线性代数学习辅导

PAGEPAGE1《线性代数》学习辅导资料郑绿洲2004年10月目录1、第一章：行列式…….(1)2、第二章：矩阵及其运算……………（9）3、第三章、矩阵的初等变换与线性方程组………….（17）4、第四章、向量的线性相关性……（33）5、相似矩阵及二次型……………….（44）第一章n阶行列式（一）基本要求：理解行列式的定义和性质、运用行列式的性质和行列式的展开定理进行计算、应用克莱姆(Cramer)法则解方程组。（二）内容分析和教材处理指导:本章的重点是计算行列式，熟练掌握行列式计算的各种方法和技巧。在历年的考试中本章的考题不超过6分，且多以填空的形式出现，主要是行列式的计算。但行列式是线性代数的基础，在矩阵求逆、求解方程组和求特征值中均要用到行列式的计算。本章主要考查行列式的计算，而行列式的计算主要是利用行列式的性质，因此本章的重点在于掌握行列式的性质及其运用。（1）排列及其逆序数主要是在行列式定义和计算中用到，重点讲清楚排列逆序的定义和计算方法。（2）计算行列式概念的引入要自然，引入行列式是解线性方程组的需要，使方程组解的表示简单规范。从求解二元方程组求解引入行列式表示，这样使学生对行列式的引入有一个清楚的了解。从二阶行列式和三阶行列式的对角线法则分析，分析行列式定义中各项的特点，位于不同行不同列的元素乘积，进而引入行列式的一般定义。行列式的定义是一种符号约定，关键讲清行列式是如何计算的，取项，冠符，求和是行列式定义的概括定义，容易记忆，但要阐述每一步的含义。为了理解行列式的定义，对一些典型的行列式应用定义计算，关键是在计算过程中反复回味行列式定义的每一环节。除书中的例子外可考虑其他典型例子，如变形的对角行列式，至至少有个零的行列式。（3）行列式的等价定义，可从行列式的本质来理解，每项是位于不同行不同列的个元素乘积，等价定义实际上是说项可按行排列，也可以按列排列，相应的冠服规则是对应的。（4）行列式的性质重在理解和应用，重点是性质6可用于行列式样的化简。（5）行列式的按行（列）展开，其意义开始不易理解，可通过例子说明其意义，特别指出实际应用时通常是将某行（列）化简为只有一个非零元，则展开只有一项。这种展开法（降阶法）可简化行列式的计算。（6）Gramer法则重点强调消元的基本思路，复习代数余子式的基本性质。指出Gramer法则只使用于未知数的个数等于方程的个数，一般情况将在第四章系统讨论。对于齐次方程组的非零解问题要作为重点，特别是含参数的方程。对齐次方程有非零解和系数行列式为零之间的等价关系可做一些解释，便于作为一个整体来考虑。（三）重点难点分析与处理：1．排列的逆序数的计算：逆序的定义是基础，由定义推出“向前比较”和“向后比较”两种方法，注意逆序和顺序的关系。2．按定义计算行列式：取项、冠符、求和三个步骤，重点注意冠符方法。2,3阶行列式可用对角线法则，4阶以上的行列式不能用对角线法则来求。3．降阶方法和含参数的齐次方程组有非零解问题（四）学习指导与常见问题释疑1、

写出四阶行列式含有因子的项。解：根据行列式的定义，含有因子的项有两项，和，其列指标的逆序数为，故包含的项和。2、

计算下列2，3阶行列式：（1），（2），（3），（4），其中解：（1）（2）3．计算下列数字元素行列式：（1），（2）（3），（4）解：（1）（2）（3）（4）4．证明：（1）证：根据行列式的拆项性质有（2）证：（3）证：（4）证明：按最后一行展开得到5．计算下列行列式（为k阶行列式）（1）解：所有行都加到第一行，则知（2）（提示：利用范德蒙行列式的结果）解：经过行列对称的互换可转化为范德蒙行列式或（3）解：按降阶法得到（4），其中（5），其中解：6．用克兰姆法则求解下列方程组：

