大学物理实验(全)

实验误差分析与数据处理1测量与误差1.1测量及测量的分类物理实验是以测量为根底的。在实验中，研究物理现象、物质特性、验证物理原理都需要进行测量。所谓测量，就是将待测的物理量与一个选来作为标准的同类量进行比拟，得出它们的倍数关系的过程。选来作为标准的同类量称之为单位，倍数称为测量数值。一个物理量的测量值等于测量数值与单位的乘积。在人类的开展历史上，不同时期，不同的国家，乃至不同的地区，同一种物理量有着许多不同的计量单位。如长度单位就分别有码、英尺、市尺和米等。为了便于国际交流，国际计量大会于1990年确定了国际单位制〔SI〕，它规定了以米、千克、秒、安培、开尔文、摩尔、坎德拉作为根本单位，其他物理量〔如力、能量、电压、磁感应强度等〕均作为这些根本单位的导出单位。1．直接测量与间接测量测量可分为两类。一类是直接测量，是指直接将待测物理量与选定的同类物理量的标准单位相比拟直接得到测量值的一种测量。它无须进行任何函数关系的辅助运算。如用尺测量长度、以秒表计时间、天平称质量、安培表测电流等。另一类是间接测量，是指被测量与直接测量的量之间需要通过一定的函数关系的辅助运算，才能得到被测量物理量的量值的测量。如单摆测量重力加速度时，需先直接测量单摆长l和单摆的周期T，再应用公式，求得重力加速度g。物理量的测量中，绝大局部是间接测量。但直接测量是一切测量的根底。不管是直接测量，还是间接测量，都需要满足一定的实验条件，按照严格的方法及正确地使用仪器，才能得出应有的结果。因此实验过程中，一定要充分了解实验目的，正确使用仪器，细心地进行操作读数和记录，才能到达稳固理论知识和加强实验技能训练的目的。2．等精度测量与不等精度测量同一个人，用同样的方法，使用同样的仪器，在相同的条件下对同一物理量进行屡次测量，尽管各次测量并不完全相同，但我们没有任何充足的理由来判断某一次测量更为精确，只能认为它们测量的精确程度是完全相同的。我们把这种具有同样精确程度的测量称之为等精度测量。在所有的测量条件中，只要有一个发生变化，这时所进行的测量即为不等精度测量。在物理实验中，但凡要求屡次测量均指等精度测量，应尽可能保持等精度测量的条件不变。严格地说，在实验过程中保持测量条件不变是很困难的。但当某一条件的变化对测量结果的影响不大时，乃可视为等精度测量。在本书中，除了特别指明外，都作为等精度测量。1.2误差及误差的表现形式1．误差物理量在客观上有着确定的数值，称为真值。测量的最终目的都是要获得物理量的真值。但由于测量仪器精度的局限性、测量方法或理论公式的不完善性和实验条件的不理想，测量人员不熟练等原因，使得测量结果与客观真值有一定的差异，这种差异称之为误差。假设某物理量测量的量值为x，真值为A，那么产生的误差x为：x=x–A任何测量都不可防止地存在误差。在误差必然存在的条件下，物理量的真值是不可知的。所以在实际测量中计算误差时，通常所说的真值有如下几种类型：〔1〕理论真值或定义真值。如用平均值代替真值，三角形内角何等于180°等。〔2〕计量约定真值。如前面所介绍的根本物理量的单位标准，以及国际大会约定的根本物理量。〔3〕标准器相对真值〔或实际值〕。用比被标准过的仪器高一级的标准器的量值作为标准器相对真值。例如：用0.5级的电流表测得某电路的电流为1.200A，用0.2级电流表测得的电流为1.202A，那么后者可示为前者的真值。2．误差的表示形式误差的表示形式有绝对误差和相对误差之分。绝对误差是测量值和真值的数值之差：=x–A〔1-1〕根据绝对误差的大小还难以评价一个测量结果的可靠程度，还需要考虑被测量本身的大小，为此引入相对误差，相对误差E定义为绝对误差与被测量量的真值x的比值，即：〔1-2〕相对误差常用百分比表示。它表示绝对误差在整个物理量中所占的比重，它是无单位的一个纯数，所以既可以评价量值不同的同类物理量的测量，也可以评价不同物理量的测量，从而判断它门之间优劣。如果待测量有理论值或公认值，也可用百分差来表示测量的好坏。即：〔1-3〕1.3误差的分类既然测量不能得到真值，那么怎样才能最大限度的减小测量误差并估算出误差的范围呢？要解决这个问题，首先要了解误差产生的原因及其性质。测量误差按其产生的原因与性质可分为系统误差、随机误差和过失误差。1．系统误差在一定条件下〔指仪器、方法和环境〕对同一物理量进行屡次测量时，其误差按一定的规律变化，测量结果都大于真值或都小于真值。系统误差产生的原因可能是的，也可能是未知的。产生系统误差的原因主要有：〔1〕由于仪器本身存在一定的缺陷或使用不当造成的。如仪器零点不准、仪器水平或铅直未调整、砝码未校准等。〔2〕实验方法不完善或这种方法所依据的理论本身具有近似性。例如用单摆测量重力加速度时，忽略空气对摆球的阻力的影响，用安培表测量电阻时，不考虑电表内阻的影响等所引入的误差。〔3〕实验者生理或心理特点或缺乏经验所引入的误差。例如有人读数时，头习惯性的偏向一方向，按动秒表时，习惯性的提前或滞后等。2．随机误差同一物理量在屡次测量过程中，误差的大小和符号以不可预知的方式变化的测量误差称为随机误差，随机误差不可修正。随机误差产生的原因很多，归纳起来大致可分为以下两个方面：〔1〕由于观测者在对准目标、确定平衡〔如天平〕、估读数据时所引入的误差。〔2〕实验中各种微小因素的变动。例如，实验装置和测量机构在各次调整操作上的变动性，实验中电源电压的波动、环境的温度、湿度、照度的变化所引起的误差。随机误差的出现，单就某一次观测来说是没有规律的，其大小和方向是不可预知的。但对某一物理量进行足够屡次测量，那么会发现随机误差服从一定的统计规律，随机误差可用统计方法进行估算。1.4测量的精密度、准确度、精确度我们常用精度反映测量结果中误差大小的程度。误差小的精度高，误差大的精度低，这里精度却是一个笼统的概念，它并不明确表示描写的是哪一类误差，为描述更具体，我们把精度分为精密度、准确度和精确度。1．精密度精密度表示测量结果中的随机误差大小的程度。它是指在一定条件下进行重复测量时，所得结果的相互接近程度。它用来描述测量得重复性。精密度高，即测量数据得重复性好，随机误差较小。〔i〕精密度〔ii〕准确度〔iii〕精确度图1-1测量的精密度、准确度、精确度图示〔以打靶为例〕2．准确度准确度表示测量结果中系统误差大小得程度。用它来描述测量值接近真值得程度。准确度高，即测量结果接近真值得程度高，系统误差小。3．精确度精确度是对测量结果中系统误差和随机误差的综合描述。它是指测量结果的重复性及接近真值的程度。为了形象地说明这三个概念的区别和联系，我们以打靶为例说明〔图1-1〕：〔i〕精密度高而准确度较差；〔ii〕准确度高而精密度较差；〔iii〕精密度和准确度都很高，即精确度很高。2误差的处理误差的产生有其必然性和普遍性，误差自始至终存在于一切科学实验中，一切测量结果都存在误差。本节主要介绍上述两类误差的处理方法。2.1系统误差一个实验结果的优劣，往往在于系统误差是否已经被发现或尽可能消除，所以预见一切可能产生的系统误差的因素，并设法减小它们是非常重要的。一般而言，对于系统误差可以在实验前对仪器进行校准，对实验方法进行改良，在实验时采取一定的措施对系统误差进行补偿和消除，实验后对结果进行修正等。系统误差的处理是一个比拟复杂的问题，它没有一个简单的公式，主要取决于实验者的经验和技巧并根据具体情况来处理。从实验者对系统误差掌握的程度来分，又可分为已定系统误差和未定系统误差两类。1．已定系统误差已定系统误差是指绝对值和符号都已确定的，可以估算出的系统误差分量。例如：对一个标准值为50毫克的三等砝码，就无法知道该砝码的误差值是多少。只知道它对测量结果造成的未定系统误差限为±2mg，但如果在使用前用高一级的砝码进行校准，就可得到已定系统误差得值。