新教材同步辅导2023年高中数学第七章随机变量及其分布7.4二项分布与超几何分布7.4.1二项分布分层演练新人教A版选择性必修第三册

7.4.1二项分布A级基础巩固1.甲、乙两位选手进行乒乓球比赛,5局3胜制,每局甲赢的概率是23,乙赢的概率是13,则甲以3∶1获胜的概率是(A.827B.16C.1681D.32解析:由题意可知,5局3胜制,甲以3∶1获胜,则第4局甲胜,且前3局中甲胜2局,故所求概率为P=23×C32×232答案:A2.某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是13,2min,则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y的期望为()A.5 B.1 C.12+ln2D.8解析:由题可得,遇到红灯的次数ξ服从二项分布,即ξ~B(4,13)所以E(ξ)=4×13=4所以因遇到红灯停留的总时间Y的期望为E(2ξ)=2E(ξ)=2×43=8答案:D3.抛出4枚质地均匀的骰子,恰有3枚朝上的面上的点数不小于5的概率为()A.281B.4C.881D.4解析:抛掷1枚骰子,朝上的面上的点数不小于5的概率为13.抛出的4枚骰子中朝上的面上的点数不小于5的枚数X~B(4,13),故可得抛掷4枚骰子,恰有3枚向上的面上的点数不小于5的概率为C43×13答案:C4.若随机变量X~B(6,13),则P(X=2)的值为80解析:因为随机变量X~B(6,13)所以P(X=2)=C62×132×5.设随机变量X~B(5,13),则P(2<X≤4)=50解析:因为X~B(5,13)所以P(2<X≤4)=P(X=3)+P(X=4)=C53×133×(1-1=40243+=502436.我国的5G研发在世界上处于领先地位,某科技公司为5G基站使用的某种装置生产电子元件,该装置由元件A和元件B按如图所示方式连接而成.已知至少有一个元件A正常工作,且元件B正常工作时,该装置正常工作.据统计,元件A和元件B正常工作超过10000h的概率分别为12和4(1)求该装置正常工作超过10000h的概率;(2)某城市5G基站建设需购进1200台该装置,估计该批装置能正常工作超过10000h的件数.解:(1)至少有一个元件A正常工作超过10000h的概率为1-(12)3=7则该装置正常工作超过10000h的概率为P=78×45=(2)设1200台该装置能正常工作超过10000h的有X台,则X服从二项分布X~B(1200,710)所以这1200台装置能正常工作超过10000h的约有1200×710=840(台)B级能力提升7.多选题设火箭发射失败的概率为0.01,若发射10次,其中失败的次数为X,则下列结论正确的是()A.E(X)=0.1B.P(X=k)=0.01k×0.9910-kC.D(X)=0.99D.P(X=k)=C10k×0.01k×0.99解析:因为X~B(10,0.01),所以E(X)=10×0.01=0.1,D(X)=10×0.01×0.99=0.099.所以P(X=k)=C10k×0.01k×0.9910-k.故选答案:AD8.已知随机变量X服从二项分布B(n,p),且E(X)=300,D(X)=200,则p等于()A.23B.13C.1D.0解析:因为X~B(n,p),所以E(X答案:B9.设随机变量X的分布列为P(X=k)=Cnk×23k×n,且E(X)=24,则D(X)=8.解析:由随机变量X的分布列为P(X=k)=Cnk23k×1可得X~B(n,23)所以E(X)=n×23=24,解得n=所以D(X)=36×23×13=C级挑战创新10.多空题某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进行第二次烧制,两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5,0.6,0.4,经过第二次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6,0.5,0.75.则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为0.38;设经过前后两次烧制后,合格工艺品的件数为X,则随机变量X的均值为0.9.解析:第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为P=0.5×(1-0.6)×(1-0.4)+(1-0.5)×0.6×(1-0.4)+(1-0.5)×(1-0.6)×0.4=0.38.甲、乙、丙三件产品经过两次烧制后合格的概率分别为:P甲合格=0.5×0.6=0.3,P乙合格=0.6×0.5=0.3,P丙合格=0.4×0.75=0.3.故随机变量X的可能取值为0,1,2,3,且X~B(3,0.3),故E(X)=0.3×3=0.9.11.多空题已知两名射击运动员的射击水平:甲击中目标靶的概率是0.7,乙击中目标靶的概率是0.6.若让甲、乙两人各自向目标靶射击3次,则甲恰好击中目标靶2次的概率是0.44;两名运动员都恰好击中目标靶2次的概率是0.19(结果保留两位有效数字).解析:由题意,知甲向目标靶射击1次,击中目标靶的概率为0.7,乙向目标靶射击1次,击中目标靶的概率为0.6,两人射击击中目标靶次数均服从二项分布.甲向目标靶射击3次,恰好击中2次的概率是C32×0.72×(1-0.7)≈0.甲、乙两人各向目标靶射击3次,恰好都击中2次的概率是[C32×0.72×(1-0.7)]×[C32×0.62×(1-0.12.设甲、乙两名同学在上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两名同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立(1)用X表示甲同学在上学期间的3天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和均值;(2)设M为事件“在上学期间的3天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.解:(1)因为甲同学在上学期间的3天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为23所以X~B(3,23)从而P(X=k)=C3k×23k×1所以随机变量X的分布列为X0123P1248随机变量X的均值E(X)=3×23=2(2)设乙同学在上学期间的3天中7:30之前到校的天数为Y,则Y~B(3,23).Xi(i=0,1,2,3)表示在上学期间的3天中,甲同学7:30之前到校的天数,Yj(j=0,1,2,3)表示在上学期间的3天中,乙同学7: