变量与函数齐淑慧

大千世界处在不停的运动变化之中,如何来研究这些运动变化并寻找规律呢?数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化变量与函数O1234567891011123h（米）t（分）(1)你坐过摩天轮吗？你坐在摩天轮上时,随着时间t的变化,你离开地面的高度h是如何变化的？先看什么叫变量?O123456789101112311h（米）t（分）O12345678910111231137h（米）t（分）O1234567891011123113745h（米）t（分）O1234567891011123113745h（米）t（分）O1234567891011123113745h（米）t（分）O1234567891011123113745h（米）t（分）下图反映了旋转时间t（分）与摩天轮上一点的高度h（米）之间的关系。t/分012345······h/米······31137453711根据上图填表汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶里程为skm，行驶时间为th。先填下表。60120180240300从上面表中所填数据可以看出：S的值随t的值的变化而＿＿＿＿.试用含t的式子表示s。s=＿＿t/h12345ts/km60t变化60t像这样在某一变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量.刻画汽车运动变化的量是路程S和时间t,路程S随着时间t的变化而变化,它们都会取不同的数值．以上问题中都出现了可以取不同数值的量.刻画摩天轮转动过程的量是时间t和高度h,高度h随着时间t的变化而变化,它们都会取不同的数值．①这天的2时30分、9时和14时的气温分别为少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．②这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？③这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？时间t(时)810246121416182022240

温度T(

C)2468-2-40问题1

下图是某地一天的气温变化图,看图回答：什么叫函数呢?

在以上变化过程中存在着两个变量t和T,对于时间t每取一个值,温度T都有唯一的值与之对应.我们就说t是自变量,T是因变量.也称T是t的函数.

这张图是怎样来展示这天各时刻的温度和刻画这天的气温变化规律的?

这张图告诉我们哪些信息?问题2银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率,下表是2006年8月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率：观察上表,说说随着存期x的增长,相应的年利率y是如何变化的．在以上变化过程中存在着两个变量x和y,对于x每取一个值,y都有唯一的值与之对应.我们就说x是自变量,y是因变量.也称y是x的函数.存期x三月六月一年二年三年五年利率y(

)1.802.252.523.063.694.14

收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的．下面是一些对应的数：细心的同学可能会发现：

与

f

的乘积是一个定值，即

f＝300000，或者说 f＝

在以上变化过程中存在着两个变量

和f,对于

每取一个值,f都有唯一的值与之对应.我们就说

是自变量,f是因变量.也称f是

的函数.300000

波长

(m)30050060010001500频率f(kHz)1000600500300200

问题4

圆的面积随着半径的增大而增大．如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积则S与r之间满足下列关系：

S＝____________．利用这个关系式,试求出半径为1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、3.2cm时圆的面积,并将结果填入下表:(

≈3.14)

r²在以上变化过程中存在着两个变量r和S,对于r每取一个值,S都有唯一的值与之对应.我们就说r是自变量,S是因变量.也称S是r的函数.半径l(cm)11.522.63.2…圆面积S(cm²)3.147.0712.5721.2432.17…在某一变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量.

上面各个问题中,都出现了两个变量,它们互相依赖,密切相关.

一般地,如果在一个变化过程中,有两个变量,例如x和y,对于x的每一个值,y都有唯一的值与之对应,我们就说x是自变量,y是因变量,此时也称y是x的函数.概括函数的本质就是唯一确定的对应关系.

研究事物的运动变化,实际是从研究因变量与自变量的对应关系入手的.因变量与自变量的对应关系又叫函数关系.问题探究函数的表示方法

回顾“票房收入问题”、“行程问题”、“气温变化问题”，表示两个变量的对应关系有哪些方法？s＝60t；S=πr2列表法

图象法解析式法表示函数关系的方法通常有三种：(1)

解析法，如问题3中的f＝,问题4中的S＝πr²,这些表达式称为函数的关系式．(2)

列表法,如问题2中的利率表,问题3中的波长与频率关系表．(3)

图象法,如问题1中的气温曲线.