2．未定系统误差未定系统误差是指符号或绝对值未经确定的系统误差分量。例如，仪器出厂时的准确度指标是用符号仪表示的。它只给出该类仪器误差的极限范围。但实验者使用该仪器时并不知道该仪器的误差确实切大小和正负，只知道该仪器的准确程度不会超过仪的极限〔例如上面所举砝码中的±2mg〕。所以这种系统误差通常只能定出它的极限范围，由于不能知道它确实切大小和正负，故无法对其进行修正。对于未定系统误差在物理实验中我们一般只考虑仪器测量仪器的〔最大〕允许误差仪〔简称仪器误差〕。2.2随机误差的估算随机误差的特点是随机性。也就是说在相同条件下，对同一物理量进行屡次重复测量，每次测量的误差的大小和正负无法预知，纯属偶然。但是实践和理论证明，如果测量次数足够多的话，大局部测量的随机误差都服从一定的统计规律。本书只着重介绍随机误差的正态分布。1．正态分布的特征与数学表达遵从正态分布的随机误差有以下几点特征：〔1〕单峰性。绝对值大的误差出现的可能性〔概率〕比绝对值小的误差出现的概率小。〔2〕对称性。绝对值相等的正负误差出现的时机均等，对称分布于真值的两侧。〔3〕有界性。在一定的条件下，误差的绝对值不会超过一定的限度。〔4〕抵偿性。当测量次数很多时，随机误差的算术平均值趋于零，即正态分布的特征可用正态分布曲线形象地表达。如图2-1所示。横坐标表示误差=x1-x0式中x0为被测量量的真值。纵坐标为一个与误差出现的概率有关的概率密度函数f〔〕。根据概率论的数学方法可以导出： 〔2-1〕〔a〕〔b〕图2-1概率密度函数曲线图测量值的随机误差出现在到+d区间内可能性为即图〔a〕中阴影所含的面积元。上式中是一个与实验条件有关的常数，称为标准误差，其值为： 〔2-2〕式中n为测量次数，各次测量的随机误差为。2．标准误差的物理意义由式2-1可知，随机误差的正态分布曲线的形状与值有关，如图〔b〕所示，值越小，分布曲线越锋利，峰值f〔〕越高，说明绝对值小的误差占多数，且测量值的离散性较小，重复性好，测量精密度较高；反之值越大，那么曲线越平坦，该组测量值的离散性大，测量精密度低。标准误差反映了测量值的离散程度。由是测量值随机误差出现在小区间的可能性〔概率〕，即n次测量值误差出现在内的概率为：〔2-3〕这说明对任一次测量，其测量值误差出现在-到+区间内的概率为68.3%。从概率密度分布函数的曲线图来看：设曲线下面积为1即100%，那么介于间的曲线下的面积为68.3%。用同样的方法计算可得介于间的概率为95.5%，介于间的概率为99.7%。显然，测量误差的绝对值大于3的概率仅为0.3%。在通常情况下的有限次测量测量误差超出±3范围的情况几乎不会出现，所以把3称为极限误差。3．近真值——算术平均值尽管一个物理量的真值是客观存在的，但由于误差的存在，企图得到真值的愿望仍然不能实现。那么是否能够得到一个测量结果的最正确值，或者说得到一个最接近真值的数值呢？根据随机误差具有抵偿性特点，我们可以求得真值的最正确估计值——近真值。设在相同条件下对一个物理量进行屡次没量，测量值分别为，那么该没量值的算术平均值：〔i=1，2，3，……〕〔2-4〕而各次测量的随机误差为：式中x0为真值，为第i次测量值，对n次测量的绝对误差求和有：等式两边各除以n可得：当测量次数由随机误差具有抵偿性的特点，所以有：故根据以上推导可得：由此可知，测量次数愈多，算术平均值接近真值的可能性愈大。当测量次数足够时，算术平均值是真值的最正确估计值。2.3标准误差的估算——标准偏差由于真值不知道，误差无法计算，因而按照式2-2标准误差也无从估算。根据算术平均值是近真值的结论，在实际估算误算时采用算术平均值代替真值，用各次测量值与算术平均值的差值来估算各次测量的误差，差值称为残差。当测量次数n有限时，如用残差来表示误差时，其计算公式为：〔2-5〕称为任一次测量的标准偏差，它是测量次数有限多时，标准误差的一个估计值。其代表的物理意义为：如果屡次测量的随机误差遵从正态分布，那么，任一次测量的测量值误差落在到区域之间的可能性〔概率〕为68.3%。通过误差理论可以证明，平均值的标准偏差为：〔2-6〕上式说明算术平均值的标准偏差是n次测量中的任意一次测量值标准偏差的，小于，因为算术平均值是测量结果的最正确值，它比任意一次测量值xi更接近真值，所以误差要小。的物理意义是在屡次测量的随机误差遵从正态分布的条件下，真值处于区间内的概率为68.3%。3不确定度与测量结果的表示3.1测量不确定度由于测量误差的存在，难以确定被测量的真值。测量不确定度是与测量结果相关联的参数，它表征测量真值在某一个量值范围内不能肯定程度的一个估计值。也就是说不确定度是测量结果中无法修正的局部，反映了被测量的真值不能肯定的误差范围的一种评定，测量不确定度包含A类标准不确定度和B类标准不确定度。1．A类标准不确定度由于偶然因素，在同一条件下对同一物理量X进行屡次重复测量值，将是分散的，从分散的测量值出发用统计的方法评定标准不确定度，就是标准不确定度的A类评定。设A类标准不确定度为，用统计的方法算出平均值的标准偏差为，不确定度的A类分量就取为平均值的标准偏差，即：〔3-1〕按误差理论的正态分布，如不存在其他影响，那么测量值范围中包含真值的概率为68.3%。2．B类标准不确定度。测量中但凡不符合统计规律的不确定度统称为B类不确定度。在实际计算时，有的依据计量仪器的说明书或鉴定书，有的依据仪器的准确度，有的那么粗略的依据仪器的分度值或经验，从中获得仪器的极限误差，仪〔或允许误差或示值误差〕此类误差一般可视为均匀分布，那么B类评定不确定度为：〔3-2〕例：使用量程为0—300mm，分度值为0.05mm的游标卡尺，测量长度时，其示值误差在±0.05mm以内，即极限误差为仪=0.05mm，那么由此游标卡尺引入的标准不确定度为：3．合成标准不确定度〔1〕直接测量结果不确定度的估算物理实验的测量结果表示中，总不确定度u〔x〕的估算方法行为两类，即屡次重重测量用统计方法算出的A类分量和用其它方法估算出的B类分量。用方和根的方法合成为总不确定度u〔x〕：〔3-3〕例：游标卡尺〔仪=0.005c测量次数123456d(cm)3.2553.2503.2603.2553.2503.255计算出：那么零点修正后：所以有：〔2〕间接测量不确定度的估算物理实验的结果一般都通过间接测量获得的，间接测量是以直接测量为根底的，直接测量值不可防止地有误差存在，显然由直接测量值根据一定的函数关系，经过运算而获得的间接测量的结果，必然也有误差存在。怎样来计算间接测量的误差呢？这实质上是要解决一个误差的传递问题，即求得估算间接测量值误差的公式，称为误差的传递公式。设间接测量量N是n个独立的直接测量量A、B、C，…，H的函数，即N=f(A，B，C，…，H)假设各直接测量值A、B、C，…，H的不确定度分别为u〔A〕，u〔B〕，u〔C〕，…，u〔H〕，它们使N值也有相应的不确定度u〔N〕，由于不确定度都是微小量，相当于数学中的“增量〞，因此间接测量的不确定度公式与数学中的全微分公式根本相同，利用全微分公式，那么间接测量的不确定度：〔3-4〕如果先对函数表达或取对数，再求全微分可得：〔3-5〕当间接测量量N是各直接测量量A、B、C，…，H的和或差的函数时，那么用〔3-4〕式计算较为方便，当间接测量量N是各直接测量量A、B、C，…，H的积或商的函数时，那么用〔3-4〕式先计算N的相对不确定度，然后再计算u〔N〕比拟方便。在一些简单的测量问题中，有时要求不需太精确的测量问题中可以用绝对值合成方法，即〔3-6〕〔3-7〕当然这种绝对值合成的方法所得结果一般偏大。与实际的不确定度合成情况可能也有较大出入。