导数与极值最值讲义 高三数学一轮复习

四、导数与函数的极值、最值1、函数的导数与极值(1)极大值：如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，且f′(x0)＝0，那么f(x0)是极大值；(2)极小值：如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，且f′(x0)＝0，那么f(x0)是极小值．★极值点2、函数的最值与导数求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【例1】（1）已知函数求函数的极值．【解析】，，(0,1)1(1,+∞)-0+单调递减极小值单调递增所以在x=1处取得极小值1．函数没有极大值．（2）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则eq\f(a,b)＝________.【解析】由题意知，f(x)=3x2+2ax+b,f(1)=0,f(1)=10,即，解得，经检验，满足题意，故.（3）函数y＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是________．【解析】y′＝6x2－4x，令y′＝0，得x＝0或x＝eq\f(2,3).因为f(－1)＝－4，f(0)＝0，＝－eq\f(8,27)，f(2)＝8.所以最大值为8.【变式探究1】已知函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－x，则使得f(x)取得极大值的x＝________.数f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________.3、已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________．4、已知函数.若在时，有极值，则=_________5、已知．设是的极值点，则=_________6、已知x=1是函数的一个极值点，则曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为__________．2、导数与零点【例2】设函数(1)求曲线在处的切线方程；(2)求的单调区间与极值；(3)若方程有实数解，求实数的范围．【解析】(1)的定义域为，，，又，∴曲线在处的切线方程为，即；(2)，令，得，列表如下：极小值∴的单调递减区间是，单调递增区间是，；(3)∵在上左减右增，且在处取极小值，无极大值，则，又∵可化简为，可看作与图象交点，则．【变式探究2】1、已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点，求的取值范围．2、设函数，其中．（Ⅰ）当为偶函数时，求函数的极值；（Ⅱ）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围．习题：四、导数与函数的极值、最值1、函数在其极值点处的切线方程为_________________.2、函数y＝2x3－3x2－12x＋a在区间[0,2]上的最大值为5，则a的值为________．3、函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则实数a等于()A．2B．3C．4D．54、已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________.5、已知a函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a=（）A、-4B、-2C、4D、26、设，若为函数的极大值点，则（）A． B． C． D．7.函数在区间的最小值、最大值分别为（）