机械故障诊断学第三章动态系统特性的时域分析

机械故障诊断学第三章动态系统特性的时域分析第3章动态系统特性的时域分析

概述

随机过程和时间序列

时间序列的统计分析

线性时间序列模型及其应用

工况状态变化趋势性模型分析机械故障诊断理论与方法2023/12/252特征分析的目的：去伪存真去粗取精特征分析的手段：时域频域及其各种变换域时频域1、概述2023/12/253涉及：数字信号处理、概率论与数理统计、随机过程、时间序列分析、信息理论、图像处理及人工智能等

随机过程的基本概念：实现、随机过程、随机变量2、随机过程和时间序列2023/12/254

实现(Realizaition)：在时间t∈T范围内，每进行一次实验所得的观测结果，称为一次实现。多次实现记为若为一次实现简记为，离散数据序列通常都是一次实现，简记为。2、随机过程和时间序列2023/12/255

随机过程(Stochasticprocess)：在时间t∈T范围内，k次实验的总体—样本函数称为随机过程。其中，离散数据序列记为2、随机过程和时间序列2023/12/256

随机变量(Stochasticvariable)：每次实现的观测值称为随机过程在该时刻的随机变量。每次观测到的结果是不相同的，它表明了随机过程的观测值不能重复（重要事实）实现、随机过程、随机变量三者的关系样本空间上的随机变量2023/12/257

随机变量的分布函数随机变量xt的分布函数：若存在非负函数p(x)，使得

x0时：对任意的x(-,+)成立，则称p(x)为随机变量

xt的概率密度函数。正态分布的概率密度函数：2023/12/258

随机过程的数字特征

随机过程在各时刻对应的随机变量的联合概率密度函数可以完整地描述随机过程的性质。但对于工程领域中的随机过程，其各时刻随机变量的概率密度函数以及过程本身的联合概率密度函数通常难以确定，因此有必要引入随机过程的某些数字特征进行描述。2023/12/25900

mstt+mstt-xtmt903060120150时间t0.80.60.40.2-0.2-0.4-0.8xt

均值与方差2023/12/2510意义：随机变量的均值反映了的随机变化中心，方差则反应了随机变量不同的样本函数对均值的平均偏离程度。k阶原点矩

k阶中心矩

矩函数2023/12/2511由定义可见，随机变量的均值即为一阶原点矩，方差即为二阶中心距。自相关函数（系数）

自协方差函数和自相关函数自协方差函数2023/12/2512二元对称工程中，通常对随机变量进行零均值处理，此时：

高阶自协方差函数和高阶自相关函数2023/12/2513平稳过程：随机过程的分布函数或概率密度函数(若存在)不随时间t的变化而变化。

平稳随机过程及其性质严平稳过程：和与t无关。2023/12/2514宽平稳随机过程条件：一般，随机过程的严平稳性与宽平稳性没有确定的因果关系，严平稳性条件通常较宽平稳性条件严格，若严平稳过程具有二阶矩，则其也必为宽平稳过程。特别地，对于正态随机过程，严平稳与宽平稳相互等价。

2023/12/2515①均值：②二阶原点矩：③自协方差：具有遍历性的随机过程必为平稳过程；但平稳过程未必是遍历的；遍历性是工程信号统计分析方法的基础。

平稳随机过程的遍历性

所谓随机过程的遍历性，通俗地说，就是：在下标集T上，随机过程按其分布函数遍历其所有的可能状态。对遍历性随机过程而言，过程的集合平均等于其任何一个样本在时间T上的平均2023/12/25163、时间序列的统计分析统计分析：基于时间序列的平稳性和遍历性假设，根据观测样本对时间序列的各种数字特征或分布函数作出某种切合实际的估计。时间序列：按时间顺序排列的一组数据。在时间序列分析领域，通常指一组时间或空间有序的随机数据，为深入分析，偶尔也涉及确定性数据。2023/12/2517

均值和方差估计

自协方差（相关）函数估计

高阶自协方差（相关）函数估计2023/12/2518设为平稳遍历时间序列的观测样本K值可正可负

偏度系数和峭度系数012345-1-2-3-4-500.10.20.30.40.5p(x)g111＜0gg＞0=0x偏度系数：2023/12/2519012345-1-2-3-4-500.20.40.60.8g23>g23<g23=xp(x)峭度系数：2023/12/2520

概率密度函数的估计xx+

x0x(t)

t1

t2

t3

t4tT0

xp(x)2023/12/2521区间的数目：

2023/12/25224、线性时间序列模型分析及其应用

动态过程十分复杂，从观测数据不能直接分析系统的变化规律

数学模型。动态过程状态的变化，反映在其数学模型的结构、参数和特征函数的变化。模型可以用于对系统的未来状态和发展趋势进行预报和控制。研究动态系统时域模型是工况监视与故障诊断的重要方法和手段之一根据观测值直接建模,无需知道系统输入和传递函数2023/12/25234.1时间序列模型的结构特征观测数据特点(机械设备运行中)动态过程是随机过程系统的输入无法确知机械系统相互耦合时间序列模型（timeseriesmodeling）时间序列数据有一个时间上的顺序是指仅用它的过去值及随机扰动项所建立起来的模型，其一般形式为

