2001-2007年天津市大学数学竞赛(打印版)

PAGEPAGE12007年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）设函数，，且当x→0时，与为等价无穷小，则a=3。设函数在点处取得极小值，则。。曲线在点（1，1，2）处的切线方程为。。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1.设函数连续，则下列函数中必为偶函数的是（）（A）；（B）；（C）；（D）。2.设函数具有一阶导数，下述结论中正确的是（）（A）若只有一个零点，则必至少有两个零点；（B）若至少有一个零点，则必至少有两个零点；（C）若没有零点，则至少有一个零点；（D）若没有零点，则至多有一个零点。3.设函数在区间内具有二阶导数，满足，，又，则当时恒有（）（A）；（B）；（C）；（D）。4.考虑二元函数在点处的下面四条性质：①连续；②可微；③与存在；④与连续。若用“PQ”表示可由性质P推出性质Q，则有（）（A）②③①；（B）④②①；（C）②④①；（D）④③②。5.设二元函数具有一阶连续偏导数，曲线L：过第二象限内的点M和第四象限内的点N，Γ为L上从点M到点N的一段弧，则下列积分值为负的是（）（A）；（B）；（C）；（D）。三、已知曲线与曲线在点(0,0)处具有相同的切线，写出该切线方程，并求极限。（本题6分）四、证明：当x>2时，。（本题7分）五、设，求。（本题7分）六、设当时，，且，试确定常数a的值，使在x=0点处可导，并求此导数。（本题7分）七、设函数在区间内连续，且满足，⑴求；⑵计算，其中L是从原点O到点M（1,3）的任意一条光滑弧。（本题7分）八、求过第一卦限中的点(a,b,c)的平面，使之与三坐标平面所围成的四面体的体积最小。（本题8分）九、设，计算。（本题7分）十、设函数，其中在点(0,0)的一个邻域内连续，证明：在点(0,0)处可微的充要条件是。（本题8分）十一、计算，其中为一连续函数，Σ是平面在第四卦限部分的上侧。（本题7分）十二、设函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且有，，则至少存在一点，使得。（本题6分）2006年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1．若是上的连续函数，则a=。2．函数在区间上的最大值为。3．。4．由曲线绕y轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为。5．设函数由方程所确定，则。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）设函数f(x)可导，并且，则当时，该函数在点处微分dy是的（）（A）等价无穷小；（B）同阶但不等价的无穷小；（C）高阶无穷小；（D）低阶无穷小。设函数f(x)在点x=a处可导，则在点x=a处不可导的充要条件是（）（A）f(a)=0，且；（B）f(a)≠0，但；（C）f(a)=0，且；（D）f(a)≠0，且。曲线（）（A）没有渐近线；（B）有一条水平渐近线和一条斜渐近线；（C）有一条铅直渐近线；（D）有两条水平渐近线。设均为可微函数，且。已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项中的正确者为（）（A）若，则；（B）若，则；（C）若，则；（D）若，则。设曲面的上侧，则下述曲面积分不为零的是（）（A）；（B）；（C）；（D）。三、设函数f(x)具有连续的二阶导数，且，，求。（本题6分） 四、设函数由参数方程所确定，求。（本题6分）五、设n为自然数，计算积分。（本题7分）六、设f(x)是除x=0点外处处连续的奇函数，x=0为其第一类跳跃间断点，证明是连续的偶函数，但在x=0点处不可导。（本题7分）七、设f(u,v)有一阶连续偏导数，，，证明：。（本题7分）八、设函数f(u)连续，在点u=0处可导，且f(0)=0，求：。（本题7分）九、计算，其中L为正向一周。（本题7分）十、⑴证明：当充分小时，不等式成立。 ⑵设，求。（本题8分）十一、设常数，证明：当x>0且x≠1时，。（本题8分）十二、设匀质半球壳的半径为R，密度为μ，在球壳的对称轴上，有一条长为l的均匀细棒，其密度为ρ。若棒的近壳一端与球心的距离为a，a>R，求此半球壳对棒的引力。（本题7分）2005年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1．。