电子测量技术误差理论与数据处理1

电子测量技术误差理论与数据处理2023/12/26电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.1测量误差的基本概念1.1.1测量误差的定义

测量的目的:获得被测量的真值。真值:在一定的时间和空间环境条件下，被测量本身所具有的真实数值。测量误差:所有测量结果都带有误差。电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.1.2测量误差产生的原因（1）仪器误差：由于测量仪器及其附件的设计、制造、检定等不完善，以及仪器使用过程中老化、磨损、疲劳等因素而使仪器带有的误差。（2）影响误差：由于各种环境因素（温度、湿度、振动、电源电压、电磁场等）与测量要求的条件不一致而引起的误差。（3）理论误差和方法误差：由于测量原理、近似公式、测量方法不合理而造成的误差。（4）人身误差：由于测量人员感官的分辨能力、反应速度、视觉疲劳、固有习惯、缺乏责任心等原因，而在测量中使用操作不当、现象判断出错或数据读取疏失等而引起的误差。（5）测量对象变化误差：测量过程中由于测量对象变化而使得测量值不准确，如引起动态误差等。电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.1.3测量误差的分类1.按误差表示方法分绝对误差相对误差 2.按误差性质分系统误差随机误差粗大误差 电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.1.3测量误差的分类（续）1.按误差来源分仪器误差使用误差人身误差方法误差理论误差影响误差 电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.1.4测量误差的表示方法测量误差有绝对误差和相对误差两种表示方法。1.绝对误差（1）定义：由测量所得到的被测量值与其真值之差，称为绝对误差

有大小，又有符号和量纲实际应用中常用实际值A（高一级以上的测量仪器或计量器具测量所得之值）来代替真值。绝对误差：电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.1.4测量误差的示方法（续）（2）修正值与绝对误差的绝对值大小相等，但符号相反的量值，称为修正值测量仪器的修正值可以通过上一级标准的检定给出，修正值可以是数值表格、曲线或函数表达式等形式。被测量的实际值电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.1.4测量误差的示方法（续）2.相对误差一个量的准确程度，不仅与它的绝对误差的大小，而且与这个量本身的大小有关。例：测量足球场的长度和成都市到绵阳市的距离，若绝对误差都为1米，测量的准确程度是否相同？相对误差、引用误差、分贝误差相对误差：亦被称为相对真误差，它指绝对误差与被测真值的比。通常用百分数表示：相对误差是两个有相同量纲的量的比值，只有大小和符号，没有单位。电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.1.4测量误差的示方法（续）引用误差：满度相对误差（引用相对误差）用测量仪器在一个量程范围内出现的最大绝对误差与该量程值（上限值－下限值）之比来表示的相对误差，称为满度相对误差（或称引用相对误差）仪表各量程内绝对误差的最大值电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.1.4测量误差的示方法（续）分贝误差——相对误差的对数表示分贝误差是用对数形式（分贝数）表示的一种相对误差，单位为分贝（dB）。电压增益的测得值为误差为用对数表示为增益测得值的分贝值分贝误差电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.1.5系统误差与随机误差1系统误差定义：在相同条件下多次测量同一量时，误差的绝对值和符号保持恒定，或在条件改变时按一定规律变化的误差叫系统误差。系统误差简称“系差”，用ε来表示。产生原因：测量仪器设备在设计和制作上有缺陷、测量时环境条件与仪器要求不一致、测量方法不完善、测量设备的安装、放置和使用不当、测量人员的不良习惯及生理上的限制。电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.1.5系统误差与随机误差（续）特点：恒差系：就是当测量条件一经确定，系统误差就是一个客观上恒定的值，多次测量取平均值并不能改变其大小。变系差：就是在测量条件改变时，一般来说系统误差是变化的，其规律有累进性的，也有周期性的，还有复杂规律变化的。电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.1.5系统误差与随机误差（续）2.随机误差定义：在相同条件下多次测量同一量时，误差的绝对值和符号均以不可预定方式变化的误差。随机误差简称“随差”，一般是绝对误差形式。产生原因：主要是那些对测量影响微小而又互不相关的多种因素共同造成的，也就是随机因素的影响。特点是:在多次测量中，随机误差的绝对值不会超过一定的界限，即有界性；绝对值相等的正负误差出现的机会相同，即对称性；随机误差的算术平均值随着测量次数的无限增加而趋于零，也就是说多次测量中随机误差有相互抵消的特性，即抵偿性。电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.1.5系统误差与随机误差（续）3粗大误差定义：在一定测量条件下，测量示值明显偏离被测实际值所形成的误差。粗大误差又叫疏失误差。产生原因：有测量条件突然变化的客观原因，如测量过程中供电电源的瞬时跳变；也有测量人员疏忽的原因，如测错、读错、记错等。电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.1.5系统误差与随机误差（续）4误差对测量结果的影响及测量结果评价测量误差的系统误差、随机误差和粗大误差同时存在时，对测量结果的影响可用图1-1来表示。图1-1三种误差同时存在的情况