（1），（2）7．设水因密度与温度的关系为，由实验测定得以下数据t0102030h13.6013.5713.5513.52求时水银密度（准确到小数两位）。8．问，取何值时，齐次方程组有非零解？解：齐次方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零，故即或齐次方程组有非零解。9．问取何值时，齐次方程组有非零解？解：=0即或3。第二章矩阵及其计算（一）基本要求：1．理解矩阵的概念，2．了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及它们的性质．3．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律，了解方阵的幂、方阵乘积的行列式．4．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆．5．掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．6．了解分块矩阵及其运算．二、内容分析与教学指导矩阵的概念应强调线性方程组的系数矩阵和表示，线性变换的矩阵表示，单位矩阵、对角矩阵所对应的线性变换。典型矩阵的运算性质，如三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质。矩阵的乘法是矩阵运算的重点，要强调矩阵的乘法不满足交换律和消去律，分析各种不同形式的表现形式。矩阵的伴随矩阵及其性质在矩阵逆阵计算中具有重要意义，可结合习题进行扩充补充。解矩阵方程是逆阵的重要应用，应作为矩阵计算的重点，分析解矩阵方程的一般分析方法。分块矩阵及其运算对后续课程非常重要，可结合相关题目作一些讨论，特别是分块对角阵的一些运算性质。三、学习辅导与常见问题释疑：1已知线性变换求从变量到变量的线性变换。解：矩阵形式为，故，即2．已知两个线性变换求从到的线性变换。解：3．设求及4．计算下列矩阵乘积（1（2），（3） （4）（5）5．设，问（1）

AB=BA吗？（2）

吗？（3）

吗？（4）

由此关于矩阵的乘法得到何结论？6．举反例说明下列命题是错误的：（1）

若，则;（2）

若，则A=0或A=E;（3）

若AX=AY，且，则X=Y。（4）

以上反例说明了什么？7．设，求。（先计算观察出计算结果，然后用数学归纳法证明）注：记，可验证，A可表示为，由此可计算。该题结果可推广到高阶矩阵。8．求与可交换的全体二阶矩阵。解：设与可交换的二阶矩阵为，则有对比两端元素，得到4个方程。求解得到：，其中任意，故，其中为任意实数。9．证明：（1）设A，B为n阶矩阵，且A为对称阵，则也是对称阵;(2)若A和B都是n阶对称阵，则A+B，A-2B也是对称阵;证明：（1）(3)（若A满足，则A称为反对称阵）对于任意的n阶矩阵A，是对称阵，是反对称阵;(4)A可表示为对称矩阵和反对称矩阵之和。证：显然矩阵可表示为10．设A，B都是n阶对称阵，证明AB是对称阵的充分必要条件是AB=BA。证明：充分性、，即是对称矩阵必要性：一方面，由对称性可知，因此。11．求下列矩阵的逆阵：（1），

（2）（3）（4）（5），（6）12．解矩阵方程：（1）（2）（3）解：（3）13．利用逆阵求下列方程组（1）（2）解：方程组可表示为，因此，即14。设（k为正整数），证明证明：因为根据定义知15．设方阵满足，证明及都可逆，并求及。解：由可知，故可逆，且由得到，即，故可逆，且16．设，，求。解：，即，所以，计算得到

17．设，证明（特别当为对角阵时可方便地计算A的幂，这在第五章相似矩阵中详细讨论，该结论可推广到A的多项式的计算）证明：，假设时成立，即，则时有18．设n阶方阵A的伴随矩阵为，证明（1）

若，则（2）

证明：（1）若，则，结论显然。若，则若，则可逆。又，则有，这与矛盾，故（2）由伴随矩阵的性质可知，两端取行列式得到由（1）知当时，结论成立。当时，由上式得到19．取，验证解:,所以而因此20．设，求及。解:21．设阶方阵及阶方阵B都可逆，求。解:根据矩阵的形式猜测逆阵的形式,考虑矩阵因为,因此有22.将阶矩阵分块为其中是阶可逆矩阵,如果可逆且已知,试求(这种利用求的方法称为加边法,它是求逆阵的一种重要方法.解:设,则有即,得到求解得到,因此,因此

第三章向量组的线性相关性和矩阵的秩（一）基本要求：（二）内容分析和教学指导（1）从解方程的过程引出所要解决的问题，每个方程对应于一个行向量，某个方程可由其它方程表示，则该方程可去掉，为无效方程。这对应于讨论向量组中是否有某个向量可由其它向量线性表示，即向量的线性相关性问题。去掉无效方程后的方程求解，需要确定自由未知量和保留未知量，涉及最后的方程系数行列式不等于零的问题（2）向量的线性运算及其性质，和矩阵的运算相对应。（3）向量线性相关性的定义和判断：线性相关性定义使用于理论证明，把相关性问题转化为向量方程（即方程组）有无非零解的问题，而等价定义使相关性的含义更加明确。为了加深相关性的定义，对与一个向量，两个向量和三个向量线性相关的几何意义加以强调：单个零向量是线性相关的，两个向量相关是指两个向量共线，三个向量相关是共面。通过利用相关性定义来判断向量组线性相关，重点培养学生的利用概念分析判断，进行逻辑推理的能力。定义理解中的误区：（1）定义中的系数是独立的，（2）非零组合系数是相对向量组的，不同向量组对应的系数可能不同，（3）向量组线性相关则至少有一个向量可以由其它向量线性表示，至于是那一个向量是依赖于具体的向量组，并不是每个向量都可由其它向量变来表示。列向量组的线性相关性和线性表示的矩阵表示，行向量组线性相关性和线性表示的矩阵表示。重点是列向量组表示的矩阵形式。（4）相关表示式的分量形式是理解相关性定理的基础和本质，一个分量对应一个方程，一个向量对应一个未知数。用子式判断向量的线性相关性的方法，子式不等于对应于只有零解，对应于线性无关，子式等于零对应于有非零解，对应线性相关。（5）最大无关组和矩阵的秩：重点理解矩阵秩的定义和含义，牢固建立矩阵和向量组的对应关系。矩阵的秩等于行向量组的秩，等于列向量组的秩，就是非零子式的最高阶数。掌握最高阶非零子式和向量组的最大无关组之间的对应关系，子式为零对应于线性相关，子式非零对应于线性无关。定理的证明重要的是说明思路，关键是理解并利用结论进行推理证明。重点是利用子式确定矩阵的秩和最大无关组。（6）初等变换对向量组的影响，初等行变换和化简方程的对应关系。标准形所保留的信息，（变换不变量是矩阵的秩）。可逆矩阵（7）通过简单的例子说明左乘相当于行变换，右乘相当于列变换，关键是理解其意义。通过求逆阵的初等变换方法可得到一种解矩阵方程的方法（8）介绍向量空间，子空间的基本概念，对比基和最大无关组的定义，加深对基和最大无关组，向量组和向量空间的理解（除零空间外，向量空间是无限的，而向量组可以是有限的）。生成子空间的概念及其生成子空间的表示。（三）习题指导（习题3）设，求及。2．

设，其中，求。3．

设是m个n维向量，试问：（1）若有m个数存在，使得那么是否线性无关？解：主要考察定义中的“不全为零的一组数”的理解，若这组数至少有一个非零，则可判定线性相关。没有这一限制是没有意义的，因为全部取零系数，不管向量组是什么，上式总是成立的。因此，不能判断向量组的线性相关性。（2）若有m个不全为零的数使得那么是否线性相关？解：定义中的组合式是“=”，改为“不等于”则不能说明向量的线性相关性。（3）若线性相关，则一定可由线性表示吗？解：相关性等价定义中是说：向量组中至少有一个向量可由其它向量线性表示，至于是那一个向量可由其它向量线性表示，则要以来于具体的向量组。不能断定一定可由线性表示。4．

