数学论文 浅谈数列求和的若干方法方法

第10页共10页第9页共10页目录摘要 1ABSTRACT 21．引言 22．公式法 23．错位相减法［2］ 34．到序相加法［2］ 45．通项分析法 56．拆项分组求和法［3］ 57．裂项法［2］ 68．导数求和法［3］ 69．数学归纳法 710．递推数列求和法[5] 811．无穷递缩等比数列求和法[1] 9小结 9参考文献 9致谢 10浅谈数列求和的若干方法方法摘要初学者对这部分的内容有畏难情绪，以至没有学好此内容。关于数列求和前人也作过不少文章，但随着数学的发展，数列求和出现了新题型，数列求和的若干方法不但解决了数列的一般求和也很好的处理了递推问题。要解决一类问题，数列求和是从它们的本质特点出发，去寻找最一般的方法，从而得出的结论比较具有针对性，可以普遍推广。本章的内容规律性比较强，只要抓住它们的不同特点，相应的归类就比较容易地解答。根据数列的不同特点，给出了数列通项与求和的一般形式，很好地解决了数列求和的若干问题，为学好本章起到很大的帮助作用。关键词：数列；前项和；通项公式；递推求和SUMMATIONOFANUBEROFSETIESABSTRACTSeriessummationseriesarethefocusofthischapter,butalsodifficult.Sometimessuchproblemsistomuchtrouble,ifnotimpossibletodothis,thispartofthecontentsofbeginnershavefearofdifficulty,emotional,andsohasfailedtolearnthiscontent.Summationseriesaboutitforanumberofpreviousarticle,butwiththedevelopmentofmath,sumseriesofnewquestionshavealsoemerged,anumberofseriessummationoftheserieswillnotonlysolvethegeneralsumisalsoaverygooddealwiththedeliverypushingproblem.Onetypeofproblemtosolve,anumberofseriessummationarefromtheirnature,characteristics,thegolookingforthemostgeneralwaytocomparetheconclusionsthustargetedtothegeneralpromotion.Regulartyofthecontentsofthischapterarerelativelystrong,aslongastheygraspthedifferentcharacteristics,thecorrespondingclassificationcaneasilyanswer.Accordingtothegeneralform,averygoodsolutiontoaseriessummationofanumberofissues,inordertolearntoplayagreathelpinthischapter.Keywords:series；pre-nand;formula;recursivesummation1．引言数列、极限、数学归纳法是中学数学的重要类容，从近十年的高考来看，通项公式、前n项和公式仍是考查的重点，以下说明数列求和的几种方法。2．公式法对于以下数列可利用公式直接求和。（1）等差数列：（其中：前n项和，：首项，：末项，d：公差，n：项数，下同）［1］（2）等比数列：（）：公比［1］（3）自然数的平方和［1］（4）自然数的立方和［1］例1、求两位数的奇数之和解：最小的两位奇数是11，最大的两位奇数是99，两位奇数共有45个，若所求之和为个，则=11+13+15+…+99它是公差为2的等差数列前45项之和，于是：例2：求和：解：设所求之和为，则，这是公比为的等比数列前项之和。（1）、若即则有（2）、若即则有3．错位相减法［2］如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应之积住成，那么此数列可采用错位相减法，即为此数列，为等差数列，为等比数列，例3、设求数列、、……的前项和分析：这个数列的每一项都含有，而=1或不等于1，对数列求和方法上有本质的不同，所以解题时需要进行讨论。解：若，若，，此时，该数列可以看成等差数列1、2、3…与等比数列、、…的积构成的数列，且公比，在上述等号两边同时乘，有两式相减得所以，从而得4．到序相加法［2］如果一个数列与首末两项等距的两项之和等于两项之和，可采用正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和。例4、求和：解：令将上式中各项的次序反过来，得：上述2式左右两边分别相加，并利用，得所以5．通项分析法对数列的通项求和或变形，进行分析，从而决定使用哪种方法求和。例5、求数列1，，，，…的前项和，（）解：当=1时，则当时，，（为偶数）和，（为奇数）可见当||时，，所以==6．拆项分组求和法［3］某些数列虽不是等差数列或等比数列，但可以拆成几个可以直接求和的数列分别之和，然后相加。例6、求和解：===7．裂项法［2］顾名思义，裂项法就是把数列的项拆成几项，然后相加时各项相消，达到求和目的的一种方法。例7、求数列的前项和分析：该数列的分子是偶数的平方，分母是奇数列相邻两项的乘积，用分子凑分母的方法，化简分式，然后再拆项，有

解：+8．导数求和法［3］通过对数列的通项进行联想，合理运用逆向思维，由求导公式，可联想到它们是另外一个和式的导数。关键要抓住数列通项的结构特征。例8、求和：解：当=1时，Sn=1+2+3+…+=当1时，两边都是关于的函数，求导得（即9．数学归纳法有些题目通过求出的的前项之和，猜想出，然后用数学归纳法证明。例9、设数列的前项之和为，满足3（求解：因为由，3（，得3（所以而所以3得同理求得推测下面用数学归纳法加以证明（1）、当=1时，结论显然成立。（2）、假设时结论成立，即由题设有知

又因为所以，有则时结论亦成立。据（1），（2），对于总成立。10．递推数列求和法[5]递推数列求和是较难的一类，针对这类题，一般先要研究通项公式，而求通项公式又往往是难点，通项求出就可以从本质上去求和，下面介绍地推数列通项的方法。例10、已知数列，求解：要求，首先寻找因故所以是以2为公比，为首项的等比数列。所以所以=所以11．无穷递缩等比数列求和法[1]当等比数列的公比||时，要求其前项和，我们可以直接运用公式，例11、求数列的前项和解：由题设可知此数列为递缩等比数列，公比，故前项和小结数列求和问题虽然很难，但我们总可以通过找出共同的特点和规律或进行恒等变换得到解决的途径。以上几种方法是求数列较适用的方法，是从根本上去认识数列求和。类型较全，公