但因其计算比拟简，在要求不高，作粗略做算时，往往采用绝对值合成法，但在科学实验中，一般都采用“方和根〞合成来计算间接测量结果的不确定度，常用函数的方和根合成与绝对值合成公式见下表：函数表达式方和根合成公式绝对值合成公式,〔K为常数〕3.2测量结果的一般表示一个完整的测量的结果不仅要给出该量值的大小〔数值和单位〕同时还应给出它的不确定度。用不确定度来表征测量结果的可信赖程度，于是测量结果应写成以下标准形式：式中为测量值的最正确估计值，对等精度屡次测量而言，为屡次测量值的算术平均值，u〔x〕为不确定度，Ur为相对不确定度。4实验中的错误与错误数据的剔除实验中有时会出现错误，尽早发现实验中的错误是实验得以顺利进行的前提保障，数据分析就是发现错误的重要方法。例1：三次单摆摆50个周期的时间，得出98.4s，96.7s,97.7s。从数据可知摆的周期接近2s，但前面两个数据相差1.7s，而后两个相差1.0s，它们都在半个周期以上，显然这样大的差异不能用手按稍表稍或滞后的操作误差去解释，即测量有误差。例2：用静力称衡法测一块玻璃的密度，所用公式为，式中m1=5.78g为玻璃质量，m2=4.77g为玻璃悬挂在水中的质量。这次测量显然有错误，因为在此m1与m2之差近似为1g；值接近64.1拉依达判据在一组数据中，有一、二个稍许偏大或偏小的数值，如果简单的数据分析不能判定它是否为错误数据，就要借助于误差理论。在前面标准误差的物理意义中已提到对于服从正态分布的随机误差，出现在±区间内概率为68.3%，与此相仿，同样可以计算，在相同条件下对某一物理量进行屡次测量，其任意一次测量值的误差落在-3到+3区域之间的可能性〔概率〕为：〔4-1〕如果用测量列的算术平均替代真值，那么测量列中约有99.7%的数据应落在区间内，如果有数据出现在此区间之外，那么我们可以认为它是错误数据，这时我们应把它舍去，这样以标准偏差Sx的3倍为界去决定数据的取舍就成为一个剔除坏数据的准那么，称为拉依达准那么。但要注意的是数据少于10个时此准那么无效。4.2格罗布斯判据对于服从正态分布的测量结果，其偏差出现在±3附近的概率已经很小，如果测量次数不多，偏差超过±3几乎不可能，因而，用拉依达判据剔除疏失误差时，往往有些疏失误差剔除不掉。另外，仅仅根据少量的测量值来计算，这本身就存在不小的误差。因此当测量次数不多时，不宜用拉依达判据，但可以用格罗布斯判据。按此判据给出一个数据个数n相联系的系数Gn，当数据个数n，算术平均值和测量列标准偏差Sx，那么可以保存的测量值xi的范围为〔4-2〕Gn系数表n345678910111213Gn1.151.461.671.821.942.032.112.182.232.282.33n14151617181920222530Gn2.372.412.442.482.502.532.562.602.662.74也可用拟合式计算Gn值n<30时取n>30时取例：测得一组长度值〔单位：cm〕98.2898.2698.2498.2998.2198.3098.9798.2598.2398.25计算出：数据98.97在此范围之外应舍去。舍去后再计算有5有效数字及其运算规那么5.1有效数字在物理量的测量中，测量结果都是存在一定的误差，这些值不能任意地取舍，它反映出测量量的准确程度。如何科学地，合理地反映测量结果，这就涉及到有效数字的问题。有效数字在物理实验中经常使用。什么是有效数字，有效位数如何确定，有效数字的运算规那么有什么不同，在用有效数字表示测量结果时，如何与误差联系起来。可以说，误差决定有效数字。例如：实验测得某一物理量，其测量列的算术平均值为，算得其不确定度u〔x〕=0.04cm。从u〔x〕数值中可知，这一组测量量在小数点后面第二位就已经有误差，所以等于1.674中“7〞已经是有误差的可疑数，表示结果时后面一位“4〞已不必再写上，上述结果正确的表示应为x=1.67±0.04cm。也就是说，我们表示测量结果的数字中，只保存一位可疑数，其余应全部是确切数。有效数字的定义为：有效数字是由假设干位准确数和一位可疑数构成。这些数字的总位数称为有效数字。一个物理量的数值和数学上的数有着不同的意义。例如在数学上0.2500m=25.00mm。但在物理测量上0.2500m≠25.000cm。因为0.25005.2有效数字运算规那么有效数字的正确运算关系到实验结果的精确表达，由于运算条件不一样，运算规那么也不一样。1．四那么运算四那么运算，一般可以依据以下运算规那么：①参加运算的各数字可以认为仅最后一位数码是有误差的，其他位的数码是无误差的；②无误差的数码间的四那么运算结果仍为无误差数码；③有误差的数码参加四那么运算结果有误差的数码，进位和借位认为是无误差数码；④最后结果按四舍五入法仅保存一位有误差数码。〔1〕加减法[例1]5.345+30.2〔数字下面“_〞是指误差所在位的数码〕取：[例2]35.48-20.3取：〔2〕乘除法[例1]4.178×10.1取：[例2]48216÷123取：用以上竖式才能得到计算结果的四那么运算，对我们来讲，不现实，为了提高运算速度，又保证一定精度的误差估计，可把上面加减运算和乘除运算分别总结为如下运算规那么：1〕加减法运算规那么：假设干项加减运算时，仍然按正常运算进行；计算结果的最后一位，应取到与参加加减运算各项中某项最后一位靠前的位置对齐。如参加运算的各项最后一位最靠前的是103的个位，其计算结果的最后一位就保存在个位上。2〕乘除法运算规那么：计算结果的有效数字位数保存到与参加运算的各数中有效数字位数最少的位数相同。如，参加运算的2.7有效数字是两位，为最少，计算结果也就取两位。这一规那么在绝大多数情况下都成立，极少数情况下，由于借位或进位可能多一位或少一位。如就多一位。2．函数运算有效数字取位函数运算不像四那么运算那样简单，而要根据误差传递公式来计算。[例]x=56.7，y=lnx，求y。因x的有误差位是十分位上，所以取x≈0.1，利用误差传递公式去估计y的误差位，说明y的误差位在千分位上，故y=lnx=ln56.7=4.038。由上可知函数运算有效数字取位的规那么：x，计算y=f〔x〕时，取x为x的最后一位的数量级，利用误差传递公式估计y的误差数码位置，y的计算结果最后一位对应y的那个位置。6实验数据的处理方法测量获得了大量的实验数据，而要通过这些数据来得到可靠的实验结果或物理规律，那么需要学会正确的数据处理方法。本节将介绍在物理实验中常用的列表法、作图法、逐差法和最小二乘法等数据处理的根本方法。6.1列表法在记录和处理实验测量数据时，经常把数据列成表格，它可以简单而明确地表示出有关物理量之间的对应关系，便于随时检查测量结果是否正确合理，及时发现问题，利于计算和分析误差，并在必要时对数据随时查对。通过列表法可有助于找出有关物理量之间的规律性，得出定量的结论或经验公式等。列表法是工程技术人员经常使用的一种方法。列表时，一般应遵循以下规那么〔1〕简单明了，便于看出有关物理量之间的关系，便于处理数据。〔2〕在表格中均应标明物理量的名称和单位。〔3〕表格中数据要正确反映出有效数字。〔4〕必要时应对某些工程加以说明，并计算出平均值、标准误差和相对误差。例用千分尺测量钢丝直径，列表如下：次数初读数〔mm〕未读数〔mm〕直径Di〔mm〕〔mm〕u〔D〕〔mm〕U10.0022.1472.1452.1450.0010.06%20.0042.1482.14430.0032.1492.14640.0012.1452.14450.0042.1492.14560.0032.1472.1446.2作图法物理实验中所得到的一系列测量数据，也可以用图线直观地表示出来，作图法就是在坐标纸上描绘出一系列数据间对应关系的图线。可以研究物理量之间的变化规律，找出对应的函数关系，求经验公式的常用方法之一。