电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.1.5系统误差与随机误差（续）图中表示真值，小黑点表示各次测量值，表示的平均值，表示随机误差，ε表示系统误差（恒系差），表示坏值。由图可知：坏值的存在，将严重影响平均值（图中是未考虑值），使其失去意义，因此整理测量数据时必须先将坏值剔除；剔除坏值后，随机误差为测量值与平均值的差，根据抵偿性通过多次测量取算术平均值的方法以消除随差的影响；算术平均值与被测真值间存在一个恒定系差ε,ε越小则离真值越近，ε为零时将趋于。

电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.1.5系统误差与随机误差（续）在（a）、（b）二图中，系差ε的大小是一样的，但（a）图比（b）图的测量值集中，也就是分散性要小，对应随机误差也小。为了正确说明测量结果，分析测量误差情况，通常用正确度、精密度和准确度来评价。正确度，指测量值与被测量真值的接近程度，也就是系统误差大小的程度。在图1-1中，系统误差ε越小，测量平均值就离真值接近，正确度就越高。精密度，指测量值重复一致的程度。相同条件下多次测量同一量，每次测量的值越接近，则测量的精密度就越高。因此，精密度表示测量结果中随机误差的分散程度。在图1-1中，（a）的测量值比（b）的测量值集中，则（a）的随机误差分散小，精密度也就高。准确度，反映系统误差和随机误差综合影响的程度，也就是包括了正确度和精密度。电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.1.5系统误差与随机误差（续）图1-2是射击时靶牌的弹着点情况，它形象直观地说明了正确度、精密度和准确度三个概念。(a)图表明正确度高而精密度低，（b）图表明精密度高而正确度低，（c）图表明正确度和精密度都高，即准确度高。图1-2射击靶牌弹着点情况电子测量技术误差理论与数据处理[1]1．2随机误差的统计特性及处理

1.2.1随机误差的性质及特点概率论中心极限定理指出：构成随机变量总和的各独立随机变量足够多，且每个随机变量对总和的影响足够小，则随机变量总和的分布规律服从正态分布。多数情况下，测量中的随机误差正是由对测量值影响微小而又互相独立的多个随机因素造成的，也就是说测量中的随机误差一般是多个因素造成的许多微小误差的总和。因此，按概率密度函数描述测量数据及随机误差的分布有：电子测量技术误差理论与数据处理[1]1．2．1随机误差的性质及特点（续）电子测量技术误差理论与数据处理[1]1．2．1随机误差的性质及特点（续）

电子测量技术误差理论与数据处理[1]1．2．1随机误差的性质及特点（续）式中为各测量值，为随机误差，及为测量值及随机误差分布的标准差，M（）是的数学期望值。

上两式的几何曲线如图1-3所示。图1-3测量数据和随机误差的正态分布电子测量技术误差理论与数据处理[1]1．2．1随机误差的性质及特点（续）测量值与随机误差的分布形状相同，分散程度完全一样，因而标准差与相等，只是唯一的不同就是横坐标差一个常数M()。因此，我们只需讨论其中的一种，而对另一种只需把横坐标移动一个位置即可。

由图1-3（b）可见，因随机误差影响使测量数据呈正态分布，而且是对称地分布在数学期望值两侧。由图(1-3)（a）可见，绝对值小的随机误差出现的概率大，绝对值大的随机误差出现的概率小；绝对值相等的正、负随机误差出现的概率相等；绝对值很大的随机误差出现的概率趋于零。电子测量技术误差理论与数据处理[1]1．2．2数学期望值及标准差

