新教材同步辅导2023年高中数学第七章随机变量及其分布7.3离散型随机变量的数字特征7.3.2离散型随机变量的方差分层演练新人教A版选择性必修第三册

7.3.2离散型随机变量的方差A级基础巩固1.若随机变量X满足P(X=1)=0.3,P(X=2)=0.7,则E(X)和D(X)的值分别为()A.0.6和0.7B.1.7和0.09C.0.3和0.7 D.1.7和0.21解析:E(X)=1×0.3+2×0.7=1.7,D(X)=(1-1.7)2×0.3+(2-1.7)2×0.7=0.21.答案:D2.随机变量X的分布列如下表,若E(X)=1.1,则D(X)=()X01xP1p3A.0.36B.0.52C.0.49D.0.68解析:由随机变量分布列的性质求得p=12由E(X)=0×15+1×12+310x=1.1,得故D(X)=(0-1.1)2×15+(1-1.1)2×12+(2-1.1)2×310=0答案:C3.多选题甲、乙两支女子球队在去年的某场比赛中,甲队平均每场进球数为3.2,乙队平均每场进球数为1.8.已知甲队去年全年比赛进球数的标准差为3,乙队去年全年比赛进球数的标准差为0.3.下列说法中,正确的是()A.乙队的进球技术比甲队好B.乙队发挥比甲队稳定C.乙队几乎每场都进球D.甲队的表现时好时坏解析:因为甲队平均每场进球数为3.2,乙队平均每场进球数为1.8,甲队平均数远大于乙队,所以甲队的进球技术比乙队好,A错误;因为甲队去年全年比赛进球数的标准差为3,乙队去年全年进球数的标准差为0.3,乙队进球数的标准差小于甲队,所以乙队发挥比甲队稳定,B正确;因为乙队进球数的标准差为0.3,说明每次进球数接近平均值,乙队几乎每场都进球,所以C正确.因为甲队标准差为3,说明甲队表现时好时坏,所以D正确.答案:BCD4.多空题已知随机变量X的分布列为X-101P11a则X的均值E(X)=-16;若随机变量Y=2X+1,则Y的方差D(Y)=29解析:由随机变量X的分布列,得12+16+a=1,解得a=所以E(X)=-1×12+0×16+1×13所以D(X)=(-1+16)2×12+(0+16因为随机变量Y=2X+1,所以Y的方差D(Y)=4D(X)=2995.编号为1,2,3的三名同学随意入座编号为1,2,3的三个座位,每名同学一个座位,若与座位编号相同的学生人数为X,则D(X)=1.解析:由题意可知,X的所有可能取值为0,1,3.因为P(X=0)=23!=13,P(X=1)=3P(X=3)=13!=所以X的分布列为X013P111所以E(X)=0×13+1×12+3×1所以D(X)=(0-1)2×13+(1-1)2×12+(3-1)2×166.已知随机变量X的分布列如下表所示,E(X)=23X01xP11p(1)求D(X)的值;(2)若Y=3X-2,求D(Y)的值.解:(1)由12+13+p=1,得p=因为E(X)=0×12+1×13+16所以x=2.D(X)=(0-23)2×12+(1-23)2×13+(2-23)2×(2)因为Y=3X-2,所以D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=5.B级能力提升7.甲、乙两名射击运动员命中环数X,Y的分布列如下表.由表可知,射击成绩比较稳定的运动员是()概率环数k8910P(X=k)0.30.20.5P(Y=k)0.20.40.4A.甲 B.乙C.二人一样 D.无法比较解析:由题中分布列可得,E(X)=8×0.3+9×0.2+10×0.5=9.2,E(Y)=8×0.2+9×0.4+10×0.4=9.2,所以D(X)=(8-9.2)2×0.3+(9-9.2)2×0.2+(10-9.2)2×0.5=0.76,D(Y)=(8-9.2)2×0.2+(9-9.2)2×0.4+(10-9.2)2×0.4=0.56.所以E(X)=E(Y),D(X)>D(Y).所以乙的成绩波动性较小,比较稳定.答案:B8.随机变量X的取值为0,1,2.若P(X=0)=15,E(X)=1,则D(X)=2解析:设P(X=1)=a,P(X=2)=b,则15+所以D(X)=(0-1)2×15+(1-1)2×35+(2-1)2×159.多空题已知随机变量X的分布列如下表.Xa234P1b11若E(X)=2,则a=0,D(X)=52解析:由随机变量X的分布列及E(X)=2,得13+故D(X)=(0-2)2×13+(2-2)2×14+(3-2)2×16+(4-2)2×110.袋子中装有大小形状完全相同的5个小球,其中红球3个,白球2个,现每次从中不放回地取出1个球,直到取到白球为止.(1)求取球次数X的分布列;(2)求取球次数X的均值和方差.解:(1)由题意知,X的可能取值有1,2,3,4,P(X=1)=25P(X=2)=35×24=P(X=3)=35×24×23P(X=4)=35×24×13故X的分布列为X1234P2311(2)由(1)知,取球次数X的均值为E(X)=1×25+2×310+3×15+4×X的方差D(X)=(1-2)2×25+(2-2)2×310+(3-2)2×15+(4-2)2×1C级挑战创新11.多选题已知0<a<1,随机变量ξ的分布列如下表所示,若E(ξ)=D(ξ),则下列结论中可能成立的是()ξkk-1Pa1-aA.a=13B.a=23C.k=12D.k=1解析:由题意得E(ξ)=ka+(k-1)(1-a)=k-1+a,D(ξ)=[k-(k-1+a)]2·a+[k-1-(k-1-a)]2·(1-a)=a(1-a).因为E(ξ)=D(ξ),所以k-1+a=a(1-a),所以k=1-a2.又0<a<1,所以k=1-a2∈(0,1),故k=1不可能成立,而选项A,B,C均有可能成立,故选ABC.答案:ABC12.某工厂生产A,B两种元件,现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行质量检测,检测结果记录如下:AB767x7.58.598.59.5y由于表格被污损,数据x,y看不清,统计员只记得A,B两种元件的检测数据的均值相等,方差也相等,则xy=72.解析:xA=7+7+7xB=6+x+8.5+