设与都是n维向量，下面的证明是否正确？（1）若向量组线性相关，向量组线性相关，则有不全为零的数，使得由此推出于是向量组也线性相关。解：向量组线性相关，则存在一组的非零组合系数，这组组合系数是依赖于向量组的，不同的向量组其组合系数可能不一样。以上证明中就是忽略了这一点，故是错误的。（2）若只有当时才成立，那么一定线性无关。解：定义中的组合系数是独立的，上式中的系数不独立，只能推知是线性无关的。5．

将向量表示成的线性组合：（1）解：设，按分量展开得到求解得到，即（2）

解：设，按分量展开得到用Gramer法则或用如下方法简化可知，即6．

判断下列向量组的线性相关性：（1）解：法一，应用定义，设，即得到方程组，系数行列式为，不能用Gramer法则，由定理可知存在非零解。事实上，由第一式知，代入其它方程得到取，得到，故，因此线性相关。或者由定理知，系数行列式等于零，则齐次方程组有非零解，故向量组线性相关。法二、这是三个三维向量，由定理知，向量组线性相关的充要条件是所组成的行列式等于零，因此只需求行列式即可。事实上，以向量为列所构成的行列式为故向量组线性相关。（2）法一、用定义，设，展开方程所构成的齐次方程组的系数行列式不等于零，故只有零解，由定义知线性无关。法二，以向量为列构成的行列式为，故向量组线性相关。（3）法一、定义法法二、行列式法，由定理可知个维向量线性相关的充要条件是向量所构成的行列式为零。以向量为行构成的行列式为因此向量组是线性无关的。（4）法一、定义法法二、行列式法，向量所构成的行列式是Vandemon行列式，显然不等于零，故向量组是线性无关的。

7．

设向量，试问：（1）c取何值时，线性相关？（2）c取何值时，线性无关？解：解法一、根据定义，设，按分量展开得到系数行列式为根据Gramer法则知，时，方程组有非零解，线性相关，时，方程组只有零解，故线性无关。解法二、考虑由构成的行列式因此，时，线性相关，时，线性无关。8．

设，证明向量组线性相关。证明：直接观察法，由表示式易看出，故线性相关。（这种方法没有一般性）根据线性相关性的定义证明。设将代入，得到上式成立的充分条件为方程组对应的行列式为因此有非零解，故向量组线性相关。

9．

设，且线性无关，证明向量组线性无关。（注：本题可推广到一般的形式，只要表示的系数矩阵可逆即可）证明：设

将的表示式代入，即因为线性无关，故有显然，或考虑系数行列式根据Gramer法则有故线性无关。10．

在秩是r的矩阵中，有没有等于0的r阶子式？有没有等于0的r-1阶子式？解：本题主要考察矩阵秩的概念，在秩是的矩阵中，有一个阶的子式不等于零，有可能有阶的子式等于零，也可能有等于零的阶子式，但不可能所有的阶子式等于零。11．

从矩阵A中划去一行得到的矩阵B，问A，B的秩的关系如何？解：考虑的行向量组，，则显然关于秩有如下关系：

12．

求作一个秩是4的方阵，它的两个行向量是，。解：只需增加三个行向量，使方阵的秩等于4,即使某个4阶子式不等于零。考虑13．

求下列向量组的秩，并求一个最大无关组：（1）;(2);(3)解：应用子式方法，考虑由为行向量构造矩阵，因此，最高阶非零子式所对应的为最大无关组。注：最大无关组不是唯一的。14.设一组n维向量，已知n维单位坐标向量能由它们线性表示，证明线性无关。证明：记，已知单位坐标向量组是线性无关的，故向量组的秩。又由条件知向量组可由线性表示，由定理知，

由于向量组中仅有个向量，故，即向量组线性无关。15.设是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n维向量都可由它们线性表示。证明：必要性。设是线性无关的，设为任一维向量，则为(n+1)个维向量，故线性相关，由结论知可由线性表示。充分性。分别取，由条件可知，可由线性表示，由上题的结论知，线性无关。16．设向量组A与向量组B的秩相等，且A组能由B组线性表示，证明A组与B组等价。证明：设，设向量组的最大无关组为，向量组的最大无关组为，由条件知，向量组可由向量组线性表示，向量组A的最大无关组刻有向量组B的最大无关组线性表示，即有下证为可逆矩阵，用反证法，设，则设，即便