1.数学期望值M()

我们将测量值分为离散和连续两种情况。若测量值在所在区间内连续，则测量值有无穷多个，每个值的概率趋于零。根据概率论的知识，测量值的数学期望值为：而测量值为离散时，每次测量值为，测量次数为n，当n→∞时，测量值的数学期望值为：

（n→∞）

电子测量技术误差理论与数据处理[1]1．2．2数学期望值及标准差（续）在实际测量中，不但测量值大都是离散的，而且测量次数n也为有限次，则只能得到算术平均值：

算术平均值的数学期望值为：

电子测量技术误差理论与数据处理[1]1．2．2数学期望值及标准差（续）2.标准差测量的数学期望值反映了测量值平均的情况，在实际测量中还需要知道测量值的离散程度，通常用测量值的标准差来反映测量值的离散程度。标准差的平方叫方差。测量值连续时方差为：电子测量技术误差理论与数据处理[1]1．2．2数学期望值及标准差（续）而当测量值离散时方差为：

==

电子测量技术误差理论与数据处理[1]1．2．2数学期望值及标准差（续）n次测量平均值的方差为：

有限次测量能得到而不能得M（），这时的误差也只能叫残差或剩余误差，并用υ表示：

电子测量技术误差理论与数据处理[1]1．2．2数学期望值及标准差（续）贝塞尔（Bessel）公式

电子测量技术误差理论与数据处理[1]1．2．3测量结果的置信问题（1）置信概率与置信区间：置信区间内包含真值的概率称为置信概率。置信限：k——置信系数（或置信因子）置信概率是图中阴影部分面积电子测量技术误差理论与数据处理[1]1．2．3测量结果的置信问题（续）（2）正态分布的置信概率当分布和k值确定之后，则置信概率可定

正态分布,当k=3时置信因子k置信概率Pc10.68320.95530.997区间越宽，置信概率越大电子测量技术误差理论与数据处理[1]1．2．3测量结果的置信问题（续）（3）t分布的置信限

t分布与测量次数有关。当n>20以后，t分布趋于正态分布。正态分布是t分布的极限分布。当n很小时，t分布的中心值比较小，分散度较大，即对于相同的概率，t分布比正态分布有更大的置信区间。给定置信概率和测量次数n，查表得置信因子kt。

自由度：v=n-1电子测量技术误差理论与数据处理[1]1．2．3测量结果的置信问题（续）（4）非正态分布的置信因子

由于常见的非正态分布都是有限的，设其置信限为误差极限，即误差的置信区间为置信概率为100％。例：均匀分布

有故:电子测量技术误差理论与数据处理[1]1．2．3异常数据的剔除（续）对误差绝对值较大的测量值视为可疑数据，它对测量平均值及标准差估计值都有较大影响。在遇到可疑异常数据时，最好能根据观察分析到的物理原因或技术原因决定其取舍。当这样做有困难时，就常以统计学的方法来处理可疑异常数据。

用统计学方法处理异常数据，就是给定一个置信概率，找出相应的置信区间，只要在此区间外的数据就视为异常数据，并予以剔除。

对应为异常数据，应剔除。

电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.3系统误差的判断及处理

1.3.1系统误差的特征：在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。

多次测量求平均不能减少系差。系统误差的特征电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.3.2系统误差的发现方法

（1）不变的系统误差：校准、修正和实验比对。（2）变化的系统误差①

残差观察法，适用于系统误差比随机误差大的情况 将所测数据及其残差按先后次序列表或作图，观察各数据的残差值的大小和符号的变化。电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.3.2系统误差的发现方法

（续）②马利科夫判据：若有累进性系统误差，D值应明显异于零。 当n为偶数时，

当n为奇数时，③阿卑－赫梅特判据：检验周期性系差的存在。电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.3.2系统误差的削弱或消除方法（1）从产生系统误差根源上采取措施减小系统误差①

