南京农业大学 概率论与数理统计各章重点知识整理

1.AB=(A与B互不相容或互斥)事件A与B不能同时发生；2.AB=且A∪B=S(A与B互为逆事件或对立事件)德•摩根律A=(AB)(AB￣)3.概率：对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件A的概率。对于两两互不相容的事件A1,A2,…(AiAj=φ,i≠j,i,j=1,2,…),P(A1∪A2∪…)=P(A1)+P(A2)+…4.性质：(1)P()=0；(2)有限可加性：对于n个两两互不相容的事件A1,A2,…,An,P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)(有限可加性与可列可加性合称加法定理)(3)若AB,则P(A)≤P(B),P(B-A)=P(B)-P(A)；(4)对于任一事件A,P(A)≤1,P(A)=1-P(A)；(5)加法定理:对于任意二事件A,B,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB).5.条件概率:P(B|A)=P(AB)/P(A)(P(A)>0)。6.乘法定理：P(AB)=P(A)P(B|A)(P(A)>0)。P(AB)=P(B)P(A|B)(P(B)>0).7.B1,B2,…,Bn是样本空间S的一个划分(BiBj=φ,i≠j,i,j=1,2,…,n,B1∪B2∪…∪Bn=S),则,当P(Bi)>0时,有全概率公式P(A)=(知因求果)当P(A)>0,P(Bi)>0时,有贝叶斯公式P(Bi|A)=.8．独立性：满足P(AB)=P(A)P(B)称A、B为相互独立的事件。(1)A,B相互独立P(B)=P(B|A)；(2)若A与B,A与,与B,,与中有一对相互独立,则另外三对也相互独立；（3）三个事件A,B,C满足：P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),称A,B,C三事件两两相互独立；若再满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C),则称A,B,C三事件相互独立；（4）n个事件A1,A2,…,An,如果对任意k(1<k≤n),任意1≤i1<i2<…<ik≤n.有,则称这n个事件A1,A2,…,An相互独立。9．随机变量X的分布函数F(x)=P{X≤x}其性质为:(1)0≤F(x)≤1,F(-∞)=0,F(∞)=1.(2)F(x)单调不减,即若x1<x2,则F(x1)≤F(x2)；(3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x).(4)P{x1<X≤x2}=F(x2)-F(x1).10.离散型随机变量的分布律P{X=xk}=pk(k=1,2,…)其性质为:(1)非负性0≤Pk≤1;(2)归一性11.三种离散型随机变量的分布(1)X~(0-1)分布：P{X=k}=p,P{X=0}=1–p(0<p<1).(2)X~b(n,p)参数为n,p的二项分布P{X=k}=(k=0，1..)(0<p<1)(3))X~()参数为的泊松分布P{X=k}=(k=0,1,2,…)(>0)12.连续型随机变量(1).定义：如果F(x)=,-∞<x<∞,则称X为连续型随机变量,其中f(x)称为X的概率密度(函数).(2).概率密度的性质：(1)非负性f(x)≥0;(2)归一性=1;(3)P{x1<X≤x2}=13.三种连续型随机变量分布(1)X～U(a,b)区间(a,b)上的均匀分布.F(x)=x-a/b-a(2)X服从参数为的指数分布.(q>0).(3)X~N(,2)参数为m,s的正态分布-<x<,s>0.特别,m=0,s2=1时,称X服从标准正态分布,记为X~N(0,1),其概率密度,标准正态分布函数,(-x)=1-Φ(x).若X～N((m,s2),则Z=~N(0,1),P{x1<X≤x2}=Φ()-Φ().若P{Z>za}=P{Z<-za}=P{|Z|>za/2}=a,则点za,-za,za/2分别称为标准正态分布的上,下,双侧a分位点.注意：F(z)=1-,z1-a=-za.14.随机变量X的函数Y=g(X)的分布:连续型随机变量的函数:若X的概率密度为fX(x),则求其函数Y=g(X)的概率密度fY(y)常用两种方法：(1)分布函数法:先求Y的分布函数FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=其中Δk(y)是与g(X)≤y对应的X的可能值x所在的区间(可能不只一个),然后对y求导即得fY(y)=FY/(y).(2)公式法:若g(x)处处可导,且恒有g/(x)>0(或g/(x)<0),则Y=g(X)是连续型随机变量,其概率密度为其中h(y)是g(x)的反函数,=min(g(-),g())=max(g(-),g()).如果f(x)在有限区间[a,b]以外等于零,则=min(g(a),g(b))=max(g(a),g(b)).15.二维随机变量分布函数的性质：(1)F(x,y)分别关于x和y单调不减.(2)0≤F(x,y)≤1,F(x,-)=0,F(-,y)=0,F(-,-)=0,F(,)=1.(3)F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y).(4)对于任意实数x1<x2,y1<y2，P{x1<X≤x2,y1<Y≤y2}=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)16.二维连续型随机变量及其联合概率密度 1.定义：如果F(x,y)=则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X和Y的联合)概率密度.2.