同时作好一张正确、实用、美观的图是实验技能训练中的一项根本功，每个同学都应该掌握。1．图示法物理实验所揭示的物理量之间的关系，可以用一个解析函数关系来表示，也可以用坐标纸在某一坐平面内由一条曲线表示，后者称为实验数据的图形表示法，简称图示法。图示法的作图规那么如下：〔1〕选取坐标纸作图一定要用坐标纸，根据不同实验内容和函数形式来选取不同坐标纸，在普物实验中最常用的是直角坐标纸。再根据所测得数据的有效数字和对测量结果的要求来定坐标纸的大小，原那么上是以不损失实验数据的有效数字和能包括所有实验点作为选择依据，一般图上的最小分格至少应是有效数字的最后一位可靠数字。〔2〕定坐标和坐标标度通过以横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。写出坐标轴所代表的物理量的名称和单位。为了使图线在坐标纸上的布局合理和充分利用坐标纸，坐标轴的起点不一定从变量的“0〞开始。图线假设是直线，尽量使图线比拟对称地充满整个图纸，不要使图线偏于一角或一边。为此，应适当放大〔或缩小〕纵坐标轴和横坐标轴的比例。在坐标轴上按选定的比例标出假设干等距离的整齐的数值标度，标度的数值的位数应与实验数据有效数字位数一致。选定比例时，应使最小分格代表“1〞、“2〞或“5〞，不要用“3〞、“6〞“7〞、“9〞表示一个单位。因为这样不仅使标点和读数不方便，而且也容易出错。〔3〕标点根据测量数据，找到每个实验点在坐标纸上的位置，用铅笔以“×〞标出各点坐标，要求与测量数据对应的坐标准确地落在“×〞的交点上。一张图上要画几条曲线时，每条曲线可用不同标记如“+〞、“⊙〞、“△〞等以示区别。〔4〕连线用直尺、曲线板、铅笔将测量点连成直线或光滑曲线，校正曲线要通过校正点连成折线。因为实验值有一定误差，所以曲线不一定要通过所有实验点，只要求线的两旁实验点分布均匀且离曲线较近，并在曲线的转折处多测几个点，对个别偏离很大的点，要重新审核，进行分析后决定取舍。〔5〕写出图纸名称要求在图纸的明显位置标明图纸的名称，即图名、作者姓名、日期、班级等。2．图解法图解法就是根据实验数据所作好的图线，用解析法找出相应的函数形式，如线性函数，二次函数、幂函数等，并求出其函数的参数，得出具体的方程式。特别是当图线是直线时，采用此法更为方便。〔1〕直线图解法①取点在直线上任取两点A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，其坐标值最好是整数值。用“〞符号表示所取的点，与实验点相区别。一般不要取原实验点。所取两点在实验范围内应尽量彼此分开一些，以减小误差。②求斜率k在坐标纸的适当空白的位置，由直线方程y=kx+b，写出斜率的计算公式：〔6-1〕将两点坐标值代入上式，写出计算结果。③求截距b如果横坐标的起点为零，其截距b为x=0时的y值，其直线的截距即由图上直接读出。如果起点不为零，可由下式求出截距：〔6-2〕例：电阻丝的阻值R与温度t的关系为：其中R0、a是常数。现有一电阻丝，其阻值随温度变化如下表所示。请用作图法作R-t直线，并求R0、R0a的t〔℃〕15.020.025.030.035.040.045.050.0R〔Ω〕28.0528.5229.1029.5630.1030.5731.0031.62解：由上表可知〔℃〕〔Ω〕即温度t的变化范围为35℃，而电阻值R的变化范围为3.57Ω。根据坐标纸大小的选择原那么，既要反映有效数字又能包括所有实验点，选40格×40格的图纸。取自变量t为横坐标，起点为10℃，每一小格为1℃；因变量R为纵坐标，起点为28Ω，每一小格为0.1Ω，描点连线图，得R-t图6-1在直线上取两点〔19.0，28.40〕，〔43.0，30.90〕那么：〔Ω/℃〕〔Ω〕故有〔Ω〕〔2〕曲线的改直在实际工作中，许多物理量之间的函数关系形式是复杂的，并非都为线性，但是可以经过适当变换后成为线性关系，即把曲变成直线，这种方法叫曲线改直。例如：①PV=C，C为常数由作图得直线，斜率即为C。②为常数。两边除以t得：，作图为直线，其斜率为，截距为。③，其中a，b为常数两边取对数，得，以lgy为横坐标，lgy为纵坐标作图得一直线，截距为lga，斜率为b。3．作图法的优点直观：这是作图法的最大优点之一，可根据曲线形状，很直观很清楚地表示在一定条件下，某一物理量与另一物理量之间的相互关系，找出物理规律。简便：在测量精度要求不高时，由曲线形状探索函数关系，作图法比其他数据处理方法要简便。可以发现某些测量错误：假设在曲线上个别点偏离特别大，可提醒人们重新核对。在图线上，可以直接读出没有进行测量的对应于某x的y值〔内插法〕。在一定条件下，也可以从图线的延伸分部读出测量数据范围以外的点〔外推法〕。但也应看到作图法有其局限性。特别是受图纸大小的限制，不能严格建立物理量之间函数关系，同时受到人为主观性进行的描点、连线的影响，不可防止地会带来误差。6.3逐差法逐差法是对等间距测量的有序数据进行逐项或相等间隔项相减得到结果的一种方法。它计算简便，并可充分利用测量数据，及时发现过失，总结规律，是物理实验中常用的一种数据处理方法。1．逐差法的使用条件〔1〕自变量x是等间距离变化的。〔2〕被测的物理量之间的函数形式可以写成x的多项式，即。2．逐差法的应用以拉伸法测弹簧的倔强系数为例，说明如下：设实验中等间隔地在弹簧下加砝码〔如每次加1克〕，共加9次，分别记下对应的弹簧下端点的位置L0，L1，L2，…，L9〔1〕验证函数形式是线性关系把所测的数据逐项相减，即看L0，L1，L2，…，L9是否根本相等。而当Li均根本相等时，就验证了外力与弹簧的伸长量之间的函数关系是线性的，即用此法可检查测量结果是否正确，但注意的是必须要逐项逐差。〔2〕求物理量数值现计算每加1克砝码时弹簧的平均伸长量从上式可看出，中间的测量值全部低消了，只有始末二次测量值起作用，与一次加9克为了保证屡次测量的优点，只要在数据处理方法上作一些组合，仍能到达屡次测量来减小误差的目的。因此一般使用逐差法的规那么应用如下方法：通常可将等间隔所测量的值分成前后两组的，前一组为L0、L1、L2、L3、L4，后一组为L5、L6、L7、L8、L9，将前后两组的对应项相减为再取平均值由此可见，与上面一般求平均值方法不同，这时每个数据都用上了。但应注意，这里的是增加5克砝码时弹簧的平均伸长量。故对应项逐差可以充分利用测量数据，具有对数据取平均和减小的效果。6.4最小二乘法由一组实验数据找出一条最正确的拟合直线〔或曲线〕，常用的方法是最小二乘法。所得的变量之间的相关函数关系称为回归方程。所以最小二乘法线性拟合亦称为最小二乘法线性回归。本章只讨论用最小二乘法进行一元线性回归问题，有关多元线性回归和非线性回归，请参考其他书籍。1．一元线性回归最小二乘法所依据的原理是：在最正确拟合直线上，各相应点的值与测量值之差的平方和应比在其他的拟合直线上的都要小。假设所研究的变量只有两个：x和y，且它们之间存在着线性相关关系，是一元线性方程〔6-3〕实验测量的一组数据是需要解决的问题是：根据所测得的数据，如何确定〔6-3〕式中的常数A0和A1。实际上，相当于作图法求直线的斜率和截距。由于实验点不可能都同时落在〔6-3〕式表示的直线上，为使讨论简单起见，限定：①所有测量值都是等精度的。只要实验中不改变实验条件和方法，这个条件就可以满足。②只有一个变量有明显的随机误差。因为xi和yi都含有误差，把误差较小的一个作为变量x，就可满足该条件。假设在〔6-3〕式中的x和y，是在等精度条件下测量的，且y有偏差，记作把实验数据代入〔6-3〕式后得：其一般式为： 〔6-4〕的大小与正负表示实验点在直线两侧的分散程度，的值与A0、A1的数值有关。