课时跟踪检测（十四） 万有引力定律与航天

PAGE第5页共8页课时跟踪检测（十四）万有引力定律与航天一、立足主干知识，注重基础性和综合性1．(2020·全国卷Ⅰ)火星的质量约为地球质量的eq\f(1,10)，半径约为地球半径的eq\f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为()A．0.2 B．0.4C．2.0 D．2.5解析：选B由万有引力定律可得，质量为m的物体在地球表面受到的万有引力大小为F地＝Geq\f(M地m,R地2)，质量为m的物体在火星表面受到的万有引力大小为F火＝Geq\f(M火m,R火2)，二者的比值eq\f(F火,F地)＝eq\f(M火R地2,M地R火2)＝0.4，B正确，A、C、D错误。2．(2020·北京等级考)我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是()A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度解析：选A第二宇宙速度是物体脱离地球引力束缚的最小发射速度，火星探测器需要脱离地球引力的束缚，故其发射速度应大于地球的第二宇宙速度，A正确，B错误；物体在中心天体附近绕中心天体做匀速圆周运动的速度为该天体的第一宇宙速度，由eq\f(GMm,R2)＝meq\f(v2,R)，可得v＝eq\r(\f(GM,R))，则火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比eq\f(v火,v地)＝eq\r(\f(M火R地,M地R火))＝eq\r(\f(1,5))，所以火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，C错误；当物体在天体表面时，近似有eq\f(GMm,R2)＝mg，可得g＝eq\f(GM,R2)，则火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比eq\f(g火,g地)＝eq\f(M火R地2,M地R火2)＝eq\f(2,5)，则火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，D错误。3．(2020·全国卷Ⅱ)若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是()A.eq\r(\f(3π,Gρ)) B.eq\r(\f(4π,Gρ))C.eq\r(\f(1,3πGρ)) D.eq\r(\f(1,4πGρ))解析：选A根据万有引力定律有Geq\f(Mm,R2)＝mReq\f(4π2,T2)，又M＝ρ·eq\f(4πR3,3)，解得T＝eq\r(\f(3π,Gρ))，B、C、D项错误，A项正确。4．(2020·浙江7月选考)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的()A．轨道周长之比为2∶3B．线速度大小之比为eq\r(3)∶eq\r(2)C．角速度大小之比为2eq\r(2)∶3eq\r(3)D．向心加速度大小之比为9∶4解析：选C火星与地球轨道周长之比等于公转轨道半径之比，A项错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由Geq\f(Mm,r2)＝ma＝meq\f(v2,r)＝mω2r，解得a＝eq\f(GM,r2)，v＝eq\r(\f(GM,r))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，所以火星与地球线速度大小之比为eq\r(2)∶eq\r(3)，B项错误；角速度大小之比为2eq\r(2)∶3eq\r(3)，C项正确；向心加速度大小之比为4∶9，D项错误。5．(2021年1月新高考8省联考·江苏卷)2020年12月3日，嫦娥五号上升器携带月壤样品成功回到预定环月轨道，这是我国首次实现地外天体起飞。环月轨道可以近似为圆轨道，已知轨道半径为r，月球质量为M，引力常量为G。则上升器在环月轨道运行的速度为()A.eq\f(GM,r2) B.eq\f(GM,r)C.eq\r(\f(GM,r2)) D.eq\r(\f(GM,r))解析：选D根据卫星绕月球做圆周运动的向心力等于万有引力，则Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(GM,r))，故选项D正确。6．(2021年1月新高考8省联考·河北卷)假定“嫦娥五号”轨道舱绕月飞行时，轨道是贴近月球表面的圆形轨道。已知地球密度为月球密度的k倍，地球同步卫星的轨道半径为地球半径的n倍，则轨道舱绕月飞行的周期与地球同步卫星周期的比值为()A.eq\r(\f(k,n3)) B.eq\r(\f(n3,k))C.eq\r(\f(k,n)) D.eq\r(\f(n,k))解析：选A根据万有引力充当向心力，设地球的半径为R，月球的半径为r，地球同步卫星的同期为T1，轨道舱绕月飞行的周期为T2，对地球同步卫星有Geq\f(M1m1,nR2)＝m1eq\f(4π2,T12)·nR对轨道舱绕月飞行时有Geq\f(M2m2,r2)＝m2eq\f(4π2,T22)r地球的质量M1和月球的质量M2分别为M1＝ρ1eq\f(4,3)πR3，M2＝ρ2eq\f(4,3)πr3ρ1＝kρ2联立解得eq\f(T2,T1)＝eq\r(\f(k,n3))，故A项正确。7．(2020·江苏高考改编)甲、乙两颗人造卫星均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有()A．由v＝eq\r(gR)可知，甲的速度是乙的eq\r(2)倍B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍C．由F＝eq\f(GMm,r2)可知，甲的向心力是乙的eq\f(1,4)D．