专题5.1 任意角与弧度制【原卷版】

专题5.1任意角与弧度制专题5.1任意角与弧度制知识点一角的概念的推广知识点一角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．提醒：终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．知识点知识点二弧度制的定义和公式1.定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.2.公式：角α的弧度数公式|α|＝eq\f(l,r)(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))eq\s\up12(°)弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r20°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)πeq\f(3π,2)2π4.提醒：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．知识点知识点三重要结论1.轴线角：角的终边的位置集合表示终边落在x轴的非负半轴上{α|α＝k·360°，k∈Z}终边落在x轴的非正半轴上{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}终边落在y轴的非负半轴上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}终边落在y轴的非正半轴上{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}终边落在y轴上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}终边落在x轴上{α|α＝k·180°，k∈Z}终边落在坐标轴上{α|α＝k·90°，k∈Z}2.象限角：象限角集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}考点01周期现象【典例1】（2021下·高一课时练习）如图所示的弹簧振子在之间做简谐运动，振子向右运动时，先后以相同的速度通过两点，经历的时间为，过N点后，再经过第一次反向通过N点，振子在这内共通过了的路程，则振子的振动周期．【典例2】（2020·高一课时练习）今天是星期三，那么天后的那一天是星期几?天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?考点02任意角的概念【典例3】（2023上·高一课时练习）如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则．【典例4】（2023上·福建南平·高一武夷山一中校考期中）把分针拨快15分钟，则分针转过的角度为.【规律方法】注意角的形成过程中，射线的旋转方向，分清角的正负.．考点03终边相同的角【典例5】（2023上·安徽·高二校联考期中）在平面直角坐标系中，下列与角终边相同的角是（

）A． B． C． D．【典例6】（2023·全国·九年级随堂练习）与角终边相同的角的集合是．考点04确定终边相同的角【典例7】（2023·全国·高一专题练习）若角的终边与角的终边相同，则在内与角的终边相同的角是.【典例8】（2023·全国·高一随堂练习）写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来：(1)；(2)；(3)；(4)．【规律方法】利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．考点05判断角所在象限【典例9】（2023上·甘肃天水·高一秦安县第一中学校考期末）若是第二象限角，则是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【典例10】（2023上·四川南充·高二仪陇中学校考）已知角终边上有一点，则为（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【方法技巧】象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．(2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．考点06终边在直线上的角【典例11】终边在直线上的角的集合是.【典例12】（2023·全国·高一课堂例题）写出终边在下图所示的直线上的角的集合．【规律方法】求解终边在某条直线上的角的集合的思路1．若所求角β的终边在某条射线上，则集合的形式为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．2．若所求角β的终边在某条直线上，则集合的形式为{β|β＝k·180°＋α，k∈Z}．考点07角的范围及其分布图【典例13】（2023上·高一课时练习）写出终边落在的图象所夹区域内（不包括边界）的角的集合.【典例14】（2023上·高一课时练习）写出终边落在图中阴影区域内的角的集合．(1)

(2)

【方法技巧】(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}；(3)起始、终止边界对应角α、β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．考点08确定已知角终边所在象限【典例15】（2023上·江苏南京·高一南京市第十三中学校考期中）的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【典例16】【多选题】（2023下·湖南株洲·高一统考开学考试）已知下列各角：①；②；③；④，其中是第二象限角的是（

）A．① B．② C．③ D．④考点09由已知角所在象限确定其它角的范围【典例17】（2022下·高一单元测试）若为第二象限角，则的终边所在的象限是（

）A．第二象限 B．第一、二象限C．第一、三象限 D．第二、四象限【典例18】（2023·全国·高三对口高考）①若角与角的终边相同，则与的数量关系为；②若角与角的终边关于x轴对称，则与的数量关系为；③若角与角的终边关于y轴对称，则与的数量关系为；④若角与角的终边在一条直线上，则与的数量关系为；⑤如果是第一象限的角，那么是第象限的角.考点10确定角的倍、分角所在象限【典例19】【多选题】（2022下·江西新余·高一新余市第一中学校考开学考试）若是第二象限角，则（

）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的终边在y轴负半轴上【典例20】（2023·全国·高一随堂练习）已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限：(1)；(2)；(3)；(4)．考点11用弧度表示角【典例21】（2023·全国·高一课堂例题）用弧度分别表示终边落在如图（1）（2）所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合．（如无特别说明，边界线为实线代表包括边界，边界线为虚线代表不包括边界）【典例22】（2023·全国·高一随堂练习）把下列各角化成的形式，并指出它们是哪个象限的角：(1)；(2)；(3)；(4)．考点12两种制度的互化【典例23】（2023下·新疆阿克苏·高一校考期中）将下列各角度化成弧度，弧度化成角度.；；；.【典例24】（2023·全国·高一随堂练习）rad；°．考点13扇形弧长、面积、圆心角的计算【典例25】（2023上·安徽·高三固镇县第一中学校联考期中）扇子是引风用品，夏令必备之物.我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分.历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇.如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或绫绢做扇面而制成的.完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中，，分别在，上，，的长为，则该折扇的扇面的面积为（

）

图1

图2A． B． C． D．【典例26】（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）我国魏晋时期的数学家刘徽创造性的提出了“割圆术”，刘徽认为圆的内接正边形随着边数的无限增大，圆的内接正边形的周长就无限接近圆的周长，并由此求得圆周率的近似值．如图当时，圆内接正六边形的周长为，故，即．运用“割圆术”的思想，下列估算正确的是（

）A．时， B．时，C．时， D．时，考点14扇形计算中的最值问题【典例27】（2022上·广东深圳·高一校考期末）若扇形周长为10，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（

）A． B．C． D．【典例28】（2023下·河北张家口·高一统考期中）如图，已知扇形的周长为，当该扇形的面积取最大值时，弦长（

）A． B． C． D．【总结提升】应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．1.（2015·山东·统考高考真题）终边在轴的正半轴上的角的集合是（

）A． B．C． D．2.（2022·全国·高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（

）A． B． C． D．3.（2020·山东海南·高考真题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．一、单选题1.（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（

）A． B．C． D．2．（2023上·江苏南京·高一南京市第十三中学校考期中）扇形的圆心角为弧度，周长为，则它的面积为（

）A．5 B．6 C．8 D．93．（2014·全国·高三专题练习）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（

）A．

B．

C．

D．

4．（2022上·广东茂名·高一统考期末）我国古代某数学著作中记载：“今有宛田，下周四步，径四步，问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长4步，其所在圆的直径是4步，则这块田的面积是（

）A．8平方步 B．6平方步 C．4平方步 D．16平方步5．（2023下·浙江杭州·高一浙江大学附属中学期中）已知一个扇形的周长为20，则当该扇形的面积最大时，其圆心角的弧度为（

）A．1 B．2 C．4 D．56．（2023下·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校考阶段练习）已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（

）A．10 B．15 C．20 D．25二、多选题7．（2022上·重庆·高一校联考阶段练习）下列命题正确的是（

）A．终边落在轴的非负半轴的角的集合为B．终边在轴的非负半轴上的角的集合是C．第三象限角的集合为D．在范围内所有与角终边相同的角为和三、填空题8．（2023·全国·高一随堂练习