只需，或，假设，则方程组有非零解，这与线性无关矛盾，故知可逆因此即可由线性表示，因此向量组可由向量组线性表示，即向量组与向量组等价。17．设向量组A：的秩为,向量组B：的秩为，向量组C：的秩为，证明并利用该结果证明：18．设向量组B：能由向量A：线性表示为其中K为矩阵，且A组线性无关。证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩证明:充分性.设,将的表示式代入有因为线性无关,故有,即.由条件知,由Gramer法则知只有零解.必要性.记,由条件可知,.因此.又矩阵为矩阵,故.

19．求下列矩阵的秩：（1），（2）解：子式法。，考虑三阶子式，共有4个，类似地有，故初等变换方法：故（2）初等变换法：故

20．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组：（1），（2）解：最后的第一、第二、第三（或第四）列向量是列向量组的最大无关组，因此原列向量组中的第一、第二、第三（或第四）列向量是原列向量组的最大无关组（2）故或是列向量组的最大无关组。21.设A与B都是矩阵,证明：矩阵A与B等价的充分必要条件是。证明:与等价的充分必要条件是存在阶可逆方阵和阶可逆方阵使.由矩阵乘积秩的关系有.由知,因此.(或者由初等变换不改变矩阵的秩得出,由本题的证明可知用可逆矩阵左乘或者右乘均不改变矩阵的秩)充分性:,和的标准形由秩唯一确定,即它们的标准形均为,即和均和标准形等价,因此由等价的传递性,知与等价.

22．利用矩阵的初等变换求下列矩阵的逆（1），（2），（3）解：（1）验证：（2）23．试证：由所生成的向量空间就是。24．由所生成的向量空间记作，有所生成的空间记作，试证。证明:只需证明与等价.法一、按定义证明，设考虑分块矩阵则有，故即可由线性表示。类似的可证可由线性表示。法二、构造矩阵即向量组的秩为，显然是线性无关的，是最大无关组，可由线性表示。同样也可作为最大无关组，可由线性表示，因此和线性无关。25．验证为的一个基，并把用这个基线性表示。解：以向量作为列向量构造矩阵因此线性无关，构成的一个基，且有第四章线性方程组一、知识结构分析（1）线性方程组求解和线性相关性，矩阵的秩和矩阵的变换之间的关系。线性方程组一章的内容是线性代数发展的渊源，正是线性方程组的求解研究导致了向量线性相关性的研究，就是确定多余方程和保留方程，保留未知量和自由未知量的问题。这些问题可通过矩阵的秩和子式的计算来确定。第三章的内容，无论是线性相关性还是矩阵的秩，都是和方程组求解密切相关，要通过知识结构的联系，使学生整体掌握知识体系。矩阵的初等行变换应是初等变换的重点，它对应与方程的恒等变换（保持同解）。行阶梯型矩阵对应的方程组可通过把自由未知量移到右边，再通过回代求解。而行最简形不用回代可直接写出解的表示式。如果仅求矩阵的秩或确定向量组的最大无关组，把矩阵化简到阶梯型即可。（2）方程组的解结构和相应的行向量组或列向量组的相关性分析是该理论的难点，齐次方程组有非零解与对应的行向量组或列向量组线性相关性有对应关系，非齐次方程组有解和向量的表示有一种对应关系，要学会灵活的应用这些关系来分析问题。