由eq\f(r3,T2)＝k可知，甲的周期是乙的2eq\r(2)倍解析：选D两卫星均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍，由eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，则乙的速度是甲的eq\r(2)倍，选项A错误；由ma＝eq\f(GMm,r2)，可得a＝eq\f(GM,r2)，则乙的向心加速度是甲的4倍，选项B错误；根据F＝eq\f(GMm,r2)，由于不能确定两人造卫星质量是否相等，所有不能确定甲的向心力是乙的eq\f(1,4)，选项C错误；两卫星均绕地球做圆周运动，且甲的轨道半径是乙的2倍，结合开普勒第三定律可知，甲的周期是乙的2eq\r(2)倍，选项D正确。8．(2021·江苏重点高中联考)据悉我国计划于2022年左右建成天宫空间站，它在离地面高度为400～450km的轨道上绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径大约为地球同步卫星轨道半径的六分之一，则下列说法正确的是()A．空间站运行的加速度等于地球同步卫星运行的加速度的6倍B．空间站运行的速度约等于地球同步卫星运行速度的eq\r(6)倍C．空间站运行的周期等于地球的自转周期的1倍D．空间站运行的角速度小于地球自转的角速度解析：选B设空间站运行的半径为R1，地球同步卫星轨道半径为R2，由eq\f(GMm,r2)＝ma＝meq\f(v2,r)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r，得：a＝eq\f(GM,r2)v＝eq\r(\f(GM,r))，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))由于eq\f(R1,R2)＝eq\f(1,6)，则有a1∶a2＝36∶1v1∶v2＝eq\r(6)∶1，T1∶T2＝1∶6eq\r(6)故A、C错误，B正确；由于地球自转的角速度等于地球同步卫星的角速度，故可以得到空间站运行的角速度大于地球自转的角速度，故D错误。9．(2021年1月新高考8省联考·重庆卷)近地卫星绕地球的运动可视为匀速圆周运动，若其轨道半径近似等于地球半径R，运行周期为T，地球质量为M，引力常量为G，则()A．近地卫星绕地球运动的向心加速度大小近似为eq\f(2π2R,T2)B．近地卫星绕地球运动的线速度大小近似为eq\r(\f(R,GM))C．地球表面的重力加速度大小近似为eq\f(M,GR2)D．地球的平均密度近似为eq\f(3π,GT2)解析：选D由向心加速度公式可知，近地卫星绕地球运动的向心加速度大小an＝ω2R＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2R＝eq\f(4π2R,T2)，故A错误；近地卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供，由向心力公式得Geq\f(Mm,R2)＝eq\f(mv2,R)，解得近地卫星绕地球运动的线速度大小v＝eq\r(\f(GM,R))，故B错误；地球表面的重力等于万有引力，所以有mg＝Geq\f(Mm,R2)，地球表面的重力加速度大小为g＝eq\f(GM,R2)，故C错误；近地卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供，由向心力公式得Geq\f(Mm,R2)＝mReq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2，解得地球的质量为M＝eq\f(4π2R3,GT2)，地球的平均密度近似为ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(4π2R3,GT2),\f(4πR3,3))＝eq\f(3π,GT2)，故D正确。10．(2021·武汉模拟)2019年11月我国首颗亚米级高分辨率光学传输型立体测绘卫星高分七号成功发射，高分七号在距地面约600km的圆轨道上运行，先期发射的高分四号卫星在距地面约36000km的地球同步轨道运行，关于两颗卫星的下列说法正确的是()A．高分七号比高分四号运行速率小B．高分七号比高分四号运行周期大C．高分七号比高分四号向心加速度小D．相同时间内高分七号与地心连线扫过的面积比高分四号小解析：选D万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，运行轨道半径越大，运行的速度越小，高分七号比高分四号运行速率大，故A错误；万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，运行轨道半径越大，运行的周期越大，所以高分七号比高分四号运行周期小，故B错误；万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得，Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得a＝eq\f(GM,r2)，运行轨道半径越大，运行的加速度越小，所以高分七号比高分四号向心加速度大，故C错误；卫星与地心连线扫过的面积为S＝eq\f(1,2)r2θ＝eq\f(1,2)rvt＝eq\f(t,2)eq\r(GMr)，相同时间内，运行轨道半径越大，与地心连线扫过的面积越大，相同时间内高分七号与地心连线扫过的面积比高分四号小，故D正确。11．(2021·苏州一模)已知地球的半径为R，表面的重力加速度为g，月球球心离地球球心的距离为r1，地球同步卫星离地球球心的距离为r2，r1>r2，将月球和地球同步卫星的运动都看作匀速圆周运动，以下说法正确的是()A．月球的线速度比同步卫星的线速度大B．地球赤道上的物体随地球自转的线速度比同步卫星的线速度大C．月球绕地球转动的向心加速度为eq\f(R2,r12)gD．月球表面的重力加速度为eq\f(R2,r12)g解析：选C由公式Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))，由于r1>r2，则月球的线速度比同步卫星的线速度小，故A错误；地球赤道上的物体随地球自转角速度与同步卫星的角速度相等，由v＝ωr可知，地球赤道上的物体随地球自转的线速度比同步卫星的线速度小，故B错误；在地球表面有Geq\f(Mm0,R2)＝m0g，对月球绕地球做圆周运动有Geq\f(Mm,r12)＝ma，联立得a＝eq\f(gR2,r12)，故C正确；由于不知道月球的质量和半径，则无法得到月球表面的重力加速度，故D错误。