根据最小二乘法的思想，如果A0、A1的值使最小，那么，〔6-3〕式就是所拟合的直线，即由式 〔6-5〕对A0和A1求一阶偏导数，且使其为零得：〔6-6〕令为x的平均值，即，为y的平均值，即，为x2的平均值，即，为xy的均值，即代入〔6-6〕式中得：解方程组得：〔6-7〕2．把非线性相关问题变换成线性相关问题在实际问题中，当变量间不是直线关系时，可以通过适当的变量变换，使不少曲线问题能够转化成线性相关的问题。需要注意的是，经过变换等精度的限定条件不一定满足，会产生一些新的问题。遇到这类情况应采取更恰当的曲线拟合方法。下面举几例说明〔1〕假设函数为，其中C为常数，令：那么有：〔2〕假设函数为，其中a、b为常数，将原方程化为，令：那么有：3．相关系数r以上所讨论的都是实验在的函数形式下进行时，由实验的测量数据求出的回归方程。因此，在函数形式确定以后，用回归法处理数据，其结果是唯一的，不会像作图法那样因人而异。可见用回归法处理问题的关键是函数形式的选取。但是当函数形式不明确时，要通过测量值来寻求经验公式，只能靠实验数据的趋势来推测。对同一组实验数据，不同的工作者可能会取不同的函数形式，得出不同的结果。为了判断所得结果是否合理，在待定常数确定以后，还需要计算一下相关系数r。对于元线性回归，r定义为：〔6-8〕相关系数r的数值大小反映了相关程度的好坏。可以证明|r|的值介于0和1之间，|r|值越接近于1，说明实验数据能密集在求得的直线附近，x、y之间存在着线性关系，用线性函数进行回归比拟合理。相反，如果|r|值远小于1而接近0，说明实验数据对求得的直线很分散，x、y之间不存在线性关系，即用线性回归不妥，必须用其他函数重新试探。在物理实验中，一般当|r|≥0.9时，就认为两个物理量之间存在较密切的线性关系。[例]用本节作图法例子中电阻丝电阻值随温度变化的实验数据，结合最小二乘法做以下内容：〔1〕线性拟合，并写出直线方程：〔2〕求出电阻温度系数a和0℃时的电阻R0〔3〕求出相关系数r，评价相关程度。解：金属导体的电阻和温度的关系为，令：上式可变为：例中的实验数据填入下表，并进行计算，结果见下表：115.0225.028.05786.8420.8220.0400.028.52813.4570.4325.0625.029.10846.8727.5430.0900.029.56873.8886.8535.0122530.10906.01054640.0160030.57934.51223645.0202531.00961.01395750.0250031.62999.81581平均值32.51187.529.815890.269982.219由上表可得：代入〔6-7〕式中得：故函数关系为其中：〔Ω〕，〔1/℃〕又由〔6-8〕式可得：由r值可见，R与t之间有较好的线性关系，即相关程度较好。用最小二乘法与用作图法求得的R-t之间的关系有一定的差异，说明作图法有一定的随意性。习题1．指出以下情况属于随机误差还是系统误差：〔1〕视差。〔2〕天平零点漂移。〔3〕游标卡尺零点不准。〔4〕照相底板收缩。〔5〕水银温度计毛细管不均匀。〔6〕电表的接入误差。〔7〕雷电影响。〔8〕振动。〔9〕电源不稳。2．求以下各组的、值。〔1〕4.113，4.198，4.152，4.147，4.166，4.154，4.132，4.170〔cm〕；〔2〕2.904，2.902，2.900，2.903，2.900，2.904〔cm〕；〔3〕4.496，4.504，4.538，4.504，4.498，4.490〔cm〕；〔4〕2.010，2.010，2.011，2.012，2.009，1.980〔cm〕。3．用单摆测得重力加速度，用自由落体仪测得重力加速度当地的g的标准值为，问：〔1〕g1、g2中哪一个存在系统误差？〔2〕如果不知道g0，从g1和g2能得出什么结论？4．一个铅圆柱体，测得直径，高度，质量〔1〕计算铅的密度；〔2〕计算的不确定度和相对不确定度；〔3〕正确表示结果。5．写出以下函数的不确定度传递公式。6．指出以下各量有几位有效数字7．按照误差理论和有效数字运算规那么，改正以下错误。〔1〕〔2〕0.2870有五位有效数字，而另一种说法为三位有效数字，请纠正，并说明理由。〔3〕28cm=280mm，280mm〔4〕〔5〕0.0221×0.221=0.00048841〔6〕8．试利有效数字运算规那么计算以下各式。9．写成科学表达式10．计算以下函数有效数的结果。11．实验测得在容器体积不变的情况下，不同温度的气体压强如下表，请用图示法表示。温度T〔℃〕20.030.040.050.060.070.080.090.0压强P〔cm/Hg〕82.085.090.094.097.0100.0103.0106.612．用伏安法测电阴数据如下，试用直角坐标纸作图，并求出R值。V〔V〕1.002.003.004.005.006.007.008.00I〔mA〕2.004.016.057.859.7011.8313.7516.0213．用最小二乘法求出中的A0、A1并检验线性。〔1〕i1234567xi2.04.06.08.010.012.014.0yi14.3416.3518.3620.3422.3924.3826.33〔2〕i1234567xi20.030.040.050.060.070.080.0yi5.455.665.966.206.456.867.01第一局部根底实验实验一长度测量【实验目的】1．掌握游标及螺旋测微原理。2．正确使用米尺、游标卡尺、螺旋测微器、移测显微镜测量长度。【实验仪器】米尺、游标卡尺、螺旋测微器、移测显微镜。【实验原理】1．米尺米尺的最小分度值一般为1mm，使用米尺测量长度时，可以准确读到毫米这一位上，米尺以下的一位要凭视力估读。使用米尺测量时，为了防止因米尺端边磨损而引入的误差，一般不从“0〞刻度线开始；为了防止因米尺具有一定厚度，观察者视线方向不同而引入的误差，必须使待测物与米尺刻度线紧贴；为了减少因米尺刻线不均匀而引入的误差，可以选择不同的测量起点对待测物作屡次测量。2．游标卡尺图1-1图1-1图1-1图1-1米尺不能进行精度较高的测量，为了提高测量精度，可以使用游标卡尺。游标卡尺主要由主尺和游标两局部构成，如图1-1所示。游标紧贴着主尺滑动，外量爪用来测量厚度和外径，内量爪用来测量内径，深度尺用来测量槽的深度，紧固螺钉用来固定量值读数。使用游标卡尺时应一手拿物体，另一手持尺，轻轻将物体卡住。应特别注意保护量爪不被磨损，不允许用游标卡尺测量粗糙的物体，更不允许被夹紧的物体在卡口内移动。测量前应注意游标零线是否和主尺零线对齐，如果没有对齐，那么表示有初读数。当游标的零线在主尺零线的左边时，初读数取负数，反之取正值。实际测量时应将游标卡尺的读数减去初读数，才得到物体的真实长度。游标卡尺测量长度时读数方法为：先从主尺上读出游标“0”刻度线所在的整数分度值l〔mm〕，再看游标上与主尺对齐的刻度线的序数〔格数〕nL=l+n·x式中，x为游标卡尺的最小分度值〔精度值〕，为使读数方便，游标上并不标出刻度线的序数n，而标上n·x值。如图1-2所示，读数为：50.24〔50.00+12×0.02〕mm。对齐对齐图1-2456789012345678910测量砧台测量螺杆螺母套筒测量砧台测量螺杆螺母套筒微分套筒棘轮弓架绝热板锁紧手柄图1-3图1-3螺旋测微器是由一根精密螺杆和与它配套的螺母局部组成。螺杆后连接一个可旋转的微分套筒，如图1-3所示。微分套筒每旋转一周，螺杆前进〔或后退〕一个螺距。假设微分套筒上刻有n个分度，螺距为amm，那么每转动一个分度，螺杆移动的距离为a/nmm。在图1-3中螺距为a=0.5mm，微分套筒圆周上刻有50个分度，每转动一个分度，螺杆移动距离为0.5/50=0.01mm。