专题22 任意角和弧度制及三角函数概念（4知识点5题型）原卷版

任意角和弧度制及三角函数的概念常考题型三角函数的定义弧度制象限角与终边相同的角任意角的概念题型一：任意角有关概念的理解题型二：终边相同的角题型三：角所在象限的确定任意角和弧度制及三角函数的概念常考题型三角函数的定义弧度制象限角与终边相同的角任意角的概念题型一：任意角有关概念的理解题型二：终边相同的角题型三：角所在象限的确定题型四：扇形的弧长及面积公式题型五：三角函数的定义及应用知识点一：任意角的概念（1）角的定义及分类①角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．②角的分类名称定义图示正角一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转形成的角知识点二：象限角与终边相同的角（1）象限角与终边相同的角象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和（2）象限角的集合表示象限角象限角α的集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}（3）轴线角的集合表示角α终边的位置角α的集合表示在x轴的非负半轴上{α|α＝k·360°，k∈Z}在x轴的非正半轴上{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}在y轴的非负半轴上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}在y轴的非正半轴上{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}在x轴上{α|α＝k·180°，k∈Z}在y轴上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}在坐标轴上{α|α＝k·90°，k∈Z}知识点三：弧度制（1）弧度制的概念①弧度制定义：以弧度为单位来度量角的单位制；②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1rad③规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝eq\f(l,r)，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．（2）角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度数×eq\f(π,180)＝弧度数弧度数×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度数（3）扇形的弧长及面积公式①弧长公式在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角大小为α，则|α|＝eq\f(l,r)，变形可得l＝|α|r，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度．②扇形面积公式由圆心角为1rad的扇形面积为eq\f(πr2,2π)＝eq\f(1,2)r2，而弧长为l的扇形的圆心角大小为eq\f(l,r)rad，故其面积为S＝eq\f(l,r)×eq\f(r2,2)＝eq\f(1,2)lr，将l＝|α|r代入上式可得S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2，此公式称为扇形面积公式．知识点四：三角函数的定义（1）任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么①点P的纵坐标叫角α的正弦函数，记作sinα＝y；②点P的横坐标叫角α的余弦函数，记作cosα＝x；③点P的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作tanα＝eq\f(y,x).它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数y＝sinx，x∈R；余弦函数y＝cosx，x∈R；正切函数y＝tanx，x≠eq\f(π,2)＋kπ（k∈Z）．（3）设α是一个任意角，角α的终边任意一点P(x，y)，那么设r=，则sinα＝；cosα＝；tanα＝eq\f(y,x).题型一：任意角有关概念的理解解题思路：利用角的概念及象限角和终边相同角理解辨析例1．（多选题）下列命题中错误的是（

）A．三角形的内角必是第一、二象限角B．始边相同而终边不同的角一定不相等C．第四象限角不一定是负角D．钝角比第三象限角小例2．下列各命题正确的是（

）A．第一象限角都是锐角B．三角形的内角必是第一，二象限角C．不相等的角终边必不相同D．相等的角终边相同例3．（多选题）下列说法错误的是（

）A．终边与始边重合的角是零角B．终边与始边都相同的两个角一定相等C．小于90°的角是锐角D．若，则是第三象限角变式训练4．（多选题）下列选项不正确的是（

）A．终边落在第一象限的角为锐角B．锐角是第一象限的角C．第二象限的角为钝角D．小于的角一定为锐角5．下列说法中正确的是（

）A．锐角是第一象限角 B．终边相等的角必相等C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角题型二：终边相同的角解题思路：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和例1．的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限例2．下列各角中，与角终边相同的角是（

）A． B． C． D．例3．将化为的形式是．变式训练4．下列各角中，与角终边重合的是（

）A． B． C． D．5．与角终边相同的角的集合是．6．已知集合A={|为锐角}，B={|为小于的角}，C={|为第一象限角}，D={|为小于的正角}，则下列等式中成立的是（

