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2007—2008第二学期高数期末试卷一、（每小题5分，共10分）1.设，证明：。2.求函数在点处的梯度及沿该梯度方向的方向导数。二、求曲线在点的切线及法平面方程。（8分）三、计算下列重积分（第小题6分，共18分）1.，由及围成。2.,。3.,由曲面与平面所围成。四、计算下列曲线（曲面）积分（每小题6分，共18分）。1.,:.2.,顶点为，和的三角形正向边界。3.，其中为上半球面的上侧。五、（每小题6分，共18分）。1.判断下列级数是否收敛。若收敛，是条件收敛，还是绝对收敛？1）；2）。2.将展开为的幂级数。六、解下列微分方程（每小题7分，共21分）。1.求的通解。2.求的通解。3.求，，的特解。七、在第一卦限内作球面的切平面，使该切平面与三坐标轴所围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。（7分）一、（每小题5分，共10分）1.设，证明：。2.求函数在点处的梯度及沿该梯度方向的方向导数。,二、求曲线在点的切线及法平面方程。（8分），。三、计算下列重积分（第小题6分，共18分）1.，由及围成。2.,。3.,由曲面与平面所围成。四、计算下列曲线（曲面）积分（每小题6分，共18分）。1.,:.2.,顶点为，和的三角形正向边界。3.，其中为上半球面的上侧。记是下侧。所围区域记为，则五、（每小题6分，共18分）。1.判断下列级数是否收敛。若收敛，是条件收敛，还是绝对收敛？1）；2）。对于级数，，所以绝对收敛。对于级数，，发散，所以级数不绝对收敛。条件收敛。2.将展开为的幂级数。六、解下列微分方程（每小题7分，共21分）。1.求的通解。2.求的通解。，一阶线性方程。3.求，，的特解。，。七、在第一卦限内作球面的切平面，使该切平面与三坐标轴所围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。（7分）设为椭球面上的一点，令，则，，过的切平面方程是即切平面在三个轴上的交点分别是，，四面体的体积是在

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