降低，压强减小。(C)膨胀后，温度升高，压强减小。(D)膨胀后，温度不变，压强不变。7.5对于理想气体系统来说，在以下过程中，哪个过程系统所吸收的热量、内能的增量和对外作的功三者均为负值？[(D)](A)等体降压过程。(B)等温膨胀过程。(C)绝热膨胀过程。(D)等压压缩过程。7.6一定量的理想气体，经历某过程后温度升高了。那么可以断定：[(C)]〔A〕该理想气体系统在此过程中吸了热。〔B〕在此过程中外界对该理想气体系统作了正功。〔C〕该理想气体系统的内能增加了。〔D〕在此过程中理想气体系统既从外界吸了热，又对外作了正功。7.7在以下过程中，哪些是可逆过程？[(A)]〔1〕用活塞无摩擦地缓慢地压缩绝热容器中的理想气体。〔2〕用缓慢旋转的叶片使绝热容器中的水温上升。〔3〕一滴墨水在水杯中缓慢弥散开。〔4〕一个不受空气阻力及其他摩擦力作用的单摆的摆动。(A)〔1〕、〔4〕(B)〔2〕、〔4〕(C)〔3〕、〔4〕(D)〔1〕、〔3〕7.8设高温热源的热力学温度是低温热源温度的n倍，那么范德瓦耳斯气体在一次卡诺循环中，传给低温热源的热量是从高温热源吸取热量的[(C)](A)倍(B)倍(C)倍(D)倍7.9根据热力学第二定律可知：[(D)](A)功可以全部转化为热，但热不能全部转化为功。(B)热可以从高温物体传到低温物体，但不能从低温物体传到高温物体。(C)不可逆过程就是不能向反方向进行的过程。(D)一切自发过程都是不可逆的。7.10有一定量的理想气体，其压强按的规律变化，C是常量。求气体从体积增加到所作的功。该理想气体的温度是升高还是降低？答案为：，温度降低解：,,,7.11Anidealgasisenclosedinacylinderthathasamovablepistonontop.ThepistonhasamassmandanareaAandisfreetoslideupanddown,keepingthepressureofthegasconstant.HowmuchworkisdoneonthegasasthetemperatureofnmolofthegasisraisedfromT1toT2.Ans：W=nR(T2T1)Sincethepressureofthegasisconstant，wehave，7.12的氦气〔视为理想气体〕，温度由升为。假设在升温过程中，〔1〕体积保持不变；〔2〕压强保持不变；〔3〕不与外界交换热量。试分别求出内能的改变、吸收的热量、外界对气体所作的功。答案为：〔1〕，〔2〕，，〔3〕，，解：；〔1〕体积保持不变，，〔2〕压强保持不变，，〔3〕不与外界交换热量，，7.13一可逆卡诺热机，当高温热源的温度为、低温热源的温度为时，其每次循环对外作净功。今维持低温热源的温度不变，提高高温热源温度，使其每次循环对外作净功。假设两个卡诺循环都工作在相同的两条绝热线之间，试求：〔1〕第二个循环的热机效率；〔2〕第二个循环的高温热源的温度。答案为：〔1〕〔2〕。解：第一个循环：。第二个循环：。因为两个卡诺循环都工作在相同的两条绝热线之间，所以有，7.14一绝热容器被铜片分成两局部，一边盛的水，另一边盛的水，经过一段时间后，从热的一边向冷的一边传递了的热量，问在这个过程中的熵变是多少？假定水足够多，传递热量后的温度没有明显变化。答案为：。解：因为温度没有明显变化，所以，相应地，，[]，。7.15用Ma