二、重点难点分析与教材处理：（1）齐次方程组解的结构部分要结合向量空间，向量空间的基与向量组的最大无关组的回顾，加深上章基本概念的理解。（2）齐次方程组的矩阵表示和向量表示要阐明有非零解与列向量组线性相关性的关系。（3）方程求解的变换化简对应的行最简型，结合初等变换的内容使对初等变换的理解更具体。（4）方程组通解的两种表示方法，用基础解系表示的间接方法和用自由未知量表示的直接方法。（5）解空间用基础解系联系向量空间用基表示的关系，阐明向量空间和向量组的不同。（6）非齐次方程组的矩阵和向量表示与向量组线性相关性的关系，增广矩阵和系数矩阵的列向量组之间的关系。（7）含有参数的方法的参数识别，即方程组的反问题，了解正问题的和反问题的初步概念。三、常见的问题和易犯的错误（1）带参数的矩阵化简忽略带参数的分母为零的讨论。（2）不能掌握方程化简分析的一般步骤。四、学习指导与提示求下列齐次线性方程组的一个基础解系及一般解：（1）解：对系数矩阵做初等行变换（相当于对方程做化简），化简后的方程组为分别取和代入方程组求解得到基础解系为，通解为或者直接写出通解为基础解系为（2）解：对系数矩阵做初等变换,因此，只有零解。求解下列非齐次线性方程组：（1）

，（2）解：对增广矩阵做初等行变换，，方程组无解讨论取什么值时下列方程组有解，并求解：（1），解：法一、对增广矩阵作行变换，把方程组化简若，则方程组化简为，其解为若，则有若，，此时无解如，即方程组有唯一解法二（分析）根据Gramer法则，如果系数行列式非零，则有唯一解，对于行列式等于零的情况再分析是无解还是多解系数行列式为因此方程组有唯一解，其解为易知时方程组无解，时，方程组有无穷多解，其解为（2）解：对增广矩阵作行变换当时，无解。当时若，则有唯一解时，无解（3）解：方法一、系数行列式为根据Gramer法则可知，当时，，方程组有唯一解。其解为当时，增广矩阵为，方程组无解。当时，方程组无解设问为何值时此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有解时求其通解。分析：求系数行列式，如果则有唯一解。对于的情况分别讨论，这种方法思路清晰，但计算量大。另一种方法是用初等变换化简方程，但要注意分母为零的情况。解：法一、系数行列式为，因此当时，方程组有唯一解当时方程组无解。当时通解为，其中为任意实数。5．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它的三个解向量，且求该方程组的通解。解：四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,对应的齐次方程组的基础解系只含有一个解向量，故只需求出一个特解和对应的齐次方程的一个非零解。为非齐次方程组的特解，也是非齐次方程组的解，因此因此通解为其中为任意实数。6.设，，证明这个方程组有解的充分必要条件是解：对方程组的增广矩阵做初等变换由非齐次方程组解的判定定理知，方程组有解的充分必要条件是，即7．证明：与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系。证明：设是与基础解系等价的线性无关的向量组，因为可用基础解系线性表示，故是齐次方程组的解。由条件知，它们是线性无关的。由任一解可由基础解系线性表示，由等价性可知，可由线性表示，因此是基础解系。注：实际上基础解系所含解向量的个数均为。8．设A，B都是n阶方阵，且AB=0，证明。证明：考虑矩阵方程与方程组解的关系，将按列分块，即考虑B的列向量可表示为即，也就是说是方程的解。（1）如果的秩，则知只有零解，而又是的解，故知，即，，结论成立。（2）如果，则的基础解系含有个解向量，设为，又为的解，故向量组可由基础解系线性表示，由定理知即，故9．设是非齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次方程组的一个基础解系。证明：（1）线性无关;(2)线性无关。证明：（1）设

用去左乘方程两端，有因此，，代入上式得到因是线性无关的，因此，即线性无关;（2）类似的考虑，即用去左乘方程两端得到，代入上式，由的线性无关性可知，因而，故线性无关。10．设是非齐次线性方程组的s个解，为实数，满足，证明

也是它的解。证明：将表示式代入则有故是方程组的解。11．设非齐次方程组的系数矩阵秩为r,是它的个线性无关的解（由题9知它确有n-r+1个线性无关的解）。试证它的任一解可表示为（其中）证明：显然为对应的齐次方程组的解。首先证明是线性无关的。设，即因为是线性无关的，因此，即是线性无关的，构成齐次方程组的基础解系，故非齐次方程组的任一解可表示为即记，则任一解可表示为其中第五章相似矩阵和二次型