2．曲线，在点处的法线方程为。3．设为连续函数，且，则。4．函数在点处，沿点A指向点方向的方向导数为。5．设(a×b)·c=2，则[(a+b)×(b+c)]·(c+a)=。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）设函数与在开区间(a,b)内可导，考虑如下的两个命题，⑴若，则；⑵若，则。则（）（A）两个命题均正确；（B）两个命题均不正确；（C）命题⑴正确，命题⑵不正确；（D）命题⑴不正确，命题⑵正确。设函数连续，F(x)是的原函数，则（）(A)当为奇函数时，F(x)必为偶函数；(B)当为偶函数时，F(x)必为奇函数；(C)当为周期函数时，F(x)必为周期函数；(D)当为单调递增函数时，F(x)必为单调递增函数。设平面位于平面：与平面：之间，且将此两平面的距离分为1:3，则平面的一个方程为（）（A）；（B）；（C）；（D）。设为非零的连续函数，，则当t→0时（）（A）与t为同阶无穷小；（B）与t2为同阶无穷小；（C）与t3为同阶无穷小；（D）是比t3高阶的无穷小。设函数满足等式，且，则在点处（）。（A）取得极小值；（B）取得极大值；（C）在点的一个邻域内单调增加；（D）在点的一个邻域内单调减少。三、求函数的值域。（本题6分） 四、设，其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数。求。（本题6分）五、设二元函数在有界闭区域D上可微，在D的边界曲线上，并满足，求的表达式。（本题6分）六、设二元函数具有一阶连续偏导数，且，求。（本题7分） 七、设曲线与交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线围成一平面图形，试问：⑴当a为何值时，该图形绕x轴一周所得的旋转体体积最大？⑵最大体积为多少？（本题7分）八、设S为椭球面的上半部分，点，为S在点P处的切平面，为点到平面的距离，求。（本题7分）九、证明。（本题8分）十、设正值函数在闭区间[a,b]上连续，，证明：。（本题8分）十一、设函数在闭区间[a,b]上具有连续的二阶导数，证明：存在ξ∈(a,b)，使得。（本题7分）十二、设函数在闭区间[-2,2]上具有二阶导数，，且，证明：存在一点ξ∈(-2,2)，使得。（本题8分）2004年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1．设函数，则函数的定义域为。2．设要使函数在区间上连续，则。3．设函数由参数方程所确定，其中f可导，且，则。4．由方程所确定的函数在点处的全微分dz=。5．设，其中f、具有二阶连续导数，则。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）已知，则() （A）12；（B）3； （C）1；（D）0。设函数在的一个邻域内有定义，则在点处存在连续函数使是在点处可导的（）（A）充分而非必要条件；（B）必要而非充分条件；（C）充分必要条件；（D）既非充分，也非必要条件。设，则F(x)=（）(A);(B);(C);(D)。函数，在点处（）（A）可微； （B）偏导数存在，但不可微；（C）连续，但偏导数不存在；（D）不连续且偏导数不存在。设为区间上的正值连续函数，与为任意常数，区域，则（）（A）； （B）；（C）；（D）。三、设函数在点的某邻域内具有二阶导数，且。求：，，及。（本题6分） 四、计算。（本题6分）五、求函数在点处的100阶导数值。（本题6分）六、设为定义在上，以T>0为周期的连续函数，且。求。（本题7分）七、在椭球面上求一点，使函数在该点沿方向的方向导数最大。（本题8分）八、设正整数，证明方程至少有两个实根。（本题6分）九、设。证明存在，并求之。（本题8分）十、计算曲面积分，其中是曲线绕z轴旋转而成的旋转面，其法线向量与z轴正向的夹角为锐角。（本题7分）十一、设具有连续的偏导数，且对以任意点为圆心，以任意正数r为半径的上半圆L：，恒有。证明：（本题8分）十二、设函数在[0，1]上连续，且，试证：⑴，使得；⑵，使得。（本题8分）2003年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1．设对一切实数x和y,恒有，且知，则。2．设在x=0处连续，则a=。3．设，其中是由方程所确定的隐函数，则。4．。5．曲线在点M(1,1,1)处的切线方程为（或）。