要从测量原理和测量方法尽力做到正确、严格。②

测量仪器定期检定和校准，正确使用仪器。③注意周围环境对测量的影响，特别是温度对电子测量的影响较大。④

尽量减少或消除测量人员主观原因造成的系统误差。应提高测量人员业务技术水平和工作责任心，改进设备。（2）用修正方法减少系统误差

修正值＝－误差=－（测量值－真值） 实际值＝测量值＋修正值电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.3.2系统误差的削弱或消除方法（续）（3）采用一些专门的测量方法①替代法②交换法③对称测量法④减小周期性系统误差的半周期法系统误差可忽略不计的准则是： 系统误差或残余系统误差代数和的绝对值不超过测量结果扩展不确定度的最后一位有效数字的一半。电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.4误差的合成与分配1.4.1误差传递公式

绝对误差的传递公式Δ=

+

+……+=电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.4.1误差传递公式（续）相对误差的传递公式

==

电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.4.2误差的合成

1.系统误差的合成

(1).恒系差的合成

=

电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.4.2误差的合成（续）(2).变系差的合成

a.绝对值合成

电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.4.2误差的合成（续）b.均方根合成

电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.4.2误差的合成（续）2．随机误差的合成总和的随机误差：

电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.4.2误差的合成（续）方差

标准差

电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.4.2误差的合成（续）3.含不同性质误差时不确定度的合成

若误差中同时含有系统误差和随机误差，首先应将误差中确定性系差（恒系差）、不确定性系数（变系差）和随机误差进行分离，先将确定性系差按式（1-35）进行总合，然后对不确定性系差和随机误差计算总合的不确定度。

电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.4.3误差的分配1.等准确度分配原则等准确度分配是指分配给各分项的误差彼此相同。可分配给各分项的系统误差和随机误差分别为：

等准确度分配通常用于各分项性质相同（量纲相同），大小相近的情况。电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.4.3误差的分配（续）2.等作用分配原则等作用分配是指各分项误差对误差总合的作用是相同的，而分配的各分项误差在数值上不一定相同。可分配给各分项的系统误差和随机误差分别为

电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.5测量数据处理1.5.1有效数字及数字舍入规则

1.数字修约规则由于测量数据和测量结果均是近似数，其位数各不相同。为了使测量结果的表示准确唯一，计算简便，在数据处理时，需对测量数据和所用常数进行修约处理。数据修约规则：（1）小于5舍去——末位不变。（2）大于5进1——在末位增1。（3）等于5时，取偶数——当末位是偶数，末位不变；末位是奇数，在末位增1（将末位凑为偶数）。电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.5.1有效数字及数字舍入规则

（续）例：将下列数据舍入到小数第二位。12.4344→12.43 63.73501→63.740.69499→0.6925.3250→25.32 17.6955→17.70 123.1150→123.12需要注意的是，舍入应一次到位，不能逐位舍入。上例中0.69499，正确结果为0.69，错误做法是：

0.69499→0.6950→0.695→0.70。在“等于5”的舍入处理上，采用取偶数规则，是为了在比较多的数据舍入处理中，使产生正负误差的概率近似相等。电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.5.1有效数字及数字舍入规则

（续）2.有效数字若截取得到的近似数其截取或舍入误差的绝对值不超过近似数末位的半个单位，则该近似数从左边第一个非零数字到最末一位数为止的全部数字，称之为有效数字。例如：3.142 四位有效数字，极限误差≤0.00058.700 四位有效数字，极限误差≤0.00058.7×103

二位有效数字，极限误差≤0.05×1030.0807 三位有效数字，极限误差≤0.005电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.5.1有效数字及数字舍入规则

（续）中间的0和末尾的0都是有效数字，不能随意添加。开头的零不是有效数字。测量数据的绝对值比较大（或比较小），而有效数字又比较少的测量数据，应采用科学计数法，即a×10n，a的位数由有效数字的位数所决定。测量结果（或读数）的有效位数应由该测量的不确定度来确定，即测量结果的最末一位应与不确定度的位数对齐。例如，某物理量的测量结果的值为63.44，且该量的测量不确定度u＝0.4，测量结果表示为63.4±0.4。电子测量技术误差理论与数据处理[1]1.5.1有效数字及数字舍入规则

（续）3.近似运算法则 保留的位数原则上取决于各数中准确度最差的那一项。（1）加法运算 以小数点后位数最少的为准（各项无小数点则以有效位数最少者为准）