一、基本要求：明确要求，突出重点（1）掌握基本概念：向量内积，长度（模，范数），向量夹角，向量正交，正交矩阵和正交变换等基本概念，理解向量组正交和线性无关的关系，掌握正交规范基的构造方法及其向量用正交规范基表示方法。掌握正交矩阵的概念，理解正交矩阵列（行）向量组的特征。重点是向量的正交化和正交规范基的构造，正交矩阵的特征。（2）熟练掌握特征值和特征向量的概念，熟练掌握求特征值和特征向量的基本步骤，掌握有关特征值和特征向量的基本命题，了解特征值和矩阵元素之间的关系。重点是求特征值和特征向量，特征向量的表示。（3）熟练掌握相似矩阵的概念，掌握相似矩阵的关系，理解方阵相似于对角阵的问题，理解相似矩阵的第个列向量是的与特征值对应的特征向量这一关系，理解相似矩阵和特征向量之间的关系。重点是掌握相似矩阵和特征向量之间的关系。（4）掌握实对称矩阵特征值和特征向量的性质，理解特征值重数和对应的线性无关的特征向量个数之间的一致性，熟练掌握正交矩阵的构造方法。重点是正交矩阵的构造（计算）（5）掌握二次型的概念和矩阵形式，理解二次型和矩阵之间的意义对应关系，理解二次型的化简问题的提法和矩阵意义。熟练掌握二次型化简的方法，理解与矩阵对角化的关系。重点是求正交变换将二次型化简。（6）熟练掌握配方方法，理解正交变换方法和配方方法的不同。（7）理解惯性定理，掌握正定二次型、负定二次型的定义，理解正定二次型的标准型特征和特征值特征，掌握用霍尔维茨定理判定二次型的方法。重点是正定二次型的判定。二、内容分析和教学指导：知识体系分析，重点难点剖析，教学方法指点（1）向量内积及其运算属于第三章向量计算的范畴，赋以线性运算的集合为线性空间，赋以长度（范数）的线性空间称为线性赋范空间，赋以内积的线性空间称为内积空间。一般的，内积可诱导出对应的范数，内积空间一定是赋范空间。定义了范数就定义了极限，就有序列的收敛性，就有完备性问题。完备的线性赋范空间成为Banach空间，完备的内积空间成为Herbit空间。这是空间概念的体系。相关性和基的表示是向量空间（线性空间）的基本问题。本节可以和为背景，抽象为的内积和夹角概念，建立向量正交的矩阵和方程表示，通过正交基的构造来理解正交条件的方程表示。通过定理的证明和用正交规范基表示向量的推导，使学生学会方程两端做内积的方法和矩阵表示，这种方法和第四章齐次解和非齐次解的左乘矩阵类似，这是用定义推导证明的一般方法。通过正交化公式的推导，学会待定系数法的思想，从定性的方面来理解未知数和方程的关系。正交矩阵的列向量组的性质的推导，要强调矩阵和向量组之间的关系，矩阵分块的意义和运算规则。（2）在引入方阵特征值和特征向量的定义时，要注意定义的转化和通过定义计算的方法。定义等价于或，即特征值和特征向量问题转化为齐次方程组的非零解的问题。在讲解中注意强调矩阵的左提取和右提取，单位阵的省略等问题，不能写为特征向量的方程的非零解，注意通解的表示和全体特征向量的表示的区别。设是对应的方程组的基础解系，则通解为，其中为任意实数而所对应的所有的特征向量为，其中为不全为零的任意实数本节内容通过求特征向量强调齐次方程组求解问题。(3)方阵的相似变换和矩阵的初等变换类似，都是研究矩阵的化简问题。关于矩阵的初等变换有如下命题：行变换相当于左乘一个相应的初等阵，右乘相当于右乘一个初等阵;可逆矩阵可分解为一系列的初等矩阵的乘积。矩阵和矩阵相似的充分必要条件为，初等变换可把矩阵变为标准型，其标准型是由秩唯一确定的。初等变换把矩阵化为标准型对行变换和列变换是任意的，没有任何的限制。如果对所作的行变换和列变换做一些限制，则可保留矩阵的更多的信息，其中相似变换（）和合同变换（）是两种重要的变换。相似矩阵有相同的特征值是最重要的性质，对角矩阵及其多项式的特征值的计算是简单的。方阵的对角化问题是寻求相似变换矩阵，使为对角阵。注意这里是相似变换把方阵化简为对角阵，保留了特征值的信息。分析相似矩阵的列向量和特征向量之间的关系是构造的前提，注意矩阵按列分块及其计算方法。可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量是可对角化的重要定理，是可对角化的判据。（4）从实对称矩阵的特征值为实数和不同特征值对应的特征向量是相互正交的证明方法中总结出如何证明一个数是实数，如何证明两个向量正交。对于实对称矩阵的正交矩阵对角化过程可知，寻求正交矩阵就是要求出的个两两正交的单位特征向量，单根只有一个无关的特征向量，只需单位化。重根则必有个无关的特征向量，首先正交化，再单位化。正交化后仍为特征向量。原来单位化的向量经正交化后不一定是单位向量，正交化的向量组经单位化后仍是正交的。（5）从二次曲线坐标旋转变换化成标准形引入一般的二次型及其化简问题。二次型的矩阵表示，二次型和矩阵的一一对应关系，可逆线性变换对应的矩阵变换为合同变换。关于矩阵乘积的秩有关系，即左乘或右乘矩阵其秩不会增加。当乘可逆矩阵时，其秩不改变。二次型的正交化简等价于寻找一个正交矩阵，使。正交矩阵和标准形是对应的，但不是唯一的。（6）有平方项的配方和无平方项的处理。（7）正定二次型的定义和判定。