）A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D题型三：角所在象限的确定解题思路：（1）已知α所在象限，确定nα或eq\f(α,n)所在象限①用不等式表示α的范围，再确定nα或eq\f(α,n)的范围，再判断角所在象限；①数形结合法，等分象限，确定角所在象限.（2）先变式α的范围，在根据不等式性质求相应角的范围。例1．已知是锐角，那么是（

）．A．第一象限角 B．第二象限角C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角例2．已知为第二象限角，则所在的象限是（

）A．第一或第二象限 B．第二或第三象限C．第二或第四象限 D．第一或第三象限例3．（多选题）若是第二象限角，则（

）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的终边在y轴负半轴上变式训练4．（多选题）角的终边在第三象限，则的终边可能在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．y轴非负半轴 D．第三或四象限5．（多选题）已知是锐角，则（

）A．是第三象限角 B．是小于的正角C．是第一或第二象限角 D．是锐角6．设是第二象限角，则的终边在（

）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限7．若，，则所在象限是（

）A．第一或第三象限 B．第一或第二象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限题型四：扇形的弧长及面积公式解题思路：(1)弧度制下l＝|α|·r，S＝eq\f(1,2)lr，此时α为弧度．扇形面积公式12lr=12αr2，扇形中弦长公式2rsinα2，扇形弧长公式l=αr.在角度制下，弧长l＝eq\f(nπr,180)，扇形面积S＝eq\f(nπr2,360)，此时n(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．2.当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S转化为r的函数，函数思想、转化为方程的思想是解决数学问题的常用思想．例1．已知扇形的圆心角是，半径为，则扇形的面积为（

）A． B． C． D．例2．扇形的圆心角为弧度，周长为，则它的面积为（

）A．5 B．6 C．8 D．9例3．若扇形周长为10，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（

）A． B．C． D．例4．扇子是引风用品，夏令必备之物.我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分.历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇.如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或绫绢做扇面而制成的.完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中，，分别在，上，，的长为，则该折扇的扇面的面积为（

）

图1

图2A． B． C． D．变式训练5．母线长为、底面半径为的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为．6．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分．若弧田所在扇形的圆心角为，扇形的面积为，则此弧田的面积为．7．杭州第届亚洲运动会，于年月日至月日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成（如图），其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴.已知该扇面呈扇环的形状，内环和外环均为圆周的一部分，若内环弧长是所在圆周长的，内环所在圆的半径为，径长（内环和外环所在圆的半径之差）为，则该扇面的面积为.8．如图1，折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开的平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是.题型五：三角函数的定义及应用解题思路：（1）已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解．（2）已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．（3）三角函数定义应用问题已知角α的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值sinα＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，余弦值cosα＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，正切值tanα＝eq\f(a,b)．例1．已知：角的终边过点，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件例2．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，点在角的终边上，则（）A． B． C． D．例3．已知角终边上有一点，则是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角变式训练4．设是第二象限角，为其终边上一点，且，则（

）A． B． C． D．5．“”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件6．若角的终边过点，则的值是（

）A． B．2 C． D．7．已知角α的终边过点，则（

）A． B． C． D．一、单选题1．已知角的顶点与原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，是第几象限角（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角2．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（

）A． B．C． D．3．在平面直角坐标系中，下列与角终边相同的角是（

）A． B． C． D．4．已知角终边上有一点，则为（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角5．已知扇形的周长为8cm，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是（

）A． B．1 C．2 D．36．已知角的终边过点，则（

）A． B． C． D．7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（，且弦是矢的倍，按照上述经验公式计算所得弧田的弧长是（

）A． B． C． D．8．已知集合，，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列说法，不正确的是（

）A．三角形的内角必是第一、二象限角B．始边相同而终边不同的角一定不相等C．钝角比第三象限角小D．小于180°的角是钝角、直角或锐角10．已知{第一象限角}，{锐角}，{小于的角}，那么A、B、C关系是（）A．