Xt=F(Xt-1,Xt-2,…,

t)建立具体的时间序列模型，需解决如下三个问题：

(1)模型的具体形式

(2)时序变量的滞后期

(3)随机扰动项的结构2023/12/25244.2时间序列建模方法主要时序模型自回归滑动平均模型(ARMA模型):平稳正态双线性模型:门限自回归模型:非线性自激振荡指数自回归模型:复现非线性现象状态依赖模型:预处理平稳性检验正态性检验随机趋势检验和处理2023/12/25254.3自回归过程(Auto-regressivemodel,AR)

如果一个随机过程可表达为其中Фi,i=1,…n是自回归参数，ut是白噪声（指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声）过程，则称xt为n阶自回归过程，用AR(n)表示。xt

是由它的n个滞后变量的加权和以及ut

相加而成。若用滞后算子表示

其中称为特征多项式或自回归算子。2023/12/2526与自回归模型常联系在一起的是平稳性问题。对于自回归过程AR(p)，如果其特征方程的所有根的绝对值都大于1，则AR(n)是一个平稳的随机过程。AR(n)过程中最常用的是AR(1)、AR(2)过程，

xt=

1xt-1

+ut

保持其平稳性的条件是特征方程

(1-

1B)=0

根的绝对值必须大于1，满足|1/

1|

1，也就是：

|

1|<12023/12/2527定义后移算子B：

线性时间序列模型——ARMA(n,m)模型ARMA：AutoregRessiveMovingAverage自回归滑动平均模型:适于平稳正态过程2023/12/2528q(B)

(B)atxt则：自回归AR(n)模型：滑动平均MA(m)模型：建立ARMA模型的条件：时间序列平稳、线性ARMA(n,m)序列{xt}可以视为一个传递函数为的系统在白噪声序列{at}激励下的响应2023/12/25294.4N阶连续系统微分方程传递函数：离散系统：差分方程：传递函数：2023/12/2530

ARMA(n,m)模型的稳定性及其特性函数ARMA模型：算子方程：特征方程：设算子方程有n个根，且没有重根，不失一般性，令：2023/12/2531一般在工程中滑动平均部分的阶数总是小于自回归部分，故有：

物理不可实现2023/12/2532从工程应用来看，只有当k=n，且|

i|

>1，即|

i|<1时，系统物理可实现。即系统物理可实现的条件为算子方程的根

i位于复平面的单位圆外，或特征方程的根

i位于复平面的单位圆内，此即系统稳定的充要条件。此时：离散卷积2023/12/2533

格林(Green)函数令输入为单位脉冲：上式表明，Gj是系统对t＝0时刻作用于系统的单位脉冲所产生的响应序列。称之为格林函数。它的最大优点是可以利用输出数据建模求得，在生产条件下容易实现，可以在线进行。2023/12/2534对渐近稳定的系统，必然有：ARMA(n,m)模型的格林函数：2023/12/2535在许多工程问题中，n>m,如果AR部分具有n个不相等的特征根，则：格林函数：2023/12/2536

自协方差函数与格林函数的关系2023/12/25374.5自协方差函数的估计检测数据是有限的,只能从有限长度的样本值{xt}来求自协方差函数的估计值和自相关函数:自协方差函数:2023/12/2538

AR(n)、MA(m)、ARMA(n,m)模型的估计方法较多，大体上分为3类：

（1）最小二乘估计；（2）矩估计；（3）利用自相关函数的直接估计。

结构阶数模型识别确定估计参数4.6时间序列模型的估计2023/12/2539五、工况状态变化趋势性及其预报时间，t时间，t时间，t时间，tx(t)x(t)x(t)x(t)线性趋势多项式趋势衰减的周期趋势多项式与周期趋势发现隐含趋势的形成和发展,预知工况状态的变化2023/12/2540时间序列的典型趋势性

适用于含确定性趋势序列的组合模型非平稳观测时序确定性趋势序列平稳随机序列2023/12/2541

适用于含随机趋势序列的ARIMA(自回归-求和-滑动平均)模型ARIMA型季节性乘积模型：特征多项式含有形如的因子，或者说，这类模型具有一个或多个分布在单位圆上的特征根。随机季节性趋势,适于季节性变化趋势随机多项式趋势,适于多项式变化趋势2023/12/2542

平稳时间序列的预报:从现在和过去的行为预测其未来发展趋势tt+llttxltx+)(let)tx过去未来现在实际数据曲线)(lxt)95%置信限95%置信限2023/12/2543时间序列预报的出发点是使预报误差均方值达到最小。并称相应的预报值为平稳线性最小方差预报。

2023/12/2544上式中，A部分包含了未来时刻的白噪声at+l,at+l-1,at+l-2,…,at+1，在当前时刻t无法对未来的白噪声进行预测，即A属于不可预测部分。而B部分所含的白噪声均为确定的、可以计算的。因此，B部分即为xt+l的预报值。易见，向前l步的预测误差为未来l个白噪声的线性组合。预测误差方差为：2023/12/2545可以证明上述预报结果为最小方差预报。

易见，向前l

步的预报误差仅与预报步距l有关，而与预报的起点无关。这一点说明了时间序列预报的平稳性，还可看出步距l愈大，预报误差也愈大。

可