测量长度时，倒转棘轮，将待测物体放在测量砧台和测量螺杆之间，然后再转动棘轮，听到“咯、咯……〞声音时〔表示待测物体已被夹紧〕即停止转动。读数时，先读出螺母套筒上没有被微分套筒的前沿遮住的刻度值；再读出螺母套筒上横线所对准的微分套筒上的读数，并读出估读数，二者之和即为最后的读数。因为螺母套筒上的刻度线有一定宽度，当螺母套筒上横线所对准微分套筒上的读数在“0〞上下时极易读错，务必特别注意。通常微分套筒上的“0〞线在横线上方时，尽管螺母套筒上的一条刻度线似乎已经看到，但读数时不能考虑进去，否那么读数将误加0.500mm。螺旋测微器在使用一段时间后，零点会发生变化。所以测量时必须先记下初读数。具体方法是：在测量砧台和螺杆之间不放入任何物体，旋转棘轮，当听到“咯、咯……〞响声时停止转动〔每次测量咯咯声应保持一致，两声或者三声〕。此时微分套筒上的“0〞刻度线不一定与螺母套筒上的横线对准。这时的读数称为初读数。应注意初读数有正负之分。初读数是系统误差，测量物体长度时所读出的数值应减去这个初读数后，才是物体的长度。如图1-4所示，〔a〕的读数为：4.686〔4.500+0.186〕mm；〔b〕的读数为：5.188〔5.000+0.188〕mm；〔c〕的读数为2.478〔2.000+0.478〕mm。〔a〕〔b〕〔c〕图1-44．移测显微镜移测显微镜是螺旋测微器与显微镜组合在一起的精密的长度测量仪器。它主要有机械局部和光具局部。光具局部是一个长焦距显微镜〔由目镜、叉丝、物镜三局部组成〕，它的测微螺旋的螺距为1mm，鼓轮一周等分为100个分格，每转一个分格，显微镜将移动0.01mm。具体使用步骤如下：〔1〕调节目镜，看清十字叉丝；〔2〕让叉丝交点对准待测物上的一点，读数；〔3〕转动鼓轮，让叉丝对准待测物上的另一点，再读数；〔4〕两次读数之差，即为所测二点间的距离。【实验内容】1．米尺测量某一物体的长度，进行屡次测量。2．用游标卡尺测量金属圆环的外径、内径和高，进行屡次测量，并计算其体积。3．用螺旋测微器测量小钢球的直径，在不同直径处进行屡次测量，并计算体积。【思考题】1．螺旋测微器的零点读数的正负号怎么确定？怎样对测量值进行修正？2．使用移测显微镜的时候要注意哪些问题？实验二单摆【实验目的】1．掌握用单摆测定重力加速度的方法，学会使用秒表和数字毫秒计。2．研究单摆的周期和摆长以及周期与摆角的关系。3．用图解法得到实验结果。【实验仪器】单摆装置、秒表、钢卷尺、游标卡尺、数字毫秒计。图2-1单摆装置〔如图2-1所示〕的调节：调节底座的水平螺丝，使摆线与立柱平行，即立柱铅直；调节摆幅测量标尺高度与镜面位置，使得标尺的上弧边中点与顶端悬线夹下平面间距离为50cm；调节标尺平面垂直与顶端悬线夹的前伸局部；调节标尺上部平面镜平面与标尺平面平行，镜面上指标线处于仪器的对称中心。图2-1秒表一般有指针式和数字式两种，其精度有0.01s、0.1s、0.2s等多种。实验室常用的秒表是数字式秒表，其精度是0.01s，秒表的使用方法参见使用说明书。数字毫秒计的使用方法参见使用说明书。【实验原理】1．单摆测重力加速度单摆是由一个不能伸长的轻质细线和悬在此线下端体积很小的金属球所构成，在摆长远大于摆球的直径，摆球质量远大于细线质量的条件下，将摆球自平衡位置拉至一边〔摆角小于5°〕释放，摆球即在平衡位置左右往返作周期性摆动，如图3-2所示。设摆球的质量为m，其质心到摆的支点O的距离为l〔摆长〕。作用在摆球上的切向力的大小为mgsin。它总指向平衡点O′。当角很小时，那么sin≈，切向力的大小为mg，按照牛顿第二定律，质点的运动方程为图2-2图2-2〔2-1〕这是一简谐运动方程，可知简谐振动角频率的平方等于g/l，由此得出〔2-2〕式中T为单摆的周期。实验中，假设测出摆长l和周期T，那么重力加速度g即可由上式求得。上式也可以写成〔2-3〕图2-3这里T2和l之间具有线形关系，为其斜率。如果测出各种摆长及其对应的周期，便可作出一个图线，由该图线的斜率即可求出g值。图2-3测量摆长时，用游标卡尺测量摆球直径d，用钢卷尺测量摆线长，记录起末位置坐标和，那么由图3-3可知摆长。测量单摆周期时，为了减小测量单个周期的相对误差，我们一般是测量连续摆动n个周期的时间t，那么。2．单摆的摆角与周期在摆角不太小时，按照振动理论，振动周期和摆角的关系为〔2-4〕取零级近似取二级近似或写成〔2-5〕如果测出不同摆角下的周期T，作图线，即可验证上式。【实验内容】1．重力加速度g的测定〔1〕仪器调整。在熟悉单摆装置的仪器结构性能后，按规定要求调整好仪器；了解所使用的秒表的结构和功能，进行几次计时、停止、复零的练习。〔2〕做摆长约为1m的单摆，用钢卷尺测量摆线长，记录起末位置坐标和，用游标卡尺测量摆球直径d，这样各进行3次，求平均值，计算摆长l。〔3〕使单摆的摆角不要太大〔≤5°〕，测量摆动50次所用的时间t，要求测3次求平均值，计算周期T。在测周期时，应选择摆球通过最低位置时计时。此时可以通过观察镜尺，当摆线、摆线在镜尺中的像以及镜尺刻线三者重合时计时。〔4〕改变摆长，每次缩短约10cm，按上述方法测量每一摆长的周期，共测5个点，作出图线，并由图线的斜率求出g值。2．研究单摆的摆角与周期关系对某一摆长，取不同的摆角测其对应的周期。这时，如果采用前面的方法测周期，就会由于空气阻力等因素造成摆角的不断减小而影响实验结果，因此，实验中改用数字毫秒计测周期。数字毫秒计采用档，此档的功能是：第一次遮光时开始记时，第二次遮光不计，第三次遮光时计时结束。光电门放置在摆球通过的路径的最低点处，靠近摆球遮光。每个摆角下的周期测3次。摆角的大小可以通过标尺直接读出。要求至少测5组数据，用所得数据作图线，由图线的截距和斜率检验式〔2-5〕的的系数是否等于1/4。【思考题】1．测量单摆周期时，为什么时间起止点都选在摆球运动的最低点处？2．试比拟直接用公式计算g值和利用图线求g值两种方法的优缺点。3．自己设计实验，研究摆线质量和空气浮力对测量重力加速度g的影响。实验三自由落体法测重力加速度【实验目的】1．学习用光电测量系统测量短时间的方法。2．用自由落体仪测定重力加速度。3．比拟用自由落体法测重力加速度与用单摆测重力加速度的优缺点。【实验仪器】图3-1自由落体仪、多功能数字式测定仪、米尺、钢球。图3-1自由落体仪如图5-1所示。在底座I上竖直固定一立柱K，电磁头D、上光电门E1、下光电门E2和接球器G皆可在立柱K上移动和固定。实验时，将电磁头D通电，那么被磁化的电磁铁芯C可吸住钢球F；断开电磁头电源，钢球自由下落。当经过上光电门E1时，多功能数字式测定仪J开始计时，经过下光电门E2时，计时停止，因此，多功能数字式测定仪可以记录并显示钢球落下两光电门间的高度所需要的时间。【实验原理】建立坐标系ox，方向铅直向下〔参见图3-1〕，取落球〔钢球〕静止时的高度位置为原点，光电门E1、E2的坐标分别为x0和x1，落体下落h1高度〔h1=x1-x0〕所需要的时间为t1，那么有〔3-1〕式中v0为落体在x0处的速度，g为重力加速度。假设固定E1，移动E2使其坐标变为x2，那么两光电门之间的距离为h2=x2–x1，落体下落h2高度所需要的时间为t2，同理可得〔3-2〕由以上二式消去v0，可得〔3-3〕实验时，我们固定E1位置不变，等间距〔例如每增加10cm〕移动E2，取h1，h2，…，h10共10个数值进行实验，分别测出相应的时间t1，t2，…，t10，再由逐差法计算g：〔3-4〕【实验内容】1．调节立柱铅直〔1〕将光电门E1置于电磁铁芯C下方附近，E2固定于接球器上方，用细线将重锤挂在电磁铁芯下部，旋转底座上的调节螺丝H，使铅垂线正好穿过两光电门的中心。