三、习题指导

试用施密特法把下列向量正交化：（1），解：根据正交化公式（2）解：取，2．设为n维列向量，，令，求证：H是对称的正交阵。证明：，故为对称矩阵。又故为正交矩阵。3．设A与B都是n阶正交阵，证明AB也是正交阵。证明：法一、因为正交矩阵，即有因此，法二、因为正交矩阵，则有，又即是正交矩阵。4．求下列矩阵的特征值和特征向量:(1),解：（1）求特征值特征值为（2）求特征向量。时特征向量为，所对应的特征向量为，为任意实数。

(2)(3)5.设方阵与相似，求解：由矩阵特征值和矩阵元素之间的关系，有整理得，求解得6.设A、B都是n阶方阵，且，证明AB与BA相似。证明：因为，故存在。又，这说明相似于7．设3阶方阵A的特征值为;对应的特征向量依次为求A。解：（这种类型的问题属于特征值反问题，在控制理论等许多学科中有重要应用）。记，由特征值和特征向量的关系有，，即，计算得注：也可利用待定系数法，即设，由三个特征值和对应的特征向量关系得到9个方程，即可求出8．设3阶实对称阵A的特征值为6，3，3，与特征值6对应的特征向量为，求A。解：（1）首先求出与特征值3对应的两个单位正交特征向量。因为不同特征值对应的特征向量是相互正交的，因此对应于特征值3的特征向量满足，即，其两个线性无关的特征向量可取为令，，则有故有注：可将特征向量正交化，单位化，得到正交矩阵，这样不需要求，直接利用。注：本题的核心是利用不同特征值对应的特征向量的正交性求出特征值3对应的特征向量，问题就转化成8题的问题。9．试求一个正交的相似变换矩阵，将下列对称矩阵化为对角阵：（1），（2）解：（1）求特征值：特征值为求特征向量：时，特征向量为，标准化为时，特征向量为，标准化为时，特征向量为，标准化为正交矩阵为（2）特征值为，正交矩阵为

，10．求一个正交变换化下列二次型为标准型：（1）解：对应的矩阵为，特征值为正交矩阵为，标准型为（2）对应的矩阵为，特征值为。正交变换为标准型为11．证明：二次型在时的最大值为方阵A的最大特征值。证明：设A的