性质：(1)非负性f(x,y)≥0；(2)归一性：；(3)若f(x,y)在点(x,y)连续,则(4)若G为xoy平面上一个区域,则.17.边缘分布:(X,Y)关于X的边缘分布函数FX(x)=P{X≤x,Y<}=F(x,);关于Y的边缘分布函数FY(y)=P{X<,Y≤y}=F(,y)18.二维离散型随机变量(X,Y):关于X的边缘分布律P{X=xi}==pi·(i=1,2,…)关于Y的边缘分布律P{Y=yj}==p·j(j=1,2,…)19.二维连续型随机变量(X,Y):关于X的边缘概率密fX(x)=归一性;关于Y的边缘概率密度fY(y)=归一性20.相互独立的随机变量：若对一切实数x,y,均有F(x,y)=FX(x)FY(y),则称X和Y相互独立.离散型X和Y相互独立pij=pi··p·j；连续型X和Y相互独立f(x,y)=fX(x)fY(y)21．条件分布：二维离散型：设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=yj}>0,则称P{X=xi|Y=yj}为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律.同样,对于固定的i,若P{X=xi}>0,则称P{Y=yj|X=xi}为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律.22.数学期望和方差的定义随机变量X 离散型变量 连续型变量 分布律P{X=xi}=pi概率密度f(x)E(X) D(X)=E{[X-E(X)]2}函数E(Y)=E[g(X)]23.数学期望与方差的性质:1.c为为任意常数时,E(c)=c,E(cX)=cE(X),D(c)=0,D(cX)=c2D(X).2.X,Y为任意随机变量时,E(X±Y)=E(X)±E(Y).3.X与Y相互独立时,E(XY)=E(X)E(Y),D(X±Y)=D(X)+D(Y).4.D(X)=0P{X=C}=1,C为常数.24.六种重要分布的数学期望和方差E(X)D(X)1.X~(0-1)分布P{X=1}=p(0<p<1) p p(1-p)2.X~b(n,p)(0<p<1)np np(1-p)3.X~()l4.X~U(a,b)(a+b)/2(b-a)2/125.参数为的指数分布 26.X~N(,2)225.样本均值样本方差样本标准差S样本k阶矩(k=1,2,…)样本k阶中心矩(k=1,2,…)26.2分布(1)定义:若X～N(0,1),则Y=~c2(n)自由度为n的c2分布.(2)性质:①若Y~c2(n),则E(Y)=n,D(Y)=2n.②若Y1~c2(n1)Y2~c2(n2),则Y1+Y2~c2(n1+n2).③若X~N(m,s2),则~c2(n-1),且与S2相互独立.(3)分位点若Y~c2(n),0<<1,则满足的点分别称为c2分布的上、下、双侧分位点.27.t分布:若X~N(0,1),Y~c2(n),且X,Y相互独立,则t=~t(n)自由度为n的t分布.(2)性质①n→∞时,t分布的极限为标准正态分布.②X～N(m,s2)时,~t(n-1).③两个正态总体 相互独立的样本样本均值样本方差X~N(m1,s12)且s12=s22=s2X1,X2,…,Xn1S12Y~N(m2,s22) Y1,Y2,…,Yn2S22则~t(n1+n2-2),其中(3)分位点t~t(n),0<a<1,则满足的点分别称t分布的上、下、双侧a分位点.注意:t1-a(n)=-ta(n).4.F分布(1)定义若U~c2(n1),V~c2(n2),且U,V相互独立,则F=~F(n1,n2)自由度为(n1,n2)的F分布.(2)性质(条件同3.(2)③)~F(n1-1,n2-1)(3)分位点若F~F(n1,n2),0<a<1,则满足的点分别称为F分布的上、下、双侧a分位点.注意:28．参数估计一.点估计总体X的分布中有k个待估参数1,2,…,k.X1,X2,…,Xn是X的一个样本,x1,x2,…,xn是样本值.1.矩估计法先求总体矩解此方程组,得到,以样本矩Al取代总体矩l(l=1,2,…,k)得到矩估计量,若代入样本值则得到矩估计值.2.最大似然估计法：若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p(x,q1,q2,…,qk),称样本X1,X2,…,Xn的联合分布为似然函数.取使似然函数达到最大值的,称为参数q1,q2,…,qk的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L(q1,q2,…,qk)关于q1,q2,…,qk可微,则一般可由似然方程组或对数似然方程组(i=1,2,…,k)求出最大似然估计.3.估计量的标准：无偏性若E()=q,则估计量称为参数q的无偏估计量.不论总体X服从什么分布,E()=E(X),E(S2)=D(X),E(Ak)=k=E(Xk),即样本均值,样本方差S2,样本k阶矩Ak分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k阶矩k的无偏估计,(2)有效性：若E(1)=E(2)=q,而D(1)<D(2),则称估计量1比2有效.(3)一致性(相合性)若n→∞时,,则称估计量是参数q的相合估计量.二.区间估计1.求参数q的置信水平为1-a的双侧置信区间的步骤(1)寻找样本函数W=W(X1,X2,…,Xn,q),其中只有一个待估参数q未知,且其分布完全确定.(2)利用双侧a分位点找出W的区间(a,b),使P{a<W<b}=1-a.(3)由不等式a<W<b解出则区间()为所求.2.单个正态总体待估参数其它参数枢轴量及其分布置信区间ms2已知~N(0,1)()ms2未知~t(n-1)s2m未知~2(n-1)3.两个正态总体(1)均值差m1-m2其它参数枢轴量及其分布置信区间~