〔2〕取下重锤，并翻开电磁头电源吸住钢球，在确信立柱不晃动时断开电源，观察钢球是否正好穿过光电门E2的中心。要求钢球从底部开始遮光且不能打着光电门，否那么，微调底座螺丝直至到达要求。在实验中，假设钢球不落入接球器G内以至滚跑，可用手在E2下方将球接住。2．测光电门之间距离h和下落时间t〔1〕用米尺测h，多功能数字式测定仪测时间t对每一个h，测六次t，取其平均值，同时注意钢球是否正好挡光。〔2〕固定E1位置不变，移动E2使h分别为40，50，…，130cm共10个数值进行实验，用逐差法处理数据。【思考题】1．由测量结果知，的数值总的来说偏小，你能指出可能是何种原因造成的吗？2．试说明，假设作图，那么得到一直线，由其斜率和截距可分别求出g和初速度v0。问是否可以适中选择变量，得到一直线，由其斜率求出v0，而由截距得到g？实验四液体粘度的测定【实验目的】1．了解斯托克斯定律。2．掌握用落球法测定液体的粘滞系数〔粘度〕。【实验仪器】盛油玻璃量筒〔内置蓖麻油〕，螺旋测微计，秒表，水银测温计，小钢球【实验原理】当流体运动时，不同流层之间的速度不同，在相邻两层之间因为相对运动而产生切向力。快的一层给慢的一层以拉力，慢的一层给快的一层以阻力，这对力就称内摩擦力或粘滞阻力。流体的这种性质称为粘滞性。vy图4-1实验说明，流体内部相邻两层流体之间的内摩擦力f，除了正比于两层之间的接触面积，还正比于该处的速度梯度〔即沿垂直于速度方向上，每单位长度上的速度增量〕：vy图4-1〔4-1〕比例系数称为粘滞系数，只与流体本身的性质有关。流体的粘滞系数与温度有关。对流体来说，粘滞系数随温度升高而减小；对气体那么相反，随温度升高而增大。在温度不变时，压强不特别大〔如几百个大气压〕的情况下，压强对液体的影响极小。超流动性：液氦在温度低于2.16K时，具有无摩擦的在毛细管内流动的特性，其几乎为零。这种性质称为超流动性。测液体粘滞系数的方法很多，本实验用斯托克斯公式测量给定液体的粘滞系数。当小球在无限大的液体中运动，且速度v0不大，同时又没有旋涡产生时，小球所受的粘滞阻力：〔r为小球半径〕，上式即为斯托克斯定律。实验采用近似的斯托克斯定律条件，采用有限的液体，即盛放在量筒中的蓖麻油作为待测液体。小球在液体中自由下落时，受到三个力的作用：重力G、浮力F和粘滞阻力f，三个力都在竖直方向上，重力向下、浮力和粘滞力向上。阻力随小球的速度增加而增加。以静止开始下落的小球，先作加速运动。当下落速度到达一定值时，小求所受三力平衡，开始匀速下落，此时：其中：＝，是钢制小球的密度为蓖麻油的密度〔用密度计测量〕v0为小球匀速运动时的速度最后液体的粘滞系数为：〔4-2〕lFGf图4-2v0可通过如下方法测量：〔采用米尺测量，t采用秒表测量〕。由于在实际测量时液体是盛放在有限的容器中的，不满足无限宽广的条件，这时实际测得的速度v和上述理想条件下的速度vlFGf图4-2〔4-3〕因此，液体的粘度应修正为〔4-4〕式中，R为量筒的内半径，H为液体的深度。由于斯托克斯公式是在无涡流的理想状态下导出的，而实际小球下落时并不是这样的理想状态，因此还要进行修正，粘性力取一级近似为f=6πηνr〔1+〕〔4-5〕式中，雷诺系数Re=2ρ0νr/η，那么修正后的粘度为〔4-6〕【实验内容】1．使盛有待测液体〔蓖麻油〕的量筒的中心轴处于铅直方向；选取标线N1、N2。2．用米尺测量液体深度H及标线间距离h，用游标卡尺测量量筒内径D。3．用螺旋测微器选择10个小球，使它们的半径在误差允许范围内可认为相同。分别测量每个小球的半径。4，用镊子将小球放置在液体外表，使其沿中心轴线下落，用秒表分别测出每个小球通过标线N1N2所用的时间t，取平均值，那么v=h/t。5．利用公式计算η值并求出标准不确定度。【思考题】1．实验中，为什么不从小球落入液面时就开始计时？为何要取标线N1N2？2．如果投入的小球偏离中心轴线，将会有什么影响？3．如果用实验的方法求补正项的系数2.4，应如何进行？4．试推导η的单位是“Pa•s〞。实验五杨氏模量的测量胡克〔R.Hooke1635-1702〕于1678年从实验中总结出，对于有拉伸压缩形变的弹性体，当应变较小时，应变与应力成正比，即图5-1图5-1称为胡克定律。因，，故胡克定律又可表示为式中比例系数E称为杨氏模量。由于为纯数，故杨氏模量和应力有相同的单位：称为“帕斯卡〞，可简称为“帕〞，国际符号为“Pa〞。杨氏模量是表征材料本身弹性的物理量，由胡克定律可知，应力大而应变小，杨氏模量较大；反之，杨氏模量较小。杨氏模量反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。对于一定的材料来说，拉伸和压缩的杨氏模量不同，但通常二者相差不多。仅当形变很小时，应力应变才服从胡克定律。假设应力超过某一限度，到达一点时，撤消外力后，应力回到零，但有剩余应变p，称为塑性应变。塑性力学便是专门研究这类现象恶毒。当外力进一步增大到某一点时，会突然发生很大的形变，该点被称为屈服点。在到达屈服点后不久，材料可能发生断裂，在断裂点被拉断。【实验目的】1．学会用拉伸法测量金属丝的杨氏模量。图5-21．平面镜2．后足3．前足图5-21．平面镜2．后足3．前足3．学会用逐差法处理数据。【实验仪器】杨氏模量测量仪、光杠杆、望远镜直尺组、螺旋测微器、米尺、钢卷尺、砝码等。杨氏模量测量仪如图5-1所示。A、B为钢丝两端的螺丝夹，在B的下端挂有砝码的托盘，调节仪器底部的螺丝J可以使平台水平，且使B刚好悬于平台的圆孔中间。在平台上放有光杠杆G，光杠杆前两足放在平台的槽内，后足尖放在螺丝夹B上。当钢丝伸长时，可通过望远镜直尺组测量光杠杆的偏转角，从而求出钢丝的微小伸长量。光杠杆由平面反射镜、前足、后足组成，如图5-2所示。镜面倾角及前、后足之间距离均可调。望远镜直尺组由刻度尺和望远镜组成，如图5-3所示。转动望远镜目镜可以清楚地看到十字叉丝。调整望远镜调焦手轮并通过光杠杆的平面镜可以看到刻度尺的像，望远镜的轴线可以通过望远镜轴线调整螺钉调整，松开望远镜、刻度尺紧固螺钉，望远镜、刻度尺能够分别沿立柱上下移动。图5-3图5-31．刻度尺；2．望远镜调焦手轮；3．望远镜轴线调整螺钉；4．望远镜紧固螺钉；5．缺口；6．准星；7．刻度尺紧固螺钉对于一根长为l，横截面积为S的钢丝，在外力F的作用下伸长了l，那么由胡克定律可得〔5-1〕式中E为杨氏模量。设钢丝的直径为d，那么S=d2/4，将其代入式〔1〕并整理可得〔5-2〕实验中，我们测出拉力F，钢丝长l、直径d和微小伸长量l，即可代入式〔5-2〕求得杨氏模量E。因为l不易测量，所以测量杨氏模量的装置都是围绕如何测量微小伸长量而设计的。本实验利用光杠杆装置去测量微小伸长量l，拉力F用逐次增加砝码的方式读出，钢丝长l用钢卷尺测出，直径d用螺旋测微器测出。lDama02图5-4a光杠杆装置的原理图如图5-4所示。假设平面镜的法线和望远镜的光轴在同一直线上，且望远镜光轴和刻度尺平面垂直，刻度尺上某一刻度发出的光线经平面镜反射进入望远镜，可在望远镜中十字叉丝处读下该刻度的像，设为alDama02图5-4a因为l很小，且l<<b，也很小，故有：因am-a0<<D，故有：联立两式，消去，有令a=am-a0，那么有〔5-3〕式中b为光杠杆后足尖到前两足尖连线之间垂直距离，用米尺测出，D为光杠杆平面镜到刻度尺之间的垂直距离，用钢卷尺测出，为加砝码前后刻度尺在平面镜中的像移动的距离，通过望远镜中十字叉丝可以读出。这样，样式模量的测量公式可以写为〔5-4〕式中，m为砝码的质量，g为重力加速度。