在问题的研究过程中,还有一种量,它的取值始终保持不变,我们称之为常量.如问题3中的300000,问题4中的π等.300000

小结：函数的三种表示法及其优缺点1.解析法

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数学运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。解析法简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的相依关系，但求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，而且在实际问题中，有的函数关系，不一定能用解析式表达出来。2.列表法

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。如平方根表、正弦函数表等。列表法一目了然，表格中已有的自变量的每一个值，不需要计算就可以直接查出与它对应的函数值，使用起来很方便，但列表法有局限性，因为列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数之间的对应规律。3.图象法用图象表示函数关系的方法叫做图象法。图象法形象直观，通过函数的图象，可以直接、形象地把函数关系表示出来，能够直观地研究函数的一些性质，例如函数有没有最大值（或最小值）？最大（小）值是多少？函数值是随自变量增大而增大，还是随自变量的增大而减小等等，函数图象是研究函数性质的有力工具。但是，由函数图象观察只能得到近似的数量关系。

在解决问题时，我们常常综合地运用这三种表示法，来深入地研究函数的性质。

自变量的取值范围确定自变量的取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义。（2）你见过水中涟漪吗？圆形水波慢慢地扩大。在这一过程中，当圆的半径r分别为10cm,20cm,30cm时，圆的面积S分别为多少？S的值随r的值的变化而变化吗？根据题意填写下表。r(cm)102030S(cm2)从表中所填数据可以看出：S的值随r的值的变化而＿＿；用含r的式子表示s=＿＿。变化100Л400Л900Л（3）用10m长的绳子围一个矩形。当矩形的一边长x分别为3m,3.5m,4m,4.5m时，它的邻边长y分别为多少？y的值随x的值的变化而变化吗？矩形的一边长x(m)33.544.5x邻边y(m)从表中所填数据可以看出：y的值随x的值的变化而＿＿；用含x的式子表示y=______变化21.50.515-x5-x常量、变量必须存在于一个变化过程中。判断一个量是常量还是变量，需看哪些方面？归纳小结:１.看它是否在一个变化的过程中；２.看它在这个变化过程中的取值情况。在一个变化过程中，数值发生变化的量叫变量；在一个变化过程中，数值始终不变的量叫常量。例如，问题1关系式s=60t中有变量____和____，t=1时，则s=；t=2时，则s=…….由此，可以得出，当t取定一个值时，s有(

)值与其对应。我们就说，S是t的函数，t是自变量,S是因变量.唯一确定的st60120y=5-xS=兀r2S=60ty=10x一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,y是因变量.如果x＝a时,y＝b,那么b就叫做当自变量的值为a时的函数值。１.指出下列关系式中的变量与常量：(1)y=5x－6(2)y=(3)y=4X2＋5x－7(4)C=4a２.圆的周长c=2Лr中,___是__的函数,___是自变量；y=5x－6中，＿是＿的函数，＿是自变量，当x=4时，函数值y=＿＿＿。1．小军用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱Q（元）与他买这种笔记本的本数x之间的关系是（）

A．Q=8xB．Q=8x-50C．Q=50-8xD．Q=8x+502、若球体体积为V，半径为R，则V=下列说法正确的()A、V、兀、R是变量，是常量B、R是变量，V、、兀是常量C、V是变量，、兀、R是常量D、V、R是变量，、兀是常量y

=

y、X303.设圆柱的高h不变,圆柱的体积v与圆柱的底面半径r之间的关系式是v=兀r2h.在这个式子中,变量是_______,常量是____,＿＿是自变量，＿是＿＿的函数。4．长方形相邻两边长分别为x、y，面积为30，则用含x的式子表示y为______，则这个问题中，_____常量；_______是变量。＿＿是自变量，＿是＿＿的函数。V、r兀,hrrvxxy5．写出下列问题中的关系式，并指出自变量与函数．（1）直角三角形中一个锐角α与另一个锐角β之间的关系．试用含α的式子表示β。

（2）一盛满30吨水的水箱，每小时流出0.5吨水，试用流水时间t（小时）表示水箱中的剩水量y（吨）．解：由题意得β

=90°—αα是自变量，β是α的函数。解：由题意得y=30-0.5tt是自变量，y是t的函数。（3）用总长为80m的篱笆围成长方形场地，长方形的面积S(m2)随一边长X(m)的变化而变化。3.下列关系中，y不是x函数的是（