二、强化迁移能力，突出创新性和应用性12．(2021·徐州联考)中国航天科工集团虹云工程，将在2023年前共发射156颗卫星组成的天基互联网，建成后WiFi信号覆盖全球。假设这些卫星中有一颗卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为eq\f(T0,16)(T0为地球的自转周期)，已知地球的第一宇宙速度为v，地球表面的重力加速度为g，则该卫星绕地球做匀速圆周运动轨道半径为()A.eq\f(v2,g) B.eq\f(v2,2g)C.eq\r(3,\f(T02v4,4gπ2)) D.eq\f(1,8)eq\r(3,\f(T02v4,2gπ2))解析：选D绕地球表面旋转的卫星对应的速度是第一宇宙速度，此时重力提供向心力，设卫星的质量为m，即mg＝meq\f(v2,R)，得出R＝eq\f(v2,g)，而卫星在高空中做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，设地球的质量为M，则有Geq\f(Mm,r2)＝mreq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\a\vs4\al(2π),\f(T0,16))))2，其中GM＝R2g，解得：该卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r＝eq\f(1,8)eq\r(3,\f(T02v4,2gπ2))，故D正确。13．轨道平面与赤道平面夹角为90°的人造地球卫星被称为极地轨道卫星，它运行时能到达南北极的上空，需要在全球范围内进行观测和应用的气象卫星、导航卫星等都采用这种轨道。如图所示，若某颗极地轨道卫星从北纬45°的正上方按图示方向首次运行到南纬45°的正上方用时45分钟，则()A．该卫星的运行速度一定小于7.9km/sB．该卫星绕地球运行的周期与地球同步卫星的周期之比为1∶4C．该卫星的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径之比为1∶2D．该卫星的加速度与地球同步卫星的加速度之比为2∶1解析：选A由于卫星的轨道半径大于地球半径，所以卫星的线速度小于第一宇宙速度，即卫星的线速度小于7.9km/s，故A正确；由题意可知，卫星的周期T＝eq\f(360°,90°)×45min＝180min＝3h，而地球同步卫星的周期是24h，故它与地球同步卫星的周期之比为1∶8，故B错误；由万有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r，解得r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))，该卫星轨道半径与地球同步卫星轨道半径之比eq\f(r,r同步)＝eq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T,T同步)))2)＝eq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,24)))2)＝eq\f(1,4)，故C错误；由万有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得a＝eq\f(GM,r2)，该卫星加速度与地球同步卫星加速度之比为eq\f(a,a同步)＝eq\f(r同步2,r2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,1)))2＝eq\f(16,1)，故D错误。14.“墨子号”卫星是我国首颗量子科学实验卫星。如图所示，“墨子号”卫星的工作高度约为500km，在轨道上绕地球做匀速圆周运动，经过时间t(t小于其运动周期)，运动的弧长为s，与地球中心连线扫过的角度为θ弧度，引力常量为G，则下列关于“墨子号”的说法正确的是()A．线速度大于第一宇宙速度B．质量为eq\f(s3,Gt2θ)C．环绕周期为eq\f(2πt,θ)D．向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度解析：选C第一宇宙速度是卫星绕地球做圆周运动的最大环绕速度，可知“墨子号”的线速度一定小于第一宇宙速度，故A错误；“墨子号”卫星是环绕天体，根据万有引力提供向心力无法求出“墨子号”的质量，故B错误；卫星的角速度ω＝eq\f(θ,t)，则周期T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2πt,θ)，故C正确；根据Geq\f(Mm,r2)＝ma，可得a＝Geq\f(M,r2)，“墨子号”卫星的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，则“墨子号”卫星的向心加速度大于同步卫星的向心加速度，故D错误。15.(2021·衡水模拟)2019年4月10日21时，天文学家发布了人类历史上第一张黑洞照片(如图所示)。黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞。已知某黑洞的逃逸速度为v＝eq\r(\f(2GM,R))，其中引力常量为G，M是该黑洞的质量，R是该黑洞的半径。若天文学家观测到与该黑洞相距为r的天体以周期T绕该黑洞做匀速圆周运动，则下列关于该黑洞的说法正确的是()A．该黑洞的质量为eq\f(GT2,4πr3)B．该黑洞的质量为eq\f(4πr3,GT2)C．该黑洞的最大半径为eq\f(4π2r3,c2)D．该黑洞的最大半径为eq\f(8π2r3,c2T2)解析：选D天体绕黑洞运动时，有eq\f(GMm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f