实验时，我们首先记录未加砝码时望远镜中十字叉丝对准刻度尺上某一刻度的像a0，然后逐次增加1.0kg砝码，分别记录各次十字叉丝对准刻度尺上某刻度的像a1，a2，…，a5，砝码加到5.0kg时，在逐次减少1.0kg砝码，分别记录各次十字叉丝对准刻度尺上某刻度的像a4′，a3′，…，a0′。求加砝码相等时的各次记录的平均值，，…，，再由逐差法求出m=3kg时a的平均值〔11-5〕【实验内容】1．仪器调节〔1〕调节杨氏摸量测量仪=1\*GB3①调整杨氏模量测量仪底部的螺丝使立柱铅直〔平台水平〕。=2\*GB3②将光杠杆按要求放在平台上。目视检查其主杆是否水平，如不水平，可上下移动螺丝夹，待主杆水平后旋紧固定螺丝。检查螺丝夹能否在平台圆孔内上下自由移动。调整光杠杆平面镜使镜面位于铅直平面内。=3\*GB3③在钢丝下端托盘上加挂初始砝码〔又称本底砝码，该砝码不应计入以后所加的力F之内〕，拉直钢丝。〔2〕调节光杠杆、望远镜直尺组=1\*GB3①粗调。将望远镜直尺组放在离光杠杆平面镜前1.5～2.0m处，使望远镜和光杠杆处于同一高度；将望远镜水平放置，望远镜轴心线和刻度尺平面竖直放置；调节望远镜的左右位置和在平面内的方位，使沿望远镜镜筒方向观察光杠杆平面镜面，能够看到刻度尺的像和观察者眼睛的像。=2\*GB3②细调。微调望远镜的方位，使刻度尺的像位于视场中央；然后调节目镜，使十字叉丝清晰；再调物镜，使望远镜视场中十字叉丝和刻度尺的像均很清晰。=3\*GB3③消除视差。调节光杠杆平面镜镜面倾角，使十字叉丝对准刻度尺上与望远镜同一高度的位置；微调物镜，消除视差〔上下稍许移动眼睛，刻度线与十字叉丝横线之间不出现相对移动就是无视差〕。2．测量〔1〕仪器调整完毕，记录加挂初始砝码时望远镜中十字叉丝对准刻度尺上某一刻度的像a0。〔2〕逐次增加1.0kg砝码，分别记录各次十字叉丝对准刻度尺上某刻度的像a1，a2，…，a5，砝码加到5.0kg时，在逐次减少1.0kg砝码，分别记录各次十字叉丝对准刻度尺上某刻度的像a4′，a3′，…，a0′。由逐差法求出。〔3〕用钢卷尺测量钢丝的长度l〔螺丝夹A、B之间的距离〕，光杠杆平面镜到刻度尺之间的垂直距离D，分别测量5次。〔4〕用螺旋测微器测量钢丝直径d，选不同位置测5次。〔5〕取下光杠杆，将其放在一张平整的白纸上用力压，用米尺测量光杠杆后足尖到前两足尖连线之间垂直距离b，测量5次。【考前须知】1．在望远镜调整中，必须注意时差的消除，否那么会影响读数的准确性。2．实验过程中不得碰撞仪器，更不能移动光杠杆和望远镜直尺组和的位置。加挂砝码必须轻拿轻放，待系统稳定后才可读数，否那么必须重做。3．待测钢丝不得弯曲，假设加挂初始砝码仍不能将其拉直或严重锈蚀的钢丝必须更换。【思考题】1．如果实验时钢丝有些弯曲，对实验有何影响？如何从实验数据中发现这个问题？2．实验中哪个量的测量误差对实验结果影响最大？对垂直距离b的测量为何不用精度较高的游标卡尺，而用米尺。3．钢的杨氏模量为2×1011N·m-2，而其极限强度〔破坏应力〕为7.5×108N·m-2，二者是否矛盾？为什么？实验六惯性秤【实验目的】1．了解惯性秤测定惯性质量的原理及方法。2．掌握惯性秤的定标方法。3．测定物体的惯性质量以及研究重力加速度对惯性秤的影响。【实验仪器】惯性秤、周期测定仪。惯性秤由平台和秤台组成，它们之间用两条相同的弹性钢条连接起来，附件有砝码组、管制器、待测物及支撑杆等。平台被水平地固定在支撑杆上，秤台用来放置砝码和待测物，并且在秤台上有一圆柱孔，该孔和砝码底座〔包括小砝码和圆柱体〕一起用以固定砝码组的位置和待测物的位置，如图6-1所示。653421653421图6-1惯性秤结构示意图1.秤台；2.弹性钢条；3.台座；4.支架；5.圆柱体；6.光电门。【实验原理】根据牛顿第二定律有m=F/a,把同一个力作用在不同物体上，并测出各自的加速度，就能确定物体的惯性质量。当惯性秤水平固定后，将秤台沿水平方向拨动一厘米左右距离，松开手后，这时秤台及其上面物体将作水平的周期性振动，对此运动起作用的只有秤臂的弹性恢复力。在秤台上的负荷不大且秤台位移很小的情况下，我们可以近似地认为秤台的运动是沿水平方向的简谐振动。设秤台上的物体受到秤臂的弹性恢复力为F=−kx，〔k为秤臂的弹性系数，x为秤台水平偏离平衡位置的距离〕，根据牛顿第二定律，运动方程为：〔6-1〕式中，M0为空秤的惯性质量，M1为砝码的惯性质量。设初相位为零，式〔6-1〕的解为：x=x0cosωt〔6-2〕其中，x0为秤台振幅，ω为圆频率，由此可得：〔6-3〕〔6-4〕当秤台上负荷不大时，认为k是常数。可以看出，惯性秤的水平周期T的平方和惯性质量成正比，即〔6-5〕由上式可知，假设砝码的惯性质量M1，并测出其周期T1，那么只要测得被测物体的振动周期T2，就可以求出其惯性质量M2，这就是使用惯性秤测定惯性质量的根本原理。实验中为了防止计算，常采用作图法。对惯性秤预先作出T2-M定标图线，只要测出T2，就可以直接从图线上读出被测物的惯性质量值。作图方法如下：先测出空秤〔其惯性质量为M0〕的水平振动周期T0，然后将具有相同惯性质量的砝码依次增加放到秤台上，测出分别对应的振动周期T1，T2，……，Ti，绘出相应的T2-M图线,如图6-2所示。这样，只要测出某待测物的振动周期Tk，即可在T2-M图线上找出其对应的惯性质量Mk。至于空秤的惯性质量M0，它是一个常数，在绘制T2-M图线时，取M0作为横坐标的原点即可，这样作图或用图时均可不必考虑M0。图6-2惯性秤的T2-M图线惯性秤必须严格水平放置，才能得到正确的结果，否那么，秤的水平振动将会受到重力的影响。这时，秤台除受到秤臂的弹性恢复力外，还要受到重力在水平方向上的一个分力的作用。为研究重力对惯性秤的影响，可以分为以下两种情况考虑：〔1〕圆柱体悬空；惯性秤仍水平安置，将圆柱体用细线吊在秤台的圆孔内，让圆柱体悬空,如图6-3〔a〕所示。此时，圆柱体重量不再铅直地作用在秤臂上，由于被测物在偏离平衡位置后，其重力的水平方向分力作用在秤台上，从而使秤的振动周期有所变化，在位移x与悬线长L〔由悬点到圆柱体中心的距离〕相比拟小时，忽略圆柱体与秤台圆孔间的摩擦阻力，那么作用于振动系统上的恢复力为kx+Mgx/L，此时振动周期为：〔6-6〕那么：〔6-7〕〔a〕惯性秤水平放置〔b〕惯性秤竖直放置图6-3可见，这种情况下秤臂的振动周期要小一些。〔2〕秤臂竖置安装。此时秤台的振动亦在铅直面内进行，假设秤台中心至台座中心的距离为l,如图6-3(b)所示。此时振动系统的运动方程可以写成：〔6-8〕相应的周期可以写成：〔6-9〕那么：〔6-10〕可见，由于重力影响，其振动周期也会比水平位置时的周期减小。【实验内容】1．作惯性秤水平放置时的定标曲线。〔1〕用水准仪校准惯性秤秤臂的水平，接好周期测定仪。〔2〕将惯性秤沿水平方向稍稍拨离，任其振动，测定空秤时M0的周期T0，然后依次加上砝码Mi，测定周期Ti。注意加砝码时应对称参加，使砝码重心一直位于秤台中心。〔3〕根据的质量Mi和测得的周期Ti，绘出惯性秤水平放置时的Ti²-Mi定标曲线。2．测定圆柱体的惯性质量。〔1〕将圆柱体放入秤台圆孔中，测定其周期T。〔2〕从定标曲线中查出待测圆柱体的惯性质量M0。3．研究重力对惯性秤的影响。〔1〕惯性秤仍水平放置，用细线把圆柱体吊在秤台中心圆孔内，使其悬空。测出由悬点至圆柱体重心的距离L，测定其振动周期T＇，并和实验内容2中测定的T作比拟。注意应尽量使圆柱体重心与秤台中心重合。〔2〕将惯性秤竖直放置，将圆柱体放入秤台圆孔中，测出秤台中心至台座中心的距离l，测定其周期T"，并和实验内容2中测定的T作比拟。【思考题】1．通过对T与T＇、T"的比拟，你能得到什么结论？2．处在失重状态的两个质量不同的物体，你能用天平区分它们的引力质量大小吗？假设用惯性秤，你能区分它们的惯性质量大小吗？实验七电磁学实验的