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）当时，下列无穷小量①；②；③；④，从低阶到高阶的排列顺序为（） （A）①②③④；（B）③①②④； （C）④③②①；（D）④②①③。设，在x=0处存在最高阶导数的阶数为（）（A）1阶；（B）2阶；（C）3阶；（D）4阶。设函数在x=1处有连续的导函数，又，则x=1是（）（A）曲线拐点的横坐标；（B）函数的极小值点；（C）函数的极大值点；（D）以上答案均不正确。设函数f，g在区间[a，b]上连续，且（m为常数），则曲线和x=b所围平面图形绕直线y=m旋转而成的旋转体体积为（）(A)；(B)；(C)；(D)。设，为在第一卦限中的部分，则有（）（A）； （B）；（C）；（D）。三、a，b，c为何值时，下式成立。（本题6分） 四、设函数，其中具有连续二阶导函数，且。⑴确定a的值，使在点x=0处可导，并求。⑵讨论在点x=0处的连续性。（本题8分）五、设正值函数在上连续，求函数的最小值六、设，且，求。（本题6分）七、设变换，把方程化为，试确定a。（本题7分） 八、设函数在xOy平面上具有连续一阶偏导数，曲线积分与路径无关，并且对任意的t恒有，求。（本题7分）九、设函数f(x)具有二阶连续导函数，且。在曲线y=f(x)上任意取一点作曲线的切线，此切线在x轴上的截距记作，求。（本题8分）十、设函数f(x)在闭区间上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1。试证明：对于任意给定的正数a和b，在开区间(0,1)内存在不同的ξ和η，使得。（本题7分）十一、设，试证明在区间上有且仅有两个实根。（本题7分）十二、设函数在单位圆域上有连续的偏导数，且在边界上的值恒为零。证明：其中：D为圆域。（本题8分）2002年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一．填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1．。2．设摆线方程为则此曲线在处的法线方程为。3．。4．设在点(－1,1)处沿方向的方向导数。5．设Σ为曲面介于0≤Z≤R的部分，则。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1.曲线的渐近线有（） （A）1条；（B）2条； （C）3条；（D）4条。2.若，则当n>2时（）（A）；（B）；（C）；（D）。3.已知函数f(x)在（－∞，+∞）内有定义，且x0是函数f(x)的极大值点，则（）（A）x0是f(x)驻点；（B）在（－∞，+∞）内恒有f(x)≤f(x0)；（C）－x0是－f(－x)的极小值点；（D）－x0是－f(x)的极小值点。4.设，则z=z(x,y)在点（0，0）（）（A）连续且偏导数存在；（B）连续但不可微；（C）不连续且偏导数不存在；（D）不连续但偏导数存在。5.设，其中Ω：x2+y2+z2≤1，z≥0则（） （A）；（B）； （C）；（D）。 三、已知极限，试确定常数n和C的值。（本题6分） 四、已知函数f(x)连续，，求。（本题6分） 五、设方程，⑴当常数a，b满足何种关系时，方程有唯一实根？⑵当常数a，b满足何种关系时，方程无实根。（本题7分） 六、在曲线y=x2（x≥0）上某点A作一切线，使之与曲线及x轴所围图形的面积为，试求：⑴A点的坐标；⑵过切点A的切线方程；⑶该图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积。（本题8分）七、计算。（本题7分） 八、设，其中具有连续的一阶偏导数，且。（本题7分）九、求上的最大值与最小值。（本题7分）十、计算，其中区域D为：。（本题7分）十一、证明：当0<x<1时，。（本题7分）十二、设C是取正向的圆周，f(x)是正的连续函数，证明：2001年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横杠上面。）1.函数在（-∞，+∞）上连续，则a=。2.设函数y=y(x)由方程所确定，则。3.由曲线与x轴所围成的图形的面积A=。4.设E为闭区间[0，4π]上使被积函数有定义的所有点的集合，则。5．设L是顺时针方向的椭圆，其周长为l，则。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1.若且，则